Œuvres de É. Verdet

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E. VERDKT

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TOMK IV

i)r:i MMMK pvinii:

LEÇONS

SIR LE MAGNETISME TERRESTRE,

\ r.nDET. I\ . — r.onri*rf*nr«'.« ili» pliysiqu<*. :t

LEÇONS

SliR LE MAGNÉTISME TERRESTRE.

1)ETKRMI^^TI()^ des ELEMENTS Dl MAG>ETISME TERRESTRE.

285. Instriimeiits de mesure. — La doterininafion des élé-
ments du magnétisme terrestre se fait au moyen soit des boussoles,
soit des magnétomèlres dus à Gauss et Weber.

Les instruments dont on s'était servi pour celte détermination
jusqu'au moment où Gauss et Weber firent connaître leurs travaux
sont au nombre de quatre : ce sont les boussoles de déclinaison,
des variations, d'inclinaison et d'intensité. De tous les éléments que
l'on a déterminés à l'aide de ces appareils, deux seulement peuvent
Mre regardés comme connus avec une précision suilisante : ce sont
la déclinaison et les variations.

286. Boiifisoles de déellnaluon. — La mesure de la décli-
naison com[iorte deux opérations : i" on mesure l'angle que fait le
plan vertical qui contient l'aiguille aimantée avec un |)lan vertical
défini soit par une mire lixe, soit par la position qu'occupe à un
moment donné une étoile ou le centre du soleil: «2° on mesure en-
suite l'angle que fait ce plan vertical arbitraire avec le méridien
astronomique du lieu. La boussole de Gambey, construite en
vue d'effectuer avec précision ces opérations, se compose d'un
barreau aimanté prismatique, terminé par deux anneaux de cuivre

:ii.

58a LEÇONS SDIt LK MAONÉTISMK TBRRESTHK.

A clB (Ji{i[. i8A) (\a\ portent di-tix croisées do fils inclinés de hS de-

gri^s sur l'axe du barreau. Il est soutenu ((ig. i85) par un élrier de

cuivre suspendu lui-même par un faisceau de fils de soie sans tor-
sion dont la partie supérieure s'enroule sur un treuil après avoir
traversé un orifice triangulaire. Le faisceau de (ils est ainsi tendu

vers l'un des sommets du triangle, ijui sert de point de suspension
invariable. Quant au treuil, disposé pour élever ou abaisser le bar-
reau, il repose sur une tra*erse liorizonlale de cuivre PQ fixée elle-
même à deux colonnes verticales (îE, DF de même métal. Le svs-

DÉTERMINATION DES ÉLÉMENTS. 483

tème entier peut tourner autour d'un axe vertical en entraînant
une alidade munie de deux verniers M, M', qui se meuvent sur un
cercle horizontal gradué et que l'on observe au moyen de loupes.
A l'aide d'une vis de pression, on peut fixer l'alidade mobile en telle
région du cercle ([u'on voudra et l'on produit les petits déplacements
avec une vis de rappel. Quant au cercle gradué, il est fixé à l'axe
de l'instrument supporté par un piod à vis calantes. Enfin, sur les
extrémités supérieures des colonnes verticales, reposent les touril-
lons d'un axe horizontal EF, auquel doit être constamment perpen-
diculaire l'axe optique d'une lunette GH , disposée de façon à pou-
voir viser également les objets éloignés et les objets rapprochés. Pour
écarter l'influence perturbatrice des courants d'air sur la direction
du barreau, on ajuste deux boîtes non représentées sur la figure,
qui environnent le barreau, mais qui, portant des trous fermés par
des glaces, n'empêchent pas d'en apercevoir les extrémités.

287. Usa^e de la boussole de Gambey. — Pour se servir
de cette boussole, il faut commencer par la régler, ce qui nécessite
les opérations suivantes :

i" On rend vertical l'axe de rotation de l'appareil; on utilise pour
cela un niveau porté par l'équipage mobile; on l'amène d'abord à
étrb parallèle à deux des vis calantes, sur lesquelles on agit jusqu'à
ce que la bulle soit au milieu ; on fait alors tourner l'appareil de
manière à ajuener le niveau dans une direction perpendiculaire à
la précédente, et l'on ramène la bulle au milieu en agissant sur
la troisième vis. Gela suppose que la ligne qui passe par les deux
extrémités du niveau est perpendiculaire à l'axe de rotation : on s'en
assure en faisant tourner l'appareil de 180 degrés et constatant si
la bulle occupe la même position par rapport à l'observateur; sinon,
en agissant sur la vis du niveau , on déplace la bulle de la moitié de
son excursion.

2° On rend horizontal l'axe EF. Pour cela on se sert du niveau
précédent, qui généralement s'appuie par deux crochets sur cet axe.
Si l'axe est horizontal, la bulle d'air doit conserver la même situation
par rapport à l'observateur quand on retourne bout pour bout les
deux extrémités de l'axe sur ses coussinets.

484 LEÇONS SUR LE MAGNETISME TERRESTRE.

3° On rend l'axe optique de la lunette perpendiculaire à l'axe
de rotation. A cet effet on vise un point quelconque, puis, le reste
de l'instrument demeurant fixe, on retourne bout pour bout Taxe EF
et Ton cherche si la lunette peut viser encore le même point; sinon,
l'on déplace le point de croisement des fîls du réticule jusqu'à ce
que cette condition soit rempb'e.

Après ces opérations préliminaires, on vise avec la lunette un
astre ou une mire éloignée et on lit la position des deux verniers
de l'alidade sur le cercle horizontal. C'est à partir du plan vertical
fixé par cette lecture que l'on compte les deux angles d'où l'on dé-
duit la déclinaison.

Des observations astronornicjues déterminent l'angle que fait ce
plan avec le méridien astronomique.

Quant à l'angle qu'il fait avec h^ méridien magnétique, on l'ob-
tient de la manière suivante : on fait tourner l'appareil autour de
son axe vertical jusqu'à ce que l'on observe, en inclinant convena-
blement la lunette sur son axe, le point de croisement des fils placés
à une des extrémités du barreau. On lit alors les positions des deux
verniers. Puis on répète la même opération en visant l'autre extré-
mité. Les nombres que l'on obtient sont très-peu différents, car
le plan vertical décrit par la lunette diffère peu de celui qui contient
l'axe du barreau. De la moyenne de ces deux observations on dé-
duit la position du méridien magnétique |)ar rapport au [)lan défini
par l'observation de l'astre ou de la mire.

iMais comme l'axe magnétique du barreau ne coïncide pas avec
la ligne qui passe par les croisées des fils, on répèle les deux der-
nières observations après avoir fait tourner le barreau de t8o degrés
autour de son axe de figure, et l'on fait la moyenne de ces obser-
vations et des précédentes.

Il y a dans la méthode que nous venons d'exposer d'autres causes
d'erreur. D abord , pendant la durée des observations, la déclinaison
change d'une quantité faible sans doute, mais dont il faut tenir
compte, car elle est du même ordre que la précision que comporte
l'appareil. On peut faire les corrections de deux manières :

1° En se fondant sur ce que la déclinaison varie peu dans un
court intervalle de temps et que par suite les variations sont propor-

DETERMINATION DES ELEMENTS. /i83

tioiuielles au teoips, on peut employer la méthode des alternances.
Ainsi la mesure de la déclinaison absolue exi^je quatre observa-
tions : on pourra répéter deux fois chacune de ces observations à
des époques ^ — t, f -)-t, également éloignées de l'époque t, et ad-
mettre que la moyenne est précisément ce qu'on aurait observé à
Tépoque moyenne /. Mais cette manière d'opérer a Finconvénient
d'allonger encore la durée de la détermination.

î}*^ On peut aussi, pendant qu'on fait l'expérience, faire observer
par une autre personne une boussole des variations placée à une
grande distance. On rapportera tous les résultats, par exemple, à l'é-
poque ( où l'on a commencé l'expérience ; si au bout d'un temps t
on fait une observation de déclinaison , cette mesure devra être cor-
rigée de la variation de déclinaison obsei*vée pendant le temps t à
l'aide de la boussole des variations.

11 est une autre cause d'erreur que l'on peut éviter : elle tient à
l'influence qu'exeree sur la déviation de l'aiguille la torsion du fil. On
renqdace le barreau aimanté par un barreau de cuivre exactement de
même poids; on le laisse prendre sa position d'équilibre; dans cette
position le fil qui le soutient n'est pas tordu, et il faudrait pouvoir
fixer cette position avec précision ; c'est ce que l'instrument de Gam-
bey ne permet pas de faire. On remplace le barreau de cuivre par
le barreau aimanté, et l'on s'astreint à n'observer la déclinaison que
lorsque le barreau aimanté occupe, par rapport à l'instrument, la
méjue position que le barreau de cuivre; on est alors sûr que le fil
n'est pas tordu , et |)ar suite qu'il ne tend pas à dévier le barreau
aimanté.

On pourrait simplifier l'opération en déterminant préalablement
le rapport du moment de la torsion du fil au moment magnétique du
barreau aimanté. Il suffirait pour cela de voir de ((uel angle le bar-
reau aimanté se trouve dévié lors([ue le til est tordu de 3Go degrés:
on en conclurait la déviation produite par un nombre quelconque
de degrés.

Cette détermination est nécessaire pour corriger les observations
faites avec la boussole des variations. Il est vrai que la correction
sera toujours très-petite: mais comme cet instrument peut donner
des résultats très-précis, elle n'est pas inutile.

586 LK(;0\S Si;il LK MACMStISMK TlilIlHiSTIlE.

288. Bmtsaol» des TitrlittlaiiB. — La boussole des variations
corisisie en un long barreau aimanta AB (lifr. i8fi). suspeiidii par
un faisfpaii de fils ilo soip sans torsion /", f, nnrnuK^ sur un treuil T.

Une cajji; de bois vitrée à sa partie supérieure préserve le bar-
reau de l'agitation de l'air; elle repose sur un socle de ni»rbre doni
le poids augmente ta stabilité de l'appareil. Chacune des extrémités
du barreau porte une petite plaque d'ivoire f, p', sur la(|uelk' sont
tracées des divisions équidistuntos dont la valeur angulaire est d'en-
viron 90 minutes et dont l'ensemble correspond à un angle dn
<|uelques degrés. Au-dessus de ces deux pbujues s'élèvent verticale-
ment deux microscopes M, M' que l'on amène, à l'aide des vis mi-
crométriques V, V, à viser sur la jilaque d'ivoire une division déter-
minée qui sert de point de départ. On mesure la variation de la
déclinaison par le nombre dus divisions qui ont passé sous le point

DÉTERMm.iTEON DES ELEMENTS. 587

de cruÎNL'iiieiit des fils du réticulu de chaqiii; inkTosco|>e. On peut
encore l'obtenir en visant aux deux époques le repère luanjué sur
les pla(|ues d'ivoire et évaluant le déplacement des microscopes sur
les règles devant lesquelles ils se meuvent.

En tenant compte des causes d'erreur que nous avons signalées
dans l'usage des boussoles de déclinaison et des variations, et sur-
tout en combinant les observations faites avec ces deux instruments,
on peut déterminer la déclinaison et ses variations avec beaucoup
de précision. Mais les procédés de Gauss et \Vcber qui seront eï-
pusés plus loin sont susceptibles d'une précision mt moins aussi
grande; de plus ils n'ont pas l'inconvénient d'exiger un appareil
compliqué et par conséquent facile à déranger.

On trouve ([ue les avantages de ces derniers [irucédés sont bien
plus grands lorsqu'on veut arriver à la mesure de l'inclinaison et à
celle des intensités, et l'on peut dire qu'avant leur emploi on n'avait
jamais déterminé d'une manière convenable ces deux éléments.

!289. B«uMWle d'liielliiiil««n. — En oj>éraut avec la bous-
sole d'inclinaison ordinaire, on ne peut guère espérer avoir que des
valeurs passables de l'inclinaison. Dans cet instrument, l'aiguille

aimantée AB (fig. 187), traversée par un a\c d'acier poli dont les
eilrérailés reposent sur deu\ plans d'agate, peu! se mouvoir dans

Û88 LEÇONS SUR LE MAGNETISME TERRESTRE,

un pluii |iuriillèle au phin du llmbo CD. Ce limbe peut lui-aiéiue
tournor autour d'iiii a\e vertical , ot ses (1<^|)luceiiienls angulaires sont
donnés par la position de l'alidade V suruu limbe fixe ËF perpen-
diculaire au premier et (|ui est soutenu par un pied Èi vLs calantes,
au nioytrii desipieltes on l'amène à i'tre horizontal. On peut, à l'aide
de cet iippareil, connaître la direction de l'aijjuille aimantée dans
tons les azimuts possibles.

En général, pour obtenir l'inclinaison, on détermine dans deux
azimuts rectangulaires les angles i' et i" que font les directions de
l'aiguille avec l'horizontale, et Ton déduit l'inclinaison de l'équation

cot^ 1 = cot* r+ col'i".

2y0. Correellom d«» obacrvMtlsn». — Chacune de ces ob-
servations doit subir plusieurs corrections.

i' L'a\e de rotation ne passe généralement pas par le centre de
l'aiguille. Pour remédier au défaut de centrage de l'axe de l'aiguille ,
on fait une lecture à chaque extrémité.

a° De plus, l'axe de figure de l'aiguille ne coïncide jamais avec
'axe magnétique; on élimine cette cause d'erreur en retournant
bout pour bout l'axe de rotation
sur ses coussinets et prenant la
moyenne des observations faites
daiiA les deux cas.

3* Enfin, si le centre de gravité
de l'aiguille ne se trouve pas sur
l'axe de suspension, il faut renver-
ser l'aimantation en communiquant
à l'aiguille la mtfme dose de ma-
^ ' gnétisme, puis recommencer la

même série d'observations que précédemment et prendre pour tan-
gente de l'inclinaison la moyenne des tangentes des angles observés.
Pour légitimer cette assertion, considérons une aiguille aimantée
dirigée suivant AB (fig. i 88) dans le plan du méridien magnétique
et sollicitée par l'action terrestre dirigée suivant AF et BF'. Soit xy
l'horizontale située dans le même jilan. L'angle que l'on mesure est

DETERMINATION DES ELEMENTS. 489

Bcy = r. Soient g le centre de {^ravité de Taifjuille et cg=^i. Dési-
gnons par \i la (juantité de mafjnélisnie concentrée à chaque pôle de
l'aiguille, par F l'intensité de l'action terrestre, action représentée
par AF, BF'; Taiguille sera en équilibre sous l'action du couple AF,
BF' et de son poids P appliqué au centre de gravité. On aura donc

Pxrif-^FfxDD';
or

DDV_î,cr)=ti/sin(?-i\

#

donc

. P^cos*'= *2Ff//sin(/'-- 1).

On aura de même, pour l'observation faite après l'aimantation de
l'aiguille en sens contraire,

PJcost"=- •jFf^'/sin (i — T');

or, si l'on appelle m m\ les moments magnétiques de l'aiguille dans
les deux cas, on aura

9 /!//== m', fi(jL'l = ni'\

et les deux équations précédentes deviendront

P^cosr-^Fm'sin(/'-i),
P(ycosr=Fm"sin(/-- /").

Donc, si le rapport — est connu, on peut, au moyen de ces deux

équations, obtenir la valeur de Tinclinaison cherchée t'. En effet, on
déduit des deux équations précédentes

sin/ (OS/ — rosi sin /

si n ( /' - 0 ni' cos / ' cos / ' m"

» .:.. : :' :.. :"

et

si n ( / — i) ni cos / " smtcost — cos/snw m

cos i '

lang/'— timg/ m"

7'

tangi — langi' m
et, par suite.

,. , ,, V, tanKi'H — > tangt
mtanfi:/-+-m lanff/ o ' m o

490 LEÇONS SLK LE MAGNETISME TERRESTRE.

Si l'on suppose comme cas particulier que dans les deux opérations

le moment magnétirpie de l'aif^uille ail la même valeur, c'est-à-dire

m" , , j .

— , = 1 , pour la valeur de i on aura

m
m

lang/'n- lanfj/'

lan{j«-=

2

Ainsi, dans le cas où la quantité de magnétisme est la njéme avant
et après le renversement des pôles, il sullit, pour avoir la tangente
de l'inclinaison, de prendre la demi-sonnne des tangentes des angles

observés.

«

Il résulte de là <|ue, même dans ce cas particulier, on n'est pas en
droit de prendre la demi-somme des angles observés pour mesure
de l'inclinaison, à moins toutefois que /' et i" n'aient une valeur
assez |)etite pour (|ue l'on puisse, sans erreur sensible, remplacer la
tangente des angles par les arcs correspondants.

On voit par ce qui précède que la détermination de l'inclinaison
est une opération très-longue pendant laquelle la quantité à mesurer
peut varier; or le mode de suspension de l'aiguille lui laisse trop peu
de sensibilité pour que l'on puisse construire une boussole des va-
riations. On est donc en droit de dire que jusqu'à présent l'incli-
naison est peu connue.

291. Inieniiité mairitétique. — 11 résulte de là que l'inten-
sité ne Tesl pas davantage; en effet, on ne peut pas la mesurer en
faisant osciller une aiguille d'inclinaison, parce que cette aiguille
éprouve des frottements considérables et que le centre de gravité ne
se trouve pas sur l'axe de suspension. Il faut donc nécessairement
faire osciller une aiguille horizontale placée dans une petite chape
de cuivre suspendue à un fd de cocon sans torsion. On détermine
ainsi la composante horizontale de l'intensité, et, en la multipliant
par la sécante de l'inclinaison, on a l'intensité totale; ainsi la déter-
mination de l'intensité se trouve entachée de l'erreur qui provient
de l'incertitude de l'inclinaison.

On pourrait penser à corriger cette erreur en mesurant avec la
boussole des intensités la composante horizontale du couple ter-
restre; malheureusement cet appareil ne présente pas non plus une

DÉTEKMIiNATlON DES ÉLÉMKiSTS. /i91

précision suilisante, à cause des variations que subit le magnétisme
terrestre pendant la durée de Tobservalion. Remarquons de plus
que rintensité magnétique de l'aiguille entre dans foutes les for-
mules auxquelles conduisent les procédés que nous venons d'indi-
quer; il faut doiic, pour que l'on puisse comparer les observations
faites en différents lieux, que cotte intensité n'ait pas changé, et
c'est ce qui n'a pas lieu bien certainement. On prescrit, comme on
le sait, d'employer plusieurs aiguilles qui devront donner toutes le
m<^me résultat; mais l'état magnétique de l'aiguille est tellement
sujet à changer qu'il ne |)eut y avoir dans cette manière d'opérer
aucune précisioîi.

292. Procédé d'Araso. — Arago avait proposé un procédé
fondé sur les phénomènes du magnétisme en mouvement et qui per-
mettait de mesurer l'intensité magnétique de l'aiguille indépendam-
ment de la force de direction de la terre. Supposons que l'aiguille
aimantée soit mobile dans un plan perpendiculaire a la direction
des composantes du couple terrestre : il est clair que la terre n'inter-
viendra en rieti dans son mouvement; alors, si l'on fait tourner pa-
rallèlement à ce |)lan un disque de cuivre avec une vitesse donnée,
les petits contre-poids qu'il faudra ajouter à l'une des extrémités de
l'aiguille pour que le jdateau la dévie de lo, ao,. .. degrés per-
mettront d'obtenir la mesure de l'intcMisilé magnétique de ses pôles.

293. Procédé de Poisson. — i^oisson a donné une autre
méthode qui est susceptible d'assez de précision. Son procédé con-

Fig. .89.

siste à faire osciller deux aiguilles aimantées d'abord séparément,
puis sous l'influence de la terre et de l'une d'entre elles.

Soient GH (fig. 189) la trace du méridien magnéticpie, 4B une
aiguille aimantée suspendue horizontalement dans le plan du méri-
dien magnétique: supposons que l'on écarte cette aiguille extrême-

'•92 LKCOiNS SIIII LE MACNKTISMK TERRKSTKK.

ment peu du méridien majjnéliquo et qu'on la fasse osciller : on
pourra l'assimiler à un pendule composé; alors, en désijjnant parw
le nombre d'oscillations qu'elle exécute en une seconde, par k le mo-
ment d'inertie de l'aiguille par rapport à l'axe de rotation, par/ l'in-
tensité de la com|)osante horizontale du magnétisme terrestre, par m
le moment magnétique de l'aiguille, |)ar /sa demi-longueur, on aura

l'où

T-'^slh

pour la seconde aiguille, on aura de, même
(9) m'f^n'Vh'.

k et k sont des quantités que Ton peut déterminer : Gauss a donné
pour cela un procédé expérimental; n et w' sont donnés par l'obser-
vation; il suffirait donc d'une troisième équation pour calculer
m, m! et /.

Pour cela, plaçons l'aiguille A'B' dans la direction GH, à une
distance assez grande de AB pour que l'on puisse assimiler son
action à une .force parallèle, et de manière qu'elle soit de même
sens que la composante horizontale du magnétisme terrestre. Puis
faisons osciller l'aiguille AB sous ces deux influences, et soit n" le
nombre d'oscillations exécutées en une seconde.

Nous supposerons dans ce qui va suivre que les longueurs 9/ et
3/' des aiguilles AB, A'B' sont assez petites pour que l'on puisse re-
garder tout le magnétisme comme concentré aux deux pôles. Soit de
plus CC/=rf. D'après cela, si nous appelons fx et [î les quantités de
magnétisme concentrées aux deux pôles, nous aurons

Examinons maintenant les forces qui sollicitent AB, nous aurons
d'abord la force mfoi l'action de A'B' (ju'il s'agit de calculer.

Pour cela, cherchons l'action des pôles A' et B' sur le pôle A.

DÉTERMINATIO^ DES ÉLÉMENTS. 493

D abord l'action du pôle B' est attractive et a pour expression

L'action du |)ôle A' sur le mt^nie ])ôle est ri^pulsive et a pour ex-
pression

^2 (,/-/ + /')-

donc l'action résultante sera

^^

1(^/-/-/? ù/-/+/)-'J

On peut considérer cette force comme constante pendant toute la
durée des oscillations, car, ces oscillations étant très-petites, on peut
dire que les distances mutuelles des deux pôles ne varient pas.

L'expression précédente peut se mettre sous la forme

f^(^' r 1 L__l — -^f^f^'^' _

r

i'i-if

o

ou bien, comme t tt^t est très-petit

{^i-ir

Observons en passant (|ue cette formulo fait voir que l'action ré-
ciproque de deux aimanLs de petite dimension est en raison inverse
du cube de la distance.

Pour avoir l'action exercée par Tnimanl A'B' sur le pôle B, il
suffit de remplacer dans l'expression |)rérédente / par — /, ce qui .
donne, en changeant aussi les sif][nes.

or(rf— /)-^est sensiblement égal à rf-^f i — ^^ j et (f/+')^ àr/^f i-h-r j;

494 LEÇONS SUR LE MAC.NÉTLSME TERRESTRE,
donc la valeur approchéo de la force qui agit sur le uôle A ser.i

W r

tt' 3/'

OU bien, en inulliplinnt les deux termes par t +y et négligetint y-

La valeur a|)|)rocliée de la force cjui a}fit sur le pôle B sera

d' d' '•

ttii
Les deux forces — ^r- i égales et parallèles, appliquées aux deux

pôles A et B de Taiguille, ont une résultante ^^^f qui passe au

milieu de la droite qui unit les deux pôles; cette résultante a pour
effet unique de déplacer extrêmement peu Taiguille de manière à
faire prendre au fil qui la soutient une direction un peu différente
de la verticale; mais comme cette force est très-petite, qu'elle a
d'ailleurs \\ vaincre le poids de Taiguille, et que le fil de suspension
a été pris très-court, la déviation sera insensible. En résumé, Tai-
guille AB oscillera sous l'action du couple terrestre et d'un couple

ayant pour moment -^^p— • f^e couple est d'ailleurs situé dans le

même plan que la composante efficace du couple terrestre.
Mais

mm' '

donc on aura dans le cas actuel

Cette troisième relation, jointe à celles cpie nous avons déjà trouvées,
(i) et (*î), permettra de déterminer m, m' et/.

En opérant par le procédé de Poisson, on peut arriver à une dé-
termination assez exacte de l'intensité magnétique de la terre, mais

%

DÉTE:RMI^AT10^ DES ÉLÉMENTS. A95

on ne |)auiTU pas ftiicoio se uiettre à l'ubri de^ variations qui Kur-
viennent pendant la duréu de l'expérience.

Il faut nécessairement pour cela se servir d'un instrument qui
n'exige qu'une seule lecture, ou bien employer la photographie pour
enregistrer les observations.

Après ces considérations qui prouvent la nécessité de nouvelles
recherches, nous allons exposer celles de Gaiiss et Weber.

nECIIEBCHES DE (lAUSS RT VVKBBR.

29A. Déclfiula*!!. — Gausset Weber ont inventé, pour me-
surer la déclinaison, un appareil appelé msgnétomèlre à un seul fil.
Cet instrument se compose essentiellement d'un barreau aimanté d'en-
viron o'','jo de long, portant à une de ses extrémités un miroir et sus-
pendu à un faisceau de fils sans torsion , de manière à dire horizontal.
A S mètres environ du miroir est un théodolite qui sert à faire les
observations. Au pied du théodolite, et perpendiculairement à la di-
rection de la lunette, est une règle divisée en centimètres et en mil-
limètres. Voyons comment on
pcnt, à l'aide de cot appareil,
mesurer les déviations de l'ai-
guille.

Soient CD (fig. iç)o) la règle
divisée, AB l'aiguille aimantée
et MN le miroir qui lui est per-
pnndiculnirc ; supposons d'a-
bord que AB soit perpendicu-
laire à CD et que P soit la divi-
sion zéro de la règle. L'œil
'■i* '•■■ placé en P verra par réflexion

cette division; mais si l'on suppose que l'aiguille prenne la posi-
tion A'B', le miroir MN prendra la position M'X et l'on apercevra
alors l'image de la division Q de la règle telle que 001 = lOP. Ap-
pelons V l'angle BOB', nous aurons

BOB'=^POQ:

VimiT. IV. — ronrér«ncM d* physique. 3t

496 LEÇONS SUR LE MAGNÉTISME TERRESTRE,
d'ailleurs ,

(lomme QP et OP sont connus, on en déduira V.

Si l'aiguille AB dans sa position primitive n'était pas perpendi-
culaire à CI), mais allait passer par une division P', on apercevrait
non plus l'image de la division P, mais celle d'une division P" telle
que P"OP'-= P'OP = V|'. On aurait d'ailleurs encore, en désignant
par V la déviation et |)ar V, l'angle lOP,

OP
langPOO-^-tangaV,,

langPOP"^~^lang^V;,

\ -V v

On pourrait donc encon* calculer la déviation \ .

(let instrument est susceptible d'une très-grande précision. En
effet, la règle peut Atre divisée en millimètres, et on évalue facile-
ment les dixièmes de millimètre. Il n'y a aucun inconvénient à
donner au rayon du cercle une longueur de 5 mètres; par suite, la
tangente du double de l'angle de déviation est connue à ^^ près,
ce qui correspond à une précision de j de seconde.

Pour déterminer la déclinaison absolue, il suffira de chercher
l'azimut dans lequel se meut l'axe optique de la lunette, ce qui est
facile si cette lunette appartient à un théodolite ou à un cercle ré-
pétiteur. Il suflira de la diriger sur un astre dont la position soit
bien connue. Un avantage considérable de cette méthode d'obser-
vation, indépendamment de la sensibilité qui peut être aussi grande
qu'on voudra, c'est que tout petit déplacement du barreau qui n'est
pas une rotation autour d'un axe vertical est sans influence sur les
observations.

295. Intensité. — On obtiendra la composante horizontale de
l'intensité magnétique du globe en faisant osciller le magnétomètre
sous l'influence de la terre, ou bien en observant la déviation que

DÉTERMINATION DES ÉLÉMENTS. 497

produit sur le barreau aimante un autre barreau dont ta position
est connue.

Pour déterminer les variations d'intensité, on se sert du magné-
lomètre à deux (ils. Il consiste en un barreau aimanté AB (Hg. 191)
soutenu par deux fils mm', un', peu distants l'un de faulre. Ces deux
fils sont dirigés dételle sorte que, si l'on remplace le barreau aimanté
par un barreau de cuivre, celui-ci prend une position d'équilibre
perpendiculaire au plan du méridien magnétique. 11 est clair que
le barreau aimanté remis en place ne restera pas perpendiculaire

au méridien magnétique; par suite, les fils deviendront obliques
et le centre de gravité du barreau s'élèvera. On voit donc que l'on
fait équilibre k l'intensité magnétique du globe par la pesanteur,
et l'angle dont le barreau est dévié dépend de cette intensité. Gel
appareil est extrêmement sensible et peut conduire à des détermi-
nations ti-ès-précises dès qu'on a étudié sa marche.

296. InclliMtasB. — Reste à mesurer l'inclinaison. On y ar-
rive par un procédé très-détourné qui repose sur les phénomènes
d'induction produits par la terre sur les conducteurs mobiles. Con-
cevons un conducteur circulaire AGBD (lig. 199), dirigé dans le
plan du méridien magnétique : si on le fait tourner autour d'un
diamètre AB horizontal jusqu'à ce qu'il soit venu se placer dans un
plan horizontal, on obtient un courant induit dont l'intensité est
proportionnelle à la composante verticale de l'intensité du magné-
tisme terrestre. Au contraire, si on te fait tourner autour d'un axe

/i98 LEÇONS SUK LE MAGNÉTISME TERRESTRE.

vertical CD pour l'amener dans un plan vertical perpendiculaire nu
méridien magnétique, on obtient un courant dont l'intensité est
proportionnelle à la composante horizontale de l'intensité du ma-
gnétisme terrestre. En prenant le rapport de ces deux intensités, on
obtient la tangente de l'inclinaison. Il y aura des corrections à faire,
parce que le diamètre AB n'est pas bien horizontal, que le diamètre
CD n'est pas tout à fait vertical, et que l'on a pris pour méridien ma-
gnétique un plan qui ne coïncide pas exactement avec ce méridien.
Mais on pourra toujours satisfaire très-approximativement à ces
conditions. Ensuite on répétera les expériences de manière que les
erreurs se produisent en sens contraire, et, en prenant la moyenne,
on obtiendra des résultats très-exacts.

II.

MESURE D£ LA DËCLfi\A180> ABSOLLE.

297. Deflcription des Appareils. — Les appareils qui servent
à cette mesure sont disposés dans une salle qui a environ 1 1 mètres
de longueur dans la direction du méridien magnétique.

Pour installer le magnétomètre , on commence par tracer approxi-
mativement avec la boussole ordinaire la direction de la méridienne
magnétique. A l'une des extrémités, de cette droite, l'extrémité sdd,
)ar exemple , on établit un support très-solide en maçonnerie sur
equel on place un théodolite; on y dispose aussi la règle divisée
horizontalement et dans une direction perpendiculaire à la ligne
méridienne que l'on a tracée, et on l'élève à une hauteur telle que
le miroir du magnétomètre soit au milieu de la diï^tance verticale
qui sépare la lunette du théodolite de l'écheHe graduée, afin (}ue les
rayons lumineux partis de la règle, réfléchis sur le miroir du magnéto-
mètre, puissent pénétrer dans la lunette. Sur la paroi de la chambre
opposée au théodolite on trace une mire verticale sur laquelle on doit
pouvoir toujours diriger la lunette, ce qui permettra de constater
que l'appareil n'a pas été dérangé. La distance du théodolite à la
mire est à peu près double de celle qui sépare le magnétomètre de
cet instrument, de sorte que l'on peut au besoin voir nettement les
divisions de la règle et la mire, sans déplacer sensiblement l'ocu-
laire de la lunette.

La salle des observations doit avoir une fenêtre disposée de telle
manière que l'on puisse viser avec le théodolite, n peu près dans la
même direction que la mire intérieure précédente, une mire verti-
cale placée très-loin. Les coordonnées astronomiques de cette' mire
extérieure doivent être connues, c'est-à-dire qu'on a déterminé l'angle
que fait avec la méridienne astronomique l'horizontale qui va de
l'axe de rotation du théodolite à cette mire. Derrière le théodolite
et près de l'observateur se trouve une horloge astronomiqut; le long
de laquelle est placé verticalement un barreau ahuanté de petites

500 LEÇONS SUR LE MAGNÉTISME TERRESTRE,
dimensions, dont la projection sur le parquet de la salie tombe sur
la ligne méridienne que l'on y a tracée. La hauteur à laquelle se
trouve ce petit barreau est d'ailleurs telle , que la direction prolongée
de l'axe du magnétomèlre passe en son milieu. Il est aisé de voir
que, dans cette position, cet aimant ne peut point déranger le ma-
gnétoniètre. Nous dirons plus tard quel est son usage.

Au milieu de lasalle.elsur la ligne tracée sur le plancher, on place
le magnétomètre. On fixe au plafond une règle de bois DD' (fig. 1 98

et 19&) que l'on peut déplacer dans une coulisse MM' dont la direc-
tion est perpendiculaire au méridien magnétique. A cette règle sont
fîiés deux appendices de métal
E, Ë' qui sont traversés [lar une
vis horizontale V. Cette vis tourne
dans l'écrou E, et son extrémité,
qui est cylindrique, ne fait que
pisser dans la cavité cylindrique
dont' est percé l'appendice E'.
C'est cette vis qui soutient le
magnétomètre par l'intermédiaire
d'un fd f enroulé dans le creux
de la vis en allant de G vers B.
'"■ ^^' 11 résulte de cette disposition que ,

lorsqu'on loiirne la vis- pour la faire marcher dans la direction de
B vers (;. le fil s'enroule, et le point de contact se transporte sur la
vis d'une quantité exactement égale à celle dont la vis a avancé :
donc la purlic verticale du fil occupe dans l'espace exactement lu

MESURE DE LA DEOLINAISUN AltSOLUE. 501

même position , de sorte que ie magnétomètre n'a fait que se dé*
placer verticalement. La vis porte un ëcrou mobile annulaire B;
lorsqu'on a donné au magnétomètre une position convenable, on
ramène. cet éçrou contre le sup-
port Ë et il empêche la vU' de
céder à feffort qu'exerce le- fil
tendu par le barreau aîmaDté et
qui la ferait tourner jusqu'à ce
que (e barreau vint rencontrer le
sol. Le fit de suspension/ do ma-
'''■ '9'- gnéloiHclre ( fig, i gB) est un fais-

ceau de 900 fils de soie sans torsion. Pour obtenir ce faisceau, on
enroule loo fois un fil de soie sur une planchette étroite, suffisam-
ment longue, en allant successivement d'une extrémité à l'autre; on
fait glisser ensuite la soie hors de la planchette, et l'on a un faisceau
de fils qui peut supporter un poids considérable.

Ce fil soutient directement une tige de laiton W, qui se place
perpendiculairement à la direction du méridien magnétique. Cette
tige porte vers ses exti'émîtés deux pointes t, T.

Ces deux pointes supportent deux anneaui oo' (fig. 1-9S) qui
font corps avec une traverse di et tin cercle borixontal gradua CC

(fig. 196 et 197). Au-dessus du cercle, mais en contact avec lui,
se trouve une alidade a^ (fig. 196) qui dépasse un peu le cercle.

502 LEÇONS SCR LE MAGNI^TISMë TERRESTRE.
Cette alidade peut tourner à frottement doux autour du centre du
cercle : il faut que ce frottement soit suffisant pour <]u'on puisse
regarder le cercle et l'alidade comme fonnnnt un système invariable

lorsqu'on ne fait pas elTort pour faire tourner l'alidade. Cette ali-
dade est évidée à son intérieur, et le bord de la tranche intérieure
porte un vernier qui se place naturellement devant les divisions du
cercle horizontal CC (fig. 197).

L'alidade an' porte i ses deuv extrémités deux élriers ee (fig. 1 98)
sur lesquels se place le barreau aimanté AB. Enfin le barreau ai-
niantt^ porte à son extrémité A un miroir m ^fig. t^d). Le miroir

est fixé au barreau par l'intermédiaire de plusieurs vis (fig. 1 gj)) qui
permettent de le faire tourner autour d'un aie horizontal et d'un
axa vcriical. Il est placé 11 l'extrémité sud el constitue une partie

MESURE DE LA DÉCLINAISON ABSOLUE. 503

du contre-poids qu'il faut uécessairciuent placer à celte eitrémité
pour que le barreau reste horizontal.

La figure 19S donne une vue verticale de la partie supérieure
de l'appareil : cette vue est prise dans le plan perpendiculaire au
méridien magnétique.

La figure 196 donne une vue verticale prise dans le plan du
méridien magnétique.

La figure 197 donne une vue horizontale de l'appareil; tout ce
qui se trouve dans la figure 1 ^5 a été supprimé dans celle-ci, eicepté
U traverse ii.

La figure 198 donne une vue verticale d'un étrier, prise dans le
plan perpendiculaire au méridien magnétique.

La figure 1 gg représente le système de vis qui permet d'orienter
le miroir, et enfin la figure aoo montre une partie de la rè^e gra-

duée ; les chiffres dont on regarde l'image dans le miroir au moyen
de la lunette du théodolite apparaissent avec leur forme ordinaire.

Dans ces diverses figures, les mêmes lettres désignent les mêmes
objets.

Le barreau aimanté est placé dans une botte percée d'un trou à
sa partie supérieure , pour laisser passer le fil de suspension, et d'une
autre ouverture du côté du théodolite, pour que l'on puisse voir le
miroir. La boîte ne doit pas être trop grande, afin d'éviter les cou-
rants d'air qui troubleraient les observations.

L'expérience a montré la nécessité d'une précaution à laquelle
on ne pensait pas être forcé d'avoir recours : la boîte se trouvant au
bout de quelque temps traversée par des fils d'araignée qui oient à
l'aimant la liberté de ses mouvements, il faut avoir soin d'enlever

ceii nu.

504 LE);ONS SUK l,E MAG^ÉT1SME TERRESTRE.

298. HEMures prélimlnnlrcri. — Avant de proctider au\ oli-
ijcrvatlons , il faut faire un certain nombre de détcniiiiialions préa-
lables. On mesure la distance horizontale de l'échelle divisée an
miroir; cette distance est comptée sur la ligne méridienne que l'on
a tracée , ligne à laquelle la règle di-
visée est perpendiculaire. Si le miroir
est formé de verre étamé, c'est à la
seconde surface que se fait la n'-
flexion; mais, à cause de la réfrac-
lion qu'éprouvent les rayons lumi-
neux au travers de la lame de verre,
les choses se passent comme si la sui-
f'e-'"- face réfléchissante était plus rappro-

chée. Soient, en efTel, SI (fijf. aoi ) un rayon lumineux incident et
IL le ravon réfracté <lans le verre du miroir MM' : en désignant
par n l'indice de réfraction , on a

sint = Hsiiir,

et, comme les angles sont toujours très-pelit«, le rapport qui existe
entre les sinus existe aussi entre les tangentes; donc

tang(=-H tang r.

l'rolongeDiis SI jusqu'à sa rencontre en P stvec la normale menée
au point L. nous aurons dans le triangle IPH

IH==RPtang(";

mnis, dans le triangle IKI.. on a aussi

IK==KLtangr;

donc u

«P-BI-Sff

en désignant par e l'épaisseur HL du miroir.

Le rayon réfléchi prolongé passe aussi par le point 1*; donc il se
propage comme s'il avait été réfléchi sur une surface parallèle à la

MESURE DE LA DECLINAISON ABSOLUE. 505

surface antérieure du miroir passant par le point P et située à une
distance représentée par -, et il en est de même des autres rayons
peu obliques. Si Ton prend n = - pour le verre , on a RP = ^ . Ainsi

il faudra prendre la distance de la règle divisée à la première sur-*
face du miroir et laugmenter des deux tiers de l'épaisseur. Cette
distance sera mesurée parles procédés ordinaires, à un millimètre
près. Nous la désignerons par p.

On mesure aussi la distance du centre optique de l'objectif de la
lunette à son axe de rotation : soit d cette distance.

Enfin on mesure la distance m du centre optique de l'objectif à
la mire intérieure. Cette distance est sensiblement égale à 3j>.

299. manière de rénfler l'iiistruineiit. — Pour régler l'ins-
trument on commence par disposer le miroir peq)endiculairement
à l'axe géométrique du barreau aimanté.

Lorsque l'on considère ce barreau à un instant donné, sa position
dépend de deux forces, la force de torsion du fil et l'action magné-
tique de la terre; ce que l'on constate dans les observatoires, c'est la
position de la normale au miroir; or, il y a dans le barreau ai-
manté plusieurs lignes qu'il importe de distinguer :

i"* L'axe magnétique;

q" L'axe de figure;

3° Une ligne que nous appellerons axe géométrique : c'est la
ligne qui occupe la mc^me position dans le baireau et dans l'espace,
lorsque le barreau a été tourné de i8o degrés dans ses étriers, de
manière que la face qui était tournée vers le haut soit tourpée vers
le bas, et vice versa,

La normale au miroir sera généralement une ligne différente
des trois précédentes; il importe de la faire coïncider avec Taxe
géométrique. Pour cela on enlève le barreau aimanté de sa posi-
lion ordinaire, et on le place sur un étrier fixe exactement sem-
blable au premier. On regarde le miroir avec une lunette, et on se
place de telle façon que l'image d'un objet vu par réflexion dans le
miroir coïncide avec l'image directe : alors on est sûr que l'axe op-
tique de cette lunette est normal au miroir. On retourne le barreau

5lHi LKÇO^S SLH LK MAGNETISME TERRESTRE.

daiii) son élrier : «lors l'axe optique de la luiietle n'est ])lus en yûné-
ral nonnul ou miroir; on fiiil loiiriiet' le miroir auloui' d'un a\e
horizontal ou vertical , de manière rjue l'angle formé par l'axe optique
de la Itmelle avec la normale au miroir se réduise à sa moitié, puis
on achève de faire coïncider ces deux lignes en déplaçant la lunette.
On recommence les mêmes opérations jus([u'à ce que le miroir ne
cesse pas d'être normal à l'axe optique de la lunette lorsqu'on opère
le rclournemcnt du harreau aimanté; alors le plan du miroir est
resté le même : or. Il n'y a qu'une seule ligne du harreau aimanté
qui soit resiée lise dans ce retournement, c'est l'axe géométrique,
et, puisque le miroir qui lui est invariablement lié reste fixe aussi,
il en résulte que l'axe géométrique est normal au miroir.

Une lunette n'est pas indispensable pour faire celte opération : on
peut se placer devant le miroir en fermant un œil et regardant
l'image avec l'autre œil. Il faudra que cette image nu se déplace
pas par le retournement du barreau dans ses étriers.

Le miroir élant ainsi réglé, on remet le barreau aimanté d<nis sa
positron ordinaire : il prend une certaine position d'équilibre. On
pointe exactcmenl la lunette du théodolite sur la mire intérieure et
l'on ne doit plus changer son azimut jusqu'à la (in des observations.
Dans cet étal de choses, le plan vertical passant par l'axe optique de
la tunclte fait un certain angle avec la normale au miroir, angle qu'il
faut évaluer. Soient (fig. 20a)
GM ia projection de l'axe op-
tique du théodolite sur un plan
horizontal, M\ la projection de
la normale au miroir; l'angle
qu'il faut évaluer est a-- NMG.
En regardant dans la lunette,
on verra coïncider avec la croi-
sée des fils du réticule l'image
'^' "'' d'un certain point P de la règle

divi-sée vue par réllexion dans le miroir. Il est clair que l'angle P.MN
est égal à NMG. Soit G la division de la règle comptée à partir d'un
point arbitraire X qui correspond au point G; soit P la division qui
correspond au point V : alors la longueur PG contient un nombre

MESURE DE LA DÉCLINAISON ABSOLUE. 507

de divisions égal à P— G. Comme la règle divisée a été reiidiio per-
IjendicuLiire h la direction de Taxe optique GM , P — G est la tan-
gente de l'angle 9a dans le cercle de rayon p=^GM\ donc

P-G
tang 9a = •

On s'est arrangé de manière que cet angle a soit très-petit, de sorte
que l'on peut prendre l'arc pour la tangente et l'on a

9^a = P — G.

On voit que P — G est l'arc qui mesurerait l'angle a dans le cercle
dont le rayon est 9)?. Nous conviendrons de rapporter tous nos an-
gles à ce cercle de rayon 9/?, de sorte que nous prendrons P— G
pour mesure de l'angle NMG.

Reste à dire comment on peut déterminer exactement la division
de la règle contenue dans le plan vertical passant par l'axe optique
de la lunette. Pour cela on se sera arrangé de manière que la règle
divisée soit sur une verticale passant par la face antérieure de l'ob-
jectif de la lunette. On a pratiqué dans l'anneau qui porte l'objectif
une échancrure dans laquelle peut passer un fil à plomb très-fin;
la lunette étant réglée ào. manière à pouvoir viser la mire, on fait
tourner l'anneau jusqu'à ce que le fil à plomb, vu au travers de
la lunette, passe précisément par la croisée des fils dû réticule; alors
il est contenu dans le plan vertical passant par l'axe optique de la
lunette: on n'a plus qu'à noter la division G de la règle sur laquelle
vient battre le fil à plomb.

300. Erreur de collimation. — (lomme la détermination de
la déclinaison est une opération qui doit «^tre refaite souvent, on ne
peut pas chaque fois déterminer Tazimut de la direction de l'axe
optique de la lunette, et il est commode de rapporter cette direction
à une autre bien connue. On la rap|)orte à la direction qui va de
l'axe de rotation du théodolite à une mire éloignée

Soit AM (fig. 9o3) la direction de l'axe optique de la lunette;
soient 0 le centre de rotation du théodolite et OM' la direction qui
va de ce centre à la mire éloignée M'. L'angle qu'il faut déterminer

508 LEÇONS SUR LE MAGNÉTISME TERRESTRE.
esl MDM'=a. Après avoir lu la division devant laquelle se trouve
le zéro du vernier, on tourne la lunette vers la mire M' et on lit la
division vers laquelle se trouve le lëro
du vernier; la difîérence donne l'angle
MEM'=AOB=^. Or, dans le triangle
DEM', nous avons a=jS — y, et, comme
/S est connu, il ne reste plus qu'à dé-
terminer y. Si la lunette du théodolite
avait son aie optique passant par le
centre de rotation, l'angle y serait nul
et l'on aurait a^j3,- voilà pourquoi y
est appelé l'erreur de collimation.

Cette erreur peut être déterminée de
deux manières différentes. On peut me-
surer le rayon OA du cercle 0, ainsi
que la distance OM', et l'on a

on

Filial. siny ou y = fjiâ'-

Pour évaluer OB à une certaine distance du théodolite, on place
une règle divisée horizontale sur laquelle on a mis un miroir dont
le plan soit parallèle à celui de la règle. On s'arrange de manière
que l'on voie l'image des Tds du réticule , réfléchis sur le miroir,
coïncider avec ces lils; si les (ils du réti-
cule ne sont pas visibles de la sorte, on
leur substituera le 111 à plomb dont il a
été déjà parlé. Alors la règle divisée esl
exactement perpendiculaire à l'axe op-
tique de la lunette; on Ht la division qui
correspond à cet axe optique. On fait
tourner le théodolite exactement de i8o
'^ " ■ degrés, et à cet instant, pour pouvoir en-

core viser la règle , il faut faire tourner la lunette de 1 8o degrés dans
un plan vertical; on lit la division qui correspond h l'axe optique,
et la différence RS {fig. aoi) est justement le diamètre AB du
cercle 0. Il est clair que cette détermination sera d'autant plus

MESURE DE LA DÉCLINAISON ABSOLUE. 509

précise que la règle RS sera plus près de AB , parce que le défaut
de parallélisme des deux rayons AR, BS sera moins sensible.

Quoique très-exacte, cette méthode serait trop longue; on opère
ainsi qu'il suit. Après avoir lu la division à laquelle correspond le
vernier lorsque la lunette a la position BM', on fait tourner le théo-
dolite de 180 degrés environ, on retourne la lunette et on vise la
mire M'; alors l'angle BM'B'=9y. On lira donc la division devant
laquelle se trouve le zéro du vernier, et la différence entre la division
qu'on lit et celle qu'on a lue lorsque la lunelk» <»tcii! en BM' donne
un certain nombre de degrés dont la différence avec 180 degrés
est précisément l'angle sy. L'angle cherché sera donc

301. Angle BBimutal des deux mires. — Pour déter-
miner l'angle azimutal de la mire intérieure et de l'autre mire ex-
térieure dont la position par rapport au méridien est connue, on
vise la mire intérieure avec la lunette, puis on fait tourner l'alidade
de 180 degrés, on retourne la lunette sur ses tourillons et l'on vise
de nouveau. Soient A, A' les deux lectures : on fait, par rapport
à la mire extérieure, les mêmes lectures B, B', et, si l'on appelle z
l'angle azimutal des deux mires, on a

. = i(A+A')-^(B + B').

302. Rapport du moment masiiétliiue de raisuille au
moment du eouple de torsion du fil. — Pour procéder aux
observations, on abandonne le barreau aimanté à lui-même: il prend
une position d'équilibre sous Tinfluence du magnétisme terrestre et
de la torsion du fil. 11 faut tenir compte de cette torsion dans les

observations. Désignons par — ^ la division de la règle vers laquelle

se dirigerait l'axe magnétique du barreau aimanté s'il n'y avait pas

de force de torsion, et par — ^ la division vers laquelle il se dirige

réellement. L'angle très-petit formé par ces deux directions, mesuré
dans le cercle de rayon aj», est Mj— M^. Donc, en appelant [i le mo-

510 LEÇONS SUR LE MAGNÉTISME TERRESTRE.

ment niagnélique du barreau aimanté, le couple qui le sollicite à
prendre la direclion M^ est fx(M, - M„), en remplaçant le sinus par

l'arc. Soit - T la division vers laquelle se dirigerait Taxe magné-

tique si la force de torsion existait seule , l'angle de torsion mesuré
dans le cercle dont le rayon est ^p est T— M|. En désignant par fi!
la force de torsion du fil pour une torsion égale à i degré, le
couple de lorsion a pour moment

^'(T-M,),

donc

fz(M,-M„) = fz'{T-M,}

OU bien

«(M,-M..)==T-M,,

en désignant par n le rapport du moment magnétique de Taiguille
au moment de torsion du fd. On en déduit

Cela posé, imaginons que l'on saisisse le cercle gradué CC avec la
main et que l'on fasse tourner l'alidade an d'un angle k, de manière
à augmenter la lorsion du fil. Cet angle k, rapporté au cercle de
rayon 2/;, a pour expression apk.

Soit maintenant M2 la division vers laquelle est dirigé l'axe
magnétique de l'aiguille, on a

d'où, en retranchant l'équation précédente,

(1 -;-/*) (Mo -M,) -9.pk'

et

ipk

Les directions i\f2 et Mj ne sont pas observables, mais «n peut
connattre l'angle qu'elles forment, comme nous allons l'indiquer.

Soient 0M„ (fig. 200 ) la position primitive de l'axe magnéti(|ue du
barreau, OS^ la position correspondante de la normale au miroir:

MKSUKK lH; I.A l)K(;i,INUS(l\ AIÎSOLIK. Ôl I

oi)|ii>iil. par l'nlificrvation. roniiattre Ih division -S, vers la([ui>lli;
est dirigée la normale au iliiroir. Soi(>nt
de même M, et Sj les positions de I'bïp
magnétique et de la normale au miroir
dans la seconde observation : on pourra
également déterminer la division - S,.
Mais l'angle M„OS„ pst resl»^ le m^nie ;
on a ainsi

.\l„OS„-M,OS,.

*>t pHr siiilc
don.

M,-\I,-=S, -S„:

Oltc équation ))erinettra de détenniiier le nippnrl w, el. en ré-
sumé, les opérations à ell'ertirer seront les suivantes :

i" On obsenera la division S„, dont l'image réfléchie par le miroir
sera en coïncidence avec le lil de la hinelte.

9' On fera tourner l'alidade »«' de l'angle k. do manière i^ aug-
menter la torsion du fil.

3" On notera la nonveile division S, qui est cachée par le fil
vertical de la lunette.

Ces diverses ob-serva lions se font Ir^exactenient : connue la dis-
tance de la rèf;le au ntiroir est assez grande, 5 mètres environ.
un angle d'une seconde est rarîleinent appréciable dnns la déviation
(lu barreau aimanté '".

'" Non» avons déaifjné [inr — ^ , — ^ le» ilitisions ters leMjiiplle>. siinl dirifji'» l'aie mn-

gn^ttque el It normale au miroir, parce que nniis sommes convenuH de rapporter Iniis les
•ogiea an rercle de rayon 'tp el iju>>, dans re cercle, les angles en question se tmiivenl
mesun<s par M,, S„. D'ailleurs le nombre de divisiona S„ est le nombre lu sur la r^e,
car, pour avoir l'angle de la normsip avec l'axe optique de la Innelle, on prend la division
doDl l'image vient se former au point de croisement des fils du réticule, et celte division
eat Irès-iienEnHemenl double de C4>lle mrs laquelle est diriip'p la normale au miroir.

I t.MBtT, IV. — Donloreiices de physique.

:)i2 i.EcoNs sun M-: MACINETISME tkrhestiie.

303. Uéterminaiion du plan d'équilibre des torsions.

— Les observations préci^denles étant faites, on enlève le barreau
aimanté du magnétoniètre, et on le remplace par un barreau de
laiton, exactement semblable, muni d'un miroir convenablement
ré{[lé et portant en son milieu un barreau aimanté de faibles dimen-
sions. On fait avec le second barreau les mêmes observations qu'avec
le premier, ce (|iii conduit à une nouvelle é(piation de la forme

, _ 'xpk_

A l'aide de n»s deux observations on |)Ourra avoir la valeur de T,
c'esl-à-dire Tazimul pour lequel le fd se Irouvesans force de torsion.
En effet , nous avons les deux relations

('i+«)M,--H.M„+T,

(i4-«')m;-=»/m„+t.

d'où, en éliminanl M„.

( 1/ — //) T - - // ( I + u ) M,' - ii [x+ii ) M,.

Les rapports w et n sont connus, et il ne reste plus, pour avoir T, qu'a
«onnaître Mj, M,'. On \oit qu'il est avantajjeux que n soit très-diffr^-
rent de n\ de là le cboix du barreau auxiliaire. Il ne faut pas non
plus (pie //' soit trop |)etit ou nuL afin d'éviter l'influence des cou-
rants d'air, et pour cpi'il soit possible de ramener le barreau en
écpiilibre parla méthode ordinaire.

30/i. Correction relative à Tanicle du miroir avee l*aiKe
man^nétifiue de Taisuille. — Reportons-nous à la figure âoo et
désignons j>ar <7 l'angle S,OMi mesuré dans le cercle de rayon ixp:
nous aurons Mj Sj - cr. On connaît S, : tout revient donc à cal-
culer (T. En remplaçant W^ par n»lte valeur, l'équation d'équilibre
sera

/*M..- ( i-i-i/)(S,- c7) T.

lietournons maintenant l'aiguilh' dans l'étrier de la manière in-
diipiée prérédenunent <*t faisons une nouvelle observation: la nor-

MESUKK f>K LA DKCLINAISON UISOI.UK. 513

maie au miroir sera, je suppose, dirigée vors la division Sj, cl alors
la division M,, vers laquelle se dirige l'axe magiiélique de l'aiguille,
sera S^ + v. Il est flair, en effet, «jiif
l'axe magnéliquc n'a pas rliangé de
(lin'rtion daus l'espace , niaiït , par
suite du relournenienl, la normale nu
ininiir qui ciiïncide avec l'axe géo-
métrique de l'aiguille a passé de
l'autre tôle de Taw magnétique, en
faisant toujours avec lui l'angle <r.

Quant ') la division T', vers laiiuelle

Kis. ib6. ... . „ , . ' . ,

se dirigerait J axe magnétique st la

terre n'inlerveuait pus et <[uc la torsion du til agit seule, elle sera

T+-i„.

En effet, soient IT (lig. -utd) sa direction avant le relournenicnt,

et IN la position de la normale au miroir, <pii est aussi celle de l'axe

géométrique de l'aiguille: l'angle TIN sera v. Suit maintenant IT'

la scronde position de l'axe magnétique, toujours eu supposant que

la torsion agisse seule; la ligne IN n'aynni pa^ diangé dans le re-

loumement, ou aura encore

donc

T. T4 -.ff.

Il l'ésiille de \si que réi|uall(iii d'équiniiri' Mprés le retournement
sera

>M..= [ i+i>]iS.,-i.-'7\ (T-f--»ffl.

Rn r.iinil)iuaiit relie équation avec la pivcédenlc. il viendra

I l + »)(S.,-S,4-.!ff) --Iff^ -O.

Les calculs que nous \enons de l'aire sont l'elatils au cas où l'^xe
iiiagnétiipie est plact' par rapport à l'axe géométrique comme t'iii-

M4 LEÇONS SIIK LE MAGNETISME TERRESTRE.

ilique la figure 9o5, c'est-îi-dire de telle sorte qu'un observateur
nyant l'œil on 0 et regardant dans la direction OS, aurait Taxe ma-
gnétique à sa gauche. Si l'axe magnétique étail placé à sa droite,
on aurait

M j ^ -- S, 4- «y. M*2 ------ S2 — o-, T'=^ T — io-,

ri, (Ml reconimençanl les calculs, on s'assurerait aisément que la For-
mule précédemment écrite subsiste encore.

Faisons maintenant la mémo opération avec le barreau de lai-
ton muni du petit barreau aimanté, nous trouverons

'•— ^(si-s;)

(7 et a étant connus, Vlj et M,' le seront aussi, ot par suite il en i>era
«le m(^me de T.

Dès lors il est facile d'avoir l'angle que fait l'axe magnétique de
l'aiguille avec l'ave optique de la lunette. En effet, cet angle est

V--- % car l'axe optique passe parla division G et l'axe de

rotation du magnétomètre, tandis que l'axe magnétique passe par
la division .M^, ou plutôt il passerait par cette division si la torsion
n'existait |)as. Remarquons que l'angle V est ici mesuré dans le cercle
de rayon i. Quanta M„, sa valeur sera donnée par l'équation

'Al, = (i + /0(S, -(t)-T.

dans laquelle a et T sont connus. On aura donc

,. «G-t-T-(i-h/0(S, -(T)

V =- •

Si a l'angle V on ajoute l'angle ((ue fait l'axe opti(|ue du théodo-
lite avec la méridienne astronomitpie dont l'azimut est connu par
rapport à la mire placée à l'extérieur de l'observatoire, on aura la
valeur de la déclinaison absolue.

Dans les opérations que nous venons de décrire, il y a six lectures
à faire, celles des divisions S„, S,, S^, S^. S,', S2, outre celle de
l'angle A*. Ces observations auront une durée assez grande pour que.

MESURE DE LA URCLIN.USOi\ ABSOUliE. 513

pendant ce tenip, la déclinaison ait varié d'une manière appri.'-
ciable; il est donc nécessaire de faire éprouver i|uel(|ue!i correclinns
aux résultats de l'observation. On peut pour cela employer deux
moyens : opérer par In méthode des alternalives. te ijui augmente
encore le nombre des lectures, ou bien se servir d'uu autre barreau
aimanté destiné à donner les variations <|ui alTeelent la déclinaison.
On corrige alors, d'après les indications de ce scrond appareil, les
valeurs des angles S„. S,, S.j. S,', S,', Si. en les ra{>|)ortant à l'é-
poque moyenne des observations.

305. fTalcul déanltlf d«« •bservatloBB. — Il y a encore
une autre correction à faire, l/angle V, auquel nous sommes [mrve-
nuK précédemment, mesuit; l'angle que fait avec l'axe optique de la
lunette l'axe magnéti((ue de l'aiinanl. lorsque la lunette vis<^ sur la
mire intérieure. On cunnaît de plus l'nngle dont le sommet est sur
l'axe vertical de rotation du théodo-
lite et dont les côtés aboutissent aux
deu\ mires inlérieurc et extérieure,
anjjle que nous avons désigné déjà par
z; l'angle que l'iui a besoin de con-
naître pour l'ajouter jk V ou l'en re-
trancher est l'angle que fait l'axe op-
tique de la lunette visant la mire
intérieure avec la ligne qui va de la
mire extérieure à un point de l'axe
vertical de rotation du tbéodolîte,
tous ces angles étant supposés projetés
''■ï '"'•- sur un plan horizontal. Or cet angle

peut se déduire des données précédentes, comme nous allons l'in-
diquer.

L'angle azimutai des deux mires (|ue nous avons appelé z a son
sommet au centre de rotation C, délini plus haut, et ses extrémités
sur la mire M (tjg. ao^) et sur le signal méridien Z. L'angle qu'il
faut connaître est l'angle MDZ de l'axe optique de la lunette avec
la ligne CDZ dont l'azimut est connu. Dans le triangle (DM on a
.MUZ - ti - MCD 4- DM(- - : + DMC.

516 LEÇONS SLK LE MAGNÉTISME TERUESTUE.

Pour faire la correction, il faut connaître deux autres éléments.
Il faut déterminer les divisions G et G' (jui correspondent au lil à plomb
suspendu devant l'objectif avant et après le retournement de la lu-

nette. Soit g'-- ; cette longueur sera précisément la dis-

tance (A/ du renire C h une perpendiculaire à l'axe horizontal de
rolation menée par le centre 0 de l'objectif. Soit E le point où cette
perpendiculaire coupe la ligne GZ. on aura

m\(]- DMK + KiMG.

Or. dans le triangle E.VIG, on a

sin I:MC Π_ s[n KMC
si M VUiK KM sin w

ou sensiblemeiil

(ÎK
EMG pv| sin :.

Mais, dans le triangle (i(i'K,

siu {jvA, sin 2
à lrès-[)eu près: donc

''^"' ~b:\r" KM*

D'autre part, dans le trifuigle OMK, on a

siiiDMK OK
sin KOM^^KXf'

ou, à cause de la petitesse de l'augle.

KM •'

y étant Terreur de collimation. Donc, en remplaçant les angles par

leur valeur.

c/H-OEv
"~ "^ KM •

Si l'on mesure la distance d du centre de l'objectif à l'axe de

MESURE DE LA DÉCLINAISON ABSOLUE. 517

rotation, on anra, en néglifjeant des (|nantités très-petites.

et si l'on appelle m la longueur OiM. distance du centre optique de
l'objectif à la mire intérieure, on aura à peu près

EM - w -\-(l ii^voi :,

d'où l'on déduit, en substituant ces valeurs de OE et EM dans l'ex-
pression de w.

. a -^ f{d — qcol :)
fi ___ ■» _i. .7 — 1 — : .7 : ,

" ' m-Jrd — q cot :
/' w

En V ajoutant l'anjjle V = " (|ue fait Taxe magnétique du bar-

reau avec l'ave optique de la lunette, on aura la valeur de la dé-
clinaison absolue.

D'ailleurs nous avons vu ( 30A ) cpie

yj /iG -4- T — I ^ /t 1 S, - <Tl

ipn

on a donc en définitive pour la déclinaison absolue cherchée

'xpn ' m -f- a — (j col :

Cette valeur est de la forme

.V fl - />S|.

Lorsqu'on aura déterminé les constantes // et b, cette fornmle don-
nera .r au moven d'une seule lecture. Il i!onviendra de vérilier les
constantes a et 6 à des intervalles de tejnps qui ne soient pas trop
éloignés.

Il nous reste à faire une remarque : c'est que le barreau aimanté
oscille constamment pendant les observations. On ne peut donc pas
observer la direction de la normale au miroir. On |)rend pour Si la
moyenne entre les trois divisions S', S'', -S'" vers lesquelles se trouve
dirigée la normale-au miroir lorsque le barreau aimanté a trois

518 LEÇONS SUU LE MAdMÎTISME TEHKESTUE.

positions (v\ti'^in<*s .successives.

^,=. — -,,

Pour (|ue cela soit Iqjitinic, rani|)litu(le lotalc» — ^= S" doit

être très-petite. Pour rendre les oscillations très-petites, on se sert
du barreau aimanté placé près de la pendule sidérale : l'observateur
le met dans une position perpendiculaire au méridien magnétique .
ses pôles étant tournés de façon c|ue leur influence contrarie l'oscil-
lation que le barreau du magnétomètre exécute en ce moment. Puis,
lorsque ce barreau rétrograde, on retourne brusquement le barreau
aimanté, de manière à contrarier encore l'oscillation. En continuant
ainsi, on parvient très-vite à rendre les oscillations suffisamment
petites. Tel est le procédé assez pénible qu'employait Gauss; on ar-
rête maintenant avec la plus grande facilité les oscillations en dis-
posant dans le voisinage du barreau des masses plus ou moins con-
sidérables de cuivre rouge, dans les(|uelles se développent des cou-
rants induits qui réagissent sur fainiant mobile et tendent à le ra-
mener au repos.

III.

MESIRE DE L INTENSITÉ Dl] MAGNÉTISME TERRESTRE.

306. Identité fondamentale de la méthode de C^auss et
de la méthode de Poisson. — La méthode employée par Gauss
et Weber pour déterminer l'intensité du magnétisme terrestre est
fondée sur le même principe que celle de Poisson, mais elle a reçu
de grands perfectionnements.

La méthode de Poisson consiste, comme nous l'avons dit, à faire
osciller isolément deux aiguilles sous la seule influence de la terre,
puis à faire osciller l'une d'elles sous l'influence combinée de la terre
et de la seconde aiguille et à comparer les nombres d'oscillations eflec-
luées pendant le même temps. Mais les nombres d'oscillations accom-
plies par la première aiguille dans l'un et l'autre cas pendant un temps
donné ne difl*èrent pas beaucoup; en efl'et, pour pouvoir assimiler
la première aiguille à un pendule oscillant sous l'action d'une force
constante en intensité et en direction, il faut placer l'aiguille auxi-
liaire à une grande distance et de plus choisir une aiguille dont
l(»s deux pôles soient assez rapprochés. Il résulte de là que l'action
de cette aiguille auxiliaire est assez faible par rapport à celle que la
terre exerce et n'apporte que peu de variation dans le mouvement
(le l'aiguille oscillante. Il faut donc s'appuyer sur la mesure dli très-
petites variations pour mesurer une quantité très-grande, et il est
clair que la méthode n'est point susceptible de précision.

Dans la méthode de Gauss, l'aiguille auxiliaire est mieux placée;
on ne mesure plus la différence entre les nombres des oscillations
(jue fait une aiguille d'abord sous l'influence unique de la terre,
puis sous les actions réunies de la terre (»t d'une autre aiguille ai-
mantée, mais le déplacement cpie subit l'aiguille mobile en équi-
libre sous l'action d'une aiguille auxiliaire, lorsque cette aiguille est
placée dans une position convenable, et, comme l'angle de déviation
|)eut être mesuré avec une extrême précision, les résultats sont très-
exacts. Nous allons établir d'abord les formules qui serviront à dé-

520 LI':(.;u^S SUK m; MAGiNETISMI-: TKItllIiSTKi;.

termiiinr l'inlcnsiti' ilt^ la cumposanli! liorizonUile du mafjnétisiiii!
terrestre; nous dirons ensuite coinuieut on détermine h's constantes
<ju'elies renferinenl.

Sujtposon.x que l'on fasse osciller une aiguille aimantée sous Tin-
fluencc de la terre. Soient t la durée d'une oscillation, M le moment
niii(jnétl(|ue de l'aiguille, c'est-à-dire le moment du couple repré-
sentant l'action que la terre exercerait sur l'aiguille si son intensité
«Stait l'unité et si l'aiguille était perpendiculaire à la direction du
méridien magnétique; T l'action qu'e\erce sur l'unité de magnétisme
la composante horizontale du couple terrestre, et A' le moment
d'inertie de l'aiguille ]iar rapport à l'axe de suspension : nous aurons
pour déterminer M la relation

(') '"'V™'

Cette rormulc n'est autre irliosc que it'lle du (leudulo composé;
en effet, ccllp-<'i «si

/ étant la distance du point d'application de la force <|ui produit icN
oscillations à l'axe de suspension. Or, si l'on appelle /« la quantité
(II* magnétisme libre. T;/ sera l'attraction de la terre sur l'un des
pôles, et il y aura une répulsion égale sur l'autre. Ces deux forces
s'ajoutent |ioar produire le ni^ine effet, de sorte que ^ doit être
remplacé par ■)Tfi- On a doiir au dénominateur •ilfi'f: or, -tlfi. est

le monieni magnétique de l'aiguille eniplou'O, car le point qu'on
doit considérer in comme le point d'application de l'attraction ter-
restre est le pôte, et par suite / désigne la distance du pôle à l'axe
de suspension et al la distance des deux pôles.

l'our déterminer M et T il faut une autre équation. On l'obtient

MESURE DE SON INTEISSITÉ. 521

en cherchant l'angle dont Taiguille AB (fig. 2o8j, qui a servi dans
Texpérience précédente, dévie une aiguille A'B' primitivement di-
rigée dans le plan du méridien magnétique; l'aiguille AB est sup-
posée perpendiculaire à ce plan, et son prolongement va passer par
le milieu C' de l'aiguille mobile.

Soit A[Bi la position nouvelle que prend l'aiguille mobile; dé-
signons par V l'angle A'C'AJ, par r la distance BC qui est sensible-
ment égale à BA', par Ar la longueur AB et par (x et [i les quantités

de fluide libre en A et en A' : la répulsion entre A et A' est -, — \^ .:

l'attraction entre B et A' est ^ . Comme BC est très-grand par

rapport à AB et A'B', on peut, dans une première approximation,
regarder ces deux forces comme ayant même direction, et leur résul-
tante est sensiblement égale à

r r4- Ar'f r

Le produit *jf!xAr du magnétisme libre dans les deu\ pôles par
la longueur de l'aiguille, qui est à très-peu près la dislance de cos
pôles, est le moment magnétique M de l'aiguille AB; la résultante
des actions sur le pôle A' a donc pour expression

";' ■

Le pôle B' sera sollicité par une force (pii aura sensiblement la
même valeur que la précédente, lui sera parallèle et de sens con-
traire. Ces deux forces produiront un couple dont le moment est

WfxivosX

r^

t étant la longueur A'B'. Ce couple est tenu en équilibre par le
cou|)le terrestre Ifx'l' s\ii\: en écrivant (|ue ces deux couples sont
égaux, on a l'équation

m ,j, ' ,; Ma'/'cosV
l/^t/ sinV =-— î- — T ,

d'où l'on lire

(a) tangV-

— %

r' T

522 LEÇONS SUR LE MACNÉTISME TERKESTKE.

Ou voit (jue, dans cette expression, le produit [il' disparaît, de
sorte cpi'on n'a pas à s'inquiéter du moment magnétique de l'aiguilie
mobile, ce qui n'est pas un des moindres avantages de cette mé-
thode.

Cette équation ( îi ), dans laquelle V et r sont connus, détenninera

le rap[)ort ,y\ connne le produit MT est détenniné [lar l'équation (i ) ,

il sera bien facile de déterminer T.

Tel est le ])rincipe de la méthode enq)loyée par Gauss pour la
détermination de l'intensité magnétique de la terre.

Cette méthode donne non-seulement le moyen de trouver le rap-
port de l'intensité magnétique de la terre en différents lieux, indé-
pendamment de toutes les variations qui peuvent survenir dans l'état
magnétique des aiguilles employées, mais elle permet encore d'éva-
luer l'intensité absolue au moyen des unités de force ordinaires. Il
sullil de faire un choix convenable d'unités. L'unité de force sera le
kilogrammètre , et nous appellerons unité de magnétisme libre une
quantité de magnétisme telle, qu'en agissant à l'unité de distance
sur une quantité de njagnétisme égale à elle-même elle ait une
action égale à l'unité de force.

Avant d'aller plus loin, il est nécessaire de rappeler quelques
'hypothèses généralement admises sur la constitution des aimants.
Concevons un barreau aimanté dans lequel toutes les molécules de
magnétisme libre sont sollicitées par des forces égales et parallèles
dirigées dans un sens pour les molécules de fluide austral et en sens
contraire pour les molécules de fluide boréal. La quantité de fluide
austral qui se trouve libre dans le barreau aimanté est exactement
égale à celle de fluide boréal, car Texpérience montre que, dans
l'hypothèse de l'existence de ces fluides, leur séparation ne se fait
(jue dans les éléments magnétiques, et, avant la séparation, ces
deux quantités de fluides se neutralisaient exactemenU II suit de là
que, si Ton regarde comme positif un élément e/m de fluide austral
par exemple, et comme négatif l'élément correspondant de fluide
boréal qui agit en sens contraire, on pourra dire que la masse totale
de fluide libre du barreau amiante est nulle. Il peut paraître étrange
de dire qu'une quantité de fluide analogue à une masse est regardée

MESURE DE SON INTENSITÉ. 523

coiume négative, mais ce n'est là qu'un langage de convention. Si
fi et u sont deux quantités de fluide qui agissent Tune sur l'autre à

la distance r, leur action mutuelle peut être représentée par "^-^ »

/ étant le coelficicnt spécifique de l'attraction ou de la répulsion.
Loi^squ'il s'agit d'une attraction, nous regarderons ce coefficient
comme négatif, et alors nous le prendrons positivement lorsqu'il
s'agira d'une répulsion. Mais ici il y a attraction lorsque les deux
quantités de fluide fi et fi' sont de nature contraire, et répulsion
lorsqu'elles sont de même nature. Nous pouvons donc nous dispenser
d'écrire ce coefficient/, à la condition de regarder les quantités de
fluides de nature contraire comme affectées de signes contraires.

307. li'aclloii de la terre sur l'aiguille almaniée se ré-
duit à un eouple qui dépend k la fois de l'intensité ma-
gnétique terrestre, du moment magnétique et de la
direetion de l'aide maf^nétique de l'aiffuille. — Concevons
un barreau aimanté placé dans une position quelconque : l'expé-
rience prouvant que la décomposition du fluide magnétique ne se
fait que dans chaque particule infiniment petite, et les quantités de
fluide austral et boréal étant évidemment égales dans chaque par-
ticule, il est facile d'en conclure que l'action de la terre sur un
barreau aimanté se réduit à un couple.

fi'intensité de ce couple dépend de l'état magnétique de l'aiguille,
du lieu où elle se trouve, et de sa position en ce lieu par rapport
au méridien magnétique. Nous allons chercher une expression de ce
couple dans laquelle entreront le moment magnétique de l'aimant
et la direction de son axe magnétique , ce* qui nous pennettra de
définir d'une manière précise ces éléments qui jusqu'ici n'ont eu
|)0ur nous qu'un sens assez vague.

Considérons un élément dm de fluide magnétique libre , appelons
P l'action de la terre sur l'unité de magnétisme : son action sur
l'élément dm sera Pdm et fera avec trois axes de coordonnées rectan-
gulaires Ox, Oy, Oz des angles que nous désignerons par a, jS, y.
Si nous appelons x, y, z les coordonnées du point dm, les compo-
santes de la force Vdm |)arall(Mes aux axes seront

Pcos (xdm . P cos /S dm , P cos y dm.

524 LEÇONS SUli LE MAfîNETISME TEIlRESTRE.

Comme toutes les forces élémentaires sont deux à deux égales et
opposées , l'action totale se réduira à un couple. A cause de cela nous
allons chercher seulement les sommes des couples élémentaires dont
les axes sont parallèles aux trois axes de coordonnées. Les trois
composantes précédentes nous donnent, suivant Ox, Oy, Or, les
trois couples

P: cos jS dm - Py cos y dm ,

Vx c s y dm Vz cos a dm ,

Py cos a dm P.r cos ,S dm .

Si nous inléfjrons chacune de ces expressions dans toute l'étendue
du barreau, en observant que a, /3. y sont constants à cause des
faibles dimensions du barreau, nous obtiendrons pour les compo-
santes du couple terrestre relativement à l'aimant considéré les ex-
pressions suivantes :

PcosjS \ zdm—Piiosy lydm,

P cos y I ,rdm P cos a 1 zdm ,

Pcosa lydm PcosjS i .rdm :
et en posant

\ ^^ l X dm , Y-^iydm, Z - 1 zdm ,

C/' c' •/

nous aurons |)our valeur des Irois couples

PZcosjS ' PYcosy.
PXcosy PZcosa.
P\ cos a — PXcosjS.

Appelons a, h, c les trois anyles que fait avec les axes de coor-
données la direction t<»lle (pic» les cosinus de ces angles soient pro-
portionnels à X, \, Z. de sorte (|ue

cos// rosh cosr
los expressions précédentes deviendront

PM (cos c cos S- cosfccosy),
PM ( cosfï cos y cosc cos a ) .
PM ( cos h cos a — cos a cos /S ) .

MESURE DE SON INTENSITE. 5-25

et par consé(]uent rinlensité G du couple résultant sera donnée par
l'équation

G -= PiM \/ ( cosc coSjS — ces b C0S7 )•+ ( cos^ rosy -- cosc cosa )*-

+ ( cosb cosa — cosfi coS|S)^.

Si nous développons la (piantité sous le radical , en observant que

ros^ a -f- C(»s- jS + cos^ y - 1 ,

nous pourrons la nieltre sous la forme

ros^ r ( 1 ros^ y ) + cos^ A ( 1 - cos- /S ) + ros^ ^ ( 1 — ros^ a )

— *i cosjSrosy cos A cosr — « cosa cos y cos^ cosr

— 9 cos a cos 13 cos acosb ;

et, puisque

cos'-^ n + cos'-^ h -\- cos^ c ^ 1 ,

la quantité sous le radical devient

t ( cosûf vos H + cos/3 cos A -j- cos y cosr)*^.

Désifjnons |)ar 4» Tanfjle de la direction a, b, c avec la direclion
a, ^, y suivant laquelle agit le magnétisme terrestre; on a

cosw- cosa cos tf + cos/Scosft-f-cosy cosr;
donc
(3) G^PMsin^o;.

308. A:Ke mai^nètique , momeiil mafcnéfiqiie d'un bar-
reau aimanté. — On trouve donc pour (î une expression qui est
le produit d'une quantité M par le sinus d'un angle w. M ne dépend
que de l'aimant que l'on considère : c'est ce que nous appellerons le
moment magnétique de cet aimant; w est Tangle d'une certaine direc-
tion avec la direction a. ^, y. Cette direction faisant avec les trois
axes de coordonnées des angles a, b,r, ce sera celle de Yaxe magné-
tique du barreau.

On voit par là que l'axe magnétique est déterminé s(»ulcment de
direction, mais non de position, en sorte cpi'il \ a en réalité une
infmité d'axes magnétiques.

5-2G LKCONS SIJK LK MAdNKTISME TERRESTRE.

Cette direction et le moment magnétique M jouissent d'une pro-
priété remarquable. Imaginons un plan dont la normale fasse avec
les axes de coordonnées des angles X, /:/, 1/ et dont la distance à
l'origine soit égale à r, et cherchons la somme des moments par rap-
port à ce plan des quantités de magnétisme libre dans les divers
éléments de l'aimant; x, y, z désignant les coordonnées d'un de ces
éléments f]m, sa dislance au plan sera

.rcosX + ycosjtz + 2C()sr - r:
le moment de la force Vflm est donc

P (.r cosX H- y cos/^t + " cos v - r) dm ,

et par suite on aura pour la somme des moments, par rapport au
plan considéré, des quantités de magnétisme libre dans le barreau,

('»
P ( X cos X + y cos (À-i-z cos v—r) dm

=-- P cos X ixdm f P cos (x j y dm h Pcos v l zdm — Pr l dm

=-- P ( X cos X + Y cos jùt+ Z cos r) ;

car Pr jrfm=- 0, puisqu'il y a dans le barreau autant de magnétisme

austral libre que de magnétisme boréal.

Dans l'expression précédente, remplaçant X, Y, Z par leurs va-
leurs en a, h, c, on aura

PM(cosXcos^ + cos|Excos6+ cosi;cosr) = PMcos^,

0 désignant l'angle que fait la normale au plan avec la direction
a, b, c.

On voit par ce qui précède que le moment des quantités de
magnétisme libre dans l'aimant par rapport k un plan ne dépend
nullement de la position absolue du plan, mais uniquement de sa
direction. On voit de plus que ce moment est maximum et égal à PM
quand ^-^0, c'est-à-dire quand le plan est perpendiculaire à l'axe
magnétique. Ainsi on peut dire que le moment magnétique de l'ai-
mant est la valeur maximum de toutes les valeurs que prend la
somme des moments des divers éléments supposés sollicités par des

MESURE DE SON INTENSITÉ. 527

forces parallèles et égales à riinité, cette somme étant prise par
rapport à un plan, lorsqu'on fait varier l'orientation de ce plan; et
l'axe magnétique est toute droite perpendiculaire à ce plan pour le-
quel la somme des moments des forces élémentaires Pr/m est maxi-
mum et égale à PM.

11 résulte encore de ce que nous venons de dire que la direction
de Taxe magnétique définie par les angles a, b, c est indépendante
des axes de coordonnées choisis, car il est clair que la direction du
plan du maximum des moments n'en dépend pas; elle a, par rapport
à l'aiguille, une position bien déterminée. La quantité M ne dépend
pas davantage des axes que l'on a choisis, mais seulement de l'ai-
guille employée.

309. Ii*actioii de la compoMiiite verticale équivaut k un
déplaeemeiit du eentre de gravité. — Nous avons trouvé que
l'expression du couple résultant de l'action de la terre sur l'aiguille
aimantée est PM sin &;. Si l'aiguille est librement suspendue par son
centre de gravité, de telle sorte qu'elle soit entièrement soustraite
à l'action de la pesanteur, elle ne pourra rester en équilibre que si
le couple est nul, ce qui exige que l'on ait fia=o, c'est-à-dire que
l'axe magnétique de l'aiguille ait précisément la direction suivant
laquelle agit le magnétisme terrestre. Le plan déterminé par la
verticale et par la direction que prend l'axe magnétique de l'aiguille
en équilibre est précisément ce qu'on appelle le méridien magné-
tique. "*

Mais si l'axe magnétique de l'aiguille n'est pas parallèle à la di-
rection de la force P, le couple résultant n'est pas nul, et alors son
moment linéaire a une certaine direction. Pour voir plus simple-
ment quelle est cette direction, nous prendrons pour axe des x la
direction de la force P, et nous ferons passer le plan des xy par la
direction de l'axe magnétique. Nous aurons dans cette hypothèse

cosa = i, cosjS = o, cosy = o. rosc=-0.
Alors il ne reste plus qu'un couple composant, PM cosb, dont le

*

moment linéaire est diriffé suivant l'axe des z. Comme — — i = n = a;,

Vkhiikt, IV. — r.onféronces fie |iliysii|iir. ^'t

j -^

aiH l,K(;0.\S SUR 1,K MACNÉTISME TERRESTRE.

eu couj)le, t|ui est le couple résultunt, a pour expression PAl sinw,
ce que iiuus savions déjà; mais maintenant ce
couple est entièrement déterminé, puisque nous
connaissons son moment et que nous savons que
son plan passo par l'axe magnétique de l'aiguille
et par la direction de la force P.

Il est clair (|ue ce roupie résultant peut élre
remplacé par l'ensemble de deux forces P, - P
é(;ali-s et parallèles à la direction suivant laquelle
ajjit la terre, de sens contraire, appliquées en
K.E.'"9. ,|g„^ points quelconques A, A' (fi{[. aoy) de l'axe

magnétique, distantes de r el ayant une intensité égale à — ■ Il
} aura toujours une de ces forces qui t'cra un angle aigu avec la
verticale supposée dirigée de Las en haut, Nous pouvons prendre
pour point d'applic»tian de celle-là le centre de gravilé de l'aiguille.
Alors cette force -^ pourra être décomposée eu deux , l'une dirigée
de bas en baul suivant la vertical^, H l'antre horizontale. Si l'on
désigne par • l'angle de la verticale avec la direction suivani la-
quelle agit la terre, la première de ces composantes aura pour ex-
pression '- eos ( et la composante borizonlale —7- sin i. On peut
;)u.ssi concevoir que l'autre force soit décompo.iée de la m>^me
manière. Alors le couple dont le j>lan avaîl une direction quel-
contpie se trouve déconi[»osé en deux autres dont
l'un a son itlan vertical et l'autre son [dnn hori-
zontal. Considérons celui doril te plan est verti-
cal : celle des deux forces T', — T' qui est dirigée de
bas en haut étant appliquée au rentre de gravité
G. nous pourrons disposer de la distanre r à la-
quelle se trouve l'autre pour que son intensité
— ros I soit précisément égale au jioids p de l'ai-
►■iB.i.n. (^ille: il suHit de poserr = -— ■ Alors l'effet de

cette force est détruit par ce poids, et il ne reste plus que l'autre
force du ntéiue couple appliquer en H | lig. -t 1 o) et tirant de haut

MESUUE DE SON INTENSITÉ. 529

en bas. Si Ton fait passer le fil de suspension par ce point de ma-
nière à le rendre fixe, on détruira l'effet de celle force; le couple
vertical sera donc complètement détruit. On voit que cette disposi-
tion de Taxe de suspension revient en quelque sorte à un déplace-
ment du centre de gravité G. d'une longueur — , sur l'axe magné-
tique qui > passe.

11 n'y a plus alors à tenir compte que du coiq)le horizontal. En
posant Psin/=-T. le moment du cou|de horizontal estTMsincii,
cj étant maintenant l'angle du plan vertical passant par l'aiguille
avec le plan du méridien magnétique. La force T est ce (ju'on ap-
pelle la composante horizontale de l'intensité du magnétisme (er-
rcstre : c'est ce que nous nous proposons de mesurer.

310. dépression de la valeur absolue du eouple ter-
restre. — Supposons remplies les conditions ([ue nous venons d'in-
diquer; alors l'aiguille, abandonnée à elle-même et n'étant ])lus
sollicitée que par le roupie horizontal dont le mon)ent est TiM sin gj.
tournera jusqu'à ce (pi'on ait TM sinfi.> = o ou &;= o, c'est-à-dire
jusqu'à ce queNa direction de l'axe magnétique coïncide avec celle
de la force horizontale T. En réalité ces deux directions ne coïnci-
deront pas complélement. mais feront entre elles un très-petit angle
à cause de la torsion du fil qui dévie toujours un peu l'aiguille.
On peut s'arranger de manière que cet angle soit très-petit, en
faisant tourner dans un sr^ns convenable l'alidade aa, et nous le
supposerons assez petit pour qu'on puisse le négliger, de sorte que
nous compterons l'angle de torsion à partir de la direction du mé-
ridien magnétique. Supposons maintenant que l'on écarte l'aiguille
d*un angle u en dehors de sa position d'équilibre : elle sera sou-
mise h l'action du couple terrestre T\f sin u et du couple de tor-
sion Au, A désignant le moment du roupie de torsion pour l'unité
d'angle. Ces deux couples, (jui sont de m<1me sens, se combinent en
un seul égal à leur somme (TM + A) m, en supposant l'amplitude des
oscillations assez petite pour qu'on puisse remplacer le sinus par

l'arc. Posons — --=?*, l'expression du couple résultant sera

TVl(ï±i)„.

530 LEÇONS SUR LE MAGNÉTISME TERRESTRE.

Abandonnons mainlenant l'aiguille à elle-même : elle se mettra
SI osciller sous l'action de la terre et du couple de torsion, et nous
pouvons regarder le couple résultant de ces deux actions comme

constamment égal à TMr— ~]w. Si l'on applique au mouvement

d'oscillalion de l'aiguille la formule qui donne le mouvement de
rotation d'un corps solide autour d'un axo, on aura îi considéref

l'équation

T\Ê n-*- 1
(I u n

TÎF Ta;

qui est justement la formule du pendule composé. On aura donc
pour la durée des petites oscillations

,^-. /-^

» /(

«l'oii '

// f I I'

h est le moment d'incrlie do Taiguille autour de son axe do rotation;
quant à w, c'est le rapport du niomont du couple terrestre qui agit
sur l'aiguille horizontale faisant un angle do 90 degrés avec le mé-
ridien magnétique, au moment du couple de torsion du fil pour
l'unité d'angle; on le déterminera comme il a été déjà dit.

La formule précédente est bien homogène. En effet, le couple TM
est le produit d'une force par une longueur ou le produit d'une
masse par le carré d'une longueur, ])uisque la force est égale au
produit de la masse par l'accélération; d'un autre côté, k, qui est
un moment d'inertie, est aussi le produit d'une masse par le carré

d'une longueur: quant h 5-, c'est un nombre. Il résulte de là

que nous obtenons la valeur absolue du couple terrestre, et non pas
seulement une quantité proportionnelles ce couple.

311. Détermination des données de l'eiLpérienee. —

Nous allons maintenant donner quelques détails sur les détermina-

MESURK DE SON INTËNSITt:. 531

(ions expérimentâtes. Dans la Formule qui donne la valeur du couple
terrestre entrent trois données de l'expérience : ii, k et t. La valeur
du rapport >i se détermine comme dans la recherclie de la déclinai-
son, à l'aide d'un barreau aimanté muni d'un miroir. Nous allons
voir comment on détermine k et (.

312. Détermination du montent 4'lnertle k. — On ne

peut pas déterminer le moment d'inertie k du système oscillant par
des procédés géométriques; car tes dimensions de l'ni^juillc et de l'é-
Irier entrent dans la valeur de k, et le moment d'inertie de ce sys-
tème complexe ne peut s'obtenir que par l'expérience.

Voici une méthode ing<>nicn!;e dont on peut se servir.

On commence par faire osciller l'ai{ruille du inagnélumètre comme
nous l'avons dit précédemment, et alors on est conduit ù une re-
lation de la Tonne

t étant la durée d'une oscillation.

Pcrpendicnlaircnicnt au barreau aimanté Al! (lig. ai i ), un dis-
pose .>!ur le mngnétoinètre une grande règle en bois l'Q , de manière

qu'elle se maintienne horizontale. Sur cette règle sont disposées,
il des distances égales entre elles, de petites cavités dans lesquelles
on place des pointes métalliques. Sur ces pointes on |>eut faire re-
poser des anneaux soutenant des poids égaux R. It'.

Dans h>s expériences de Gansii, ces poids étaient d'un demi-kilo-

u3i! LEÇONS SUR LE xMAGNÉTISME TERRESTRE.

graiiiine. C'étaient Jeux sphères très-lourdes d'un métal non ma-
gnétique, de platine, par exemple. On fait de nouveau osciller le
système, et. si Ton désijjne |)ar C le moment d'inertie de la règle par
rapport au lil de suspension et par p^ la dislance des poids à l'axe
de rotation . on aura une» expression (l(^ la forme

/f- iM^ + C-r-il^fi.

Kn [daranl les poids à une nouvelle dislance p.j et recommençant
l'expérience, on aura une autre équation

Par ces trois expériences on a trois équations entre lesquelles,
éliminant C et ï, on trouvera une relation qui permettra de déter-
miner /•'.

(iomme la détermination de k est très-importante, on ne se borne
pas à trois observations, mais on fait un très-grand nombre de
groupes de trois observations. On obtient ainsi une série de
groupes de trois équations permettant de calculer autant de valeurs
de k. Ces valeurs ne sont pas toutes absolument les mêmes, parce
cpie V varie dans rintervallo des ex|)ériences en raison inverse deTM.

A Taide du magnétomètre h deux tils, dont nous parlerons dans
la suite, on <léterniine la variation de TM, en sorte que l'on peut
rapporter les valeui's de F à une seule et même époque, c'est-à-dire
(|ue l'on peut trouver les rapports de F', F*', . . . , avec F par exemple;
on substituera ces valeurs dans les équations obtenues, et, en em-
ployant la méthode des moindres carrés, on obtiendra la valeur
de k la plus probable.

313. Procédé de Cloldschniidi pour rendre horizontol
rii!Ke maynétlque du barreau. — Pour déterminer la valeur
de t, il faut d'abord rendre l'axe magnétique de l'aiguille horizon-
tal: on peut employer, pour effectuer cette opération, le procédé
suivant, indiqué par Goldschmidt, astronome de Gœttingue ^^^

'.I,

llfnuUntv fies iiia^i. Kf»., i84o, p. 158.

MKSURE DK SON INTENSITK. ' 533

Soit ABD(i (fig. -Ji-i) unn section du barreau |ier|>eiidicuiaire-
uient à son axe de figure; nous supposerons que AB soit la face su-
périeure, CD la fnce inférieure, \C la face
occidentale et BD la fncc orientale.

I* barreau aimanté que l'on emploie a une
disposition telle qu'il soit facile de le placer
dans l'élrier de manière que son axe de fi-
i-ig. .,.. gure soit horizontal. Le miroir ayant été amené

à être perpendiculaire à cet axe de figure, on note la division hori-
zontale de la règle qui vient en coïncidence avec le Gl de la lunette.
On retourne alors le barreau dans son étrier, de façon que la face
occidentale AC devienne la face supérieure : il est clair que, si l'axe
magnétique faisait avec le plan horizontal passant par l'axe de figure
un ang^e a, il fera avec le plan vertical et de droite à gauche le même
angle a. On lit la division de la règle qui vient de coïncider avec le
fît vertical de la lunette, et l'on marque la quantité dont le harreau a
été enfoncé dans l'étrîer. On retourne ensuite le barreau de 1 80 de-
grés de manière que la face orientale BD devienne la face supérieure,
et l'on enfonce ce barreau de la même quantité dans l'étrier; il est
clair que, lorsque le harreau a pris une position d'équilibre, l'axe
magnétique a repris la nidme position que précédemment; mais
comme le miroir n'est pas perpendiculaire à l'axe magnétique, on
ne trouvera pas la même division de la règle en coïncidence avec
le fil vertical. On dérangera un peu le miroir, et, par une série de
tâtonnements, on finira par le régler, de telle sorte qu'en plaçant
le barreau dans l'éti'ier la face occidentale en haut, puis la face oc-
cidentale en bas, et l'y enfonçant toujours de la même quantité, on
aperçoive dans les deux cas la même division de la règle. Alors la
normale au miroir reste fixe dans l'espace par le retournement :
comme l'axe magnétique du barreau est la seule ligne de ce corps
qui garde une position fixe^ Il faut bien en conclure que la nor-
male au miroir coïncide avec l'axe magnétique. Gela posé, on remet
le barreau dans sa position habituelle et l'on ne touche plus au mi-
roir. En général on ne pourra plus voir l'image de la règle par ré-
flexion sur le miroir: mais si l'on fait glisser le barreau danti l'étrier
dans un sens convenable, la normale au miroir deviendra horizontale.

bU LEÇONS SUR LE MAGNETISME TERRESTRE.

et alors on verra une ligne horizontale tracée sur la règle coïncider
avec la croisée des fils du réticulp. Comme la lunette est autant au-
dessus du miroir que celui-ci est au-dessus de la règle, on est sûr
alors que la normale au miroir et par suite l'axe magnétique sont
sensiblement horizontaux. Si cette exactitude ne suffit pas, on pourra
retourner le barreau dans son étrier, de manière que la face supé-
rieure devienne inférieure, et réciproquement, et que ce soit exacte-
ment la même partie du barreau qui se trouve dans l'étrier. En gé-
néral , la ligne horizontale de la règle divisée ne viendra plus se pla-
cer sur la croisée des fils du réticule; on lui fera parcourir la moi-
tié de la distance en faisant glisser le barreau dans l'étrier dans un
sens convenable, et l'on verra si, en retournant encore le barreau,
la ligne horizontale reste à la même distance de la croisée des fds.
On arrivera par tâtonnements à remplir cette condition.

3 1 â . IfleMire exacte de la durée d'une osetllatlon. — La

durée d'une oscillation complète est l'intervalle de temps qui sépare
deux retours successifs du barreau au même point avec une vitesse
dirigée dans le même sens. On constate que cette oscillation com-
plète est effectuée quand on voit revenir la même division de la règle
sur le (il vertical de la lunette, la vitesse de cette ligne étant d'ailleurs
dirigée dans le même sens. On trouve plus commode de ne compter
que les oscillations complètes, mais il faut bien se souvenir que,
dans la formule du pendule, t représente la durée d'une oscillation
simple, c'est-à-dire de la moitié d'une oscillation complète. Le choix
de la division dont on veut observer le passage est arbitraire; mais
si l'on veut suivre un certain nombre d'oscillations, il importe qu'elle
soit placée assez près de celle qui correspond à la position d'équi-
libre de l'aiguille, afin qu'elle reste visible pendant toute la durée
des oscillations.

Soient n, h, c trois élongations consécutives de l'aimant à par-
tir de la division G que nous avons appris à déterminer; s'il n'y
avait pas de variations dans l'amplitude des oscillations, la division

correspondant à la position d'équilibre serait ~ {n + b) ci - [b + c);
ces deux valeurs devraient être égales. Elles ne le sont pas généra-

MESURE DE SON INTENSITÉ. 535

lement; mais si l'on prend leur inoyenae - (a + c+ub), on aura

la division qui correspond Irès-approxiraalivement à cette position
d'équilibre. On choisira , pour en observer le passage , une division
très-voisine de celle que l'on détermine de cette manière. 11 faut en
effet que celte division reste, pendant toute la durée de l'expérience,
comprise dans l'amplitude de l'oscillation. Il y a à ce choix un autre
avantage qui est très-grand. En effet, à l'instant où l'on aperçoit le
passage de cette division devant le fil de la lunette, l'image de la
règle a une vitesse maximum; en sorte qu'il est plus facile d'appré-
cier d'une manière nette le moment du passage de la division. Si
l'instant du passage coïncide avec le battement du chronomètre,
l'observation est faite ; mais s'il n'en est pas ainsi , et c'est ce qui ar-
rive le plus souvent, on observe les divisions |; et q qui passent de-
vant le fd au moment où l'on entend deux battements consécutifs du
chronomètre comprenant entre eux l'instant du passage de la divi-
sion d'équilibre que j'appellerai m; alors il est clair qu'il faudra
ajouter, au nombre de secondes qui marque l'époque du passage de

la division p, une fraction de seconde égale à ^"~^\ pour avoir l'é-
poque du passage de la division m. Cela revient à supposer que,
dans l'intervalle qui sépare le passage des divisions p, q, m,le mou-
vement du miroir est uniforme.

On observe de cette manière la durée de plusieurs oscillations
complètes; mais, pour connaître celte durée avec une précision qui
soit en rapport avec l'exactitude de la méthode, il faut faire un très-
grand nombre d'observations. D'un autre côté, il est impossible de
continuer pendant longtemps une pareille observation sans une
grande fatigue, et par suite sans chance d'erreur.

Voici le procédé qui a été employé : on observe la durée de quatre
oscillations complètes, et, en en prenant la moyenne, on a la durée
approchée d'une oscillation; on abandonne ensuite l'expérience à
elle-même et l'on y revient au bout d'un certain temps. On observe
l'époque d'un nouveau passage et la durée de quatre oscillations
complètes. En divisant par la première valeur, trouvée pour la
durée d'une oscillation complète, le temps qui s'est écoulé depuis
qu'on a abandonné l'expérience jusqu'au moment où on l'a reprise.

536 LEÇONS SUK LE MAGIVETISME TERRESTRE.

on obtiendra le nombre des oscillations complètes qui ont été ac-
complies dans cet intervalle. Le nombre que l'on trouvera ainsi sera
en général fractionnaire, mais on choisira le nombre entier le plus
voisin. A l'aide des quatre oscillations dont on a observé la durée
quand on a repris l'expérience, on connaîtra la valeur approchée
de la durée d'une oscillation à celte époque. e( l'on se servira de
cette valeur comme on s'est servi de la première pour calculer le
nombre d'oscillations accomplies pendant la seconde interruption de
l'expérience. Kn continuant de la m^me manière, on parviendra à
connaître la durée d'un très-grand nombre d'oscillations, cinq ou six
cents par exemple, et il suilira de diviser cette durée par le nombre
total d'oscillations pour avoir une valeur très-approchée de la durée
d'une oscillation.

Voici quelques nombres qui ont été obtenus d'après la méthode
précédente :

TKHPS tUOKRAL.

i" passage ^i»* 55"' 'j6','i

3' 56 8 ,/i

3* 56 5i ,i

II* 57 33, i

5' 58 i5,5

6' 58 57 .A

La durée moyenne est de /ia*,*jo.

On a repris l'observation à a3** 36"* /40*,3 : l'intervalle écoulé
depuis le commencement de l'opération est donc 1'' 60*" 33',c). Si
l'on divise ce nombre par /iq*,!I0, durée moyenne d'une observation,
on obtient pour quotient 1/19,983, ce qui veut dire que, pendant
1'' /io"* 33*. (j, l'aiguille a fait i43 oscillations complètes. En divisant
l'intervalle 1'' 4o"' 33',9 par i43. on obtient la nouvelle valeur plus
approchée de la durée de l'observation 4!2",t9r). L'expérience que
nous rapportons a duréjusqu'à a*' 58", c'est-à-dire environ 5 heures.
On a observé 4a a oscillations, et l'on a trouvé pour la durée moyenne
d'une oscillation le nombre ila%i8344. On peut certainement ré-
pondre des millièmes de seconde.

MESURE DE SON INTENSITÉ. 537

315. Réductioii à la durée des oseillations iniiiiliiieBt
petite*. — Remarquons maintenant que la formule du pendule
dont nous avons fait usage ne s'applique qu'aux oscillations dont
l'amplitude est infiniment petite, et, dans les expériences qui nous
occupent, toutes les oscillations sont petites, il est vrai, mais pas
assez pour que l'on puisse négliger les quantités du second ordre. On
sait qu'en tenant compte de ces quantités la formule du pendule
est

= '\/^('-*-i«in'^'")

Mais si nous appelons a l'amplitude d'une oscillation mesurée sur
le cercle dont le rayon est i , c'est-à-dire l'angle compris entre deux
positions extrêmes consécutives de l'aiguille, et i sa durée, si elle
était infiniment petite , nous aurons

3

donc

i = ï

d'où l'on tire avec la même approximation

Il faut donc , pour réduire la durée de chaque oscillation à ce
qu'elle serait si elle était infiniment petite, calculer pour chacune

d'elles la fraction ^/) et. en faisant la somme de ces n corrections

particulières , on aura la correction qu'il faudra faire subir à la durée
totale. On conçoit combien ces corrections seraient longues et labo-
rieuses, mais on peut les simplifier en tenant compte de la loi de
variation de l'amplitude a : en effet, le calcul montre et l'expérience
confirme que l'amplitude des oscillations suffisamment petites et
suffisamment lentes d'un pendule oscillant dans un milieu faible-
ment résistant, comme l'air, décroissent en progression géométrique.
On vérifie aisément que la même loi s'applique aux oscillations d'un

Oas LEIjOINS SUK LK MAGNÉTISME TERRESTRE.

barreau aimanté. Désif|nons par 6 la raison de la progression, par
a, l'amplitude <lc la n""' oscillation, on a

les lennes de correction seront, pour la première, pour la seconde
et pour la «'"" oscillation.

Par coflsé(|uont, la durée totale des oscillations qu'il faut corriger de
la i^omme de ces corrections devra être diminuée de f ^ .a, ■ et,
en divisant le nombre ainsi obtenu par le nombre des oscillations,
on aura la durée des oscillations supposées inHniment petites. On
peut donaer une autre forme au terme de correction (=7 _a et
trfinsformer celte formule de manière à n'y laisser que des quan-
tités que rexpérience donne immédiatement. On note la division n
et la division b que l'on aperçoit lors de l'écart maximum de la pre-
mière et de la dernière oscillation.

Examinons en particulier la première oscillation. La normale au
miroir passant par la division S (fig. 31 3), on commence l'obser-
vation ; cette normale va de ^ en A
et de A en S, puis de J en B et enfin
de B en S\, elle a alors accompli une
oscillation complète : désignons par a
l'angle AOB, e! soit a l'excès de la di-
vision A observée sur S, en sorte que
— mesure l'angle AO.Î, puisque p est
Fig. ii3. la distance de la règle au miroir. L'os-

cillation qui a précédé l'oscillation antérieure répond au mouvement
de la normale allant de ^ en C, de C en S, de j en A et enfin de A
en S. En désignant la moitié de AOC par a, on aura

Prenons le symétrique A' de A par rapport à 0^, nous aurons
A'OA"«-f-?, A'0A = b'->1'.

MESURE DE SON INTENSITÉ. 539

^désignant Tangie A'OB, 4> l'angle GOA'.' On en dt^duil

or

D'un autre côté, les écarts à partir de ^0 décroissent comme les
termes d'une progression géométrique ayant ^ur raison 6 aussi bien
que les amplitudes des oscillations; on aura donc

AJ=ô.a,

B^= e.AS.
puis

^_(p_Crf+B^-3A'^ = A^(^ + Ô-^3)--'-^^A^.

Gomme les oscillations vont en diminuant très-lentement , 6 est très-
voisin de l'unité; il on résulte que l'on a sensiblement

>f/~(p==o,
et par suite

or

donc

On aura de même

AOV-î±^-i(|+.);

A0A'=-3A0^=-,

P

i-l(<rfl-+.6-)

On tire de ces deux équations

2(1 0

2h e

^^~T^e'

a

6' = -_-

p 1+6

540 LEÇONS SUR LE MAGNÉTISME TERRESTRE.
Le ternie de correction* prend alors la forme

ou bien

Dans cette expression il n'entre plus que des quantités que peut
fournir l'expérience. On peut encore donner à cette expression une
autre forme.

Si 0 est très-peu différent de l'unité, on peut poser 2=^ 1 + ^9

et, en introduisant cette valeur dans l'expression précédente,

1

6* (r;x]5 (14-x)»

quantité sensiblement égale à g^; on a donc enfin pour valeur de
la correction

" 128^*X '

X étant d'aillours le logarithme népérien de t • Ayant ainsi la somme

de toutes les corrections, on déterminera aisément la durée moyenne
d'une oscillation, et alors on aura tout ce qui est nécessaire pour
calculer le produit TM.

M
316. Détermination du rapport tt, • — Equation dea vi-
tesses virtuelles d'une aii^uille auxiliaire soumise à Tae-
tion de la terre, de raiffuille principale fixe et de la tor-
sion. — Nous venons d'exposer les calculs et les observations qu'il
faut faire pour trouver la valeur du produit MT. nous allons main-
tenant entrer dans les développements nécessaires |)our montrer

MRSIIRE DK S0.\ INTENSITl^. 541

comment on arrive à déterminer le rapport j à l'aide de la dévia-
tion <]iie l'ai^ruille auxiliaire imprime à l'aiguille mobile.

(Considérons l'état d'équilibre de l'aiguille mobile dont le fil de
suspension passe par le point que l'on peut considérer romme le
centre de gravité de l'aiguille d(';plaré par l'action de la terre, el
clierriions quelle sera la posilion d't^quilibre de cette aiguille sous
l'influence de la torsion du (il de suspension, du magnétisme ter-
restre el de l'alguillf auxiliaire qui a déjà servi dans l'expérience
précédente.

L'action de la terre et la torsion du lil se réduisent k des couples;
il n'en esl pas de niânie de celle du barreau aimanté. L'attraction
de ce barreau peut toujours .se réduire à une Force passant par le
centre de gravité déplacé et à un couple. Gomme celte force est très-
faible et que l'aiguille a un poids bf'aucoup plus considérable, le
centre de gravité ne sera déplacé que d'une quantité tr^s-faible que
l'on peut négliger. Cela revient à regRrder l'aiguille comme étant
seulement susceptible de
tourner autour du fil de
suspension qui serait un
axe fixe : pour qu'elle soit
en équilibre, il faut et il
suffît que la somme des
moments des forces par
rap|K>rt à cet axe soit nulle,
ou bien encore que la
somme des moments vir-
tuels, pour une rotation in-
finiment petite autour de
cet axe, soit nulle d'elle-
même.

Nous prendrons pour

axes de coordonnées trois
"»••'*■ 1 ■ ■ ■ I.

droites rectangulaires ; 1 axe

des X (fig. ïit A) sera horizontal, situé sur le méridien magnétique

et dirigi' vers le nonl: l'use des y sera horizontal el dirigé vers

542 LEÇONS SUH LE MAGNÉTISME TERRESTUE.

l'ouest; enfin le fil vertical qui suspend l'aiguille mobile sera l'axe
des z dirigé de bas en haut. Nous choisirons pour origine des co-
ordonnées un point H situé sur la verticale du fil de suspension et
dans l'intérieur du barreau mobile. Désignons par x, y, z les
coordonnées d'un point m du barreau mobile et par e la quantité
de magnétisme libre on ce point: l'action de la composante horizon-
tale de la terre sur la molécule m sera une force Te et agira paral-
lèlement à l'axe des a:; donc son moment virtuel, pour un déplace-
ment infiniment petit, sera Tedx; par conséquent le moment virtuel
des forces dues à l'action de la terre sur toutes les molécules du

barreau sera jSTedx,

Désignons par u l'angle que fait le plan vertical passant par
l'axe magnétique de l'aiguille avec le plan du méridien magnétique
des xz; par N, l'angle que fait aussi avec le plan du méridien ma-
gnétique l'azimut qui contient le zéro de torsion; alors N- m est
l'angle de torsion, et, si ô est la force de torsion pour l'unité d'angle,
le couple de torsion qui sollicite le barreau sera Ô(N— w); si l'op
imprime à l'aiguille une rotation du, de manière h diminuer u, le
moment virtuel de la force de torsion sera — d(N--tt)dii.

V^oyons maintenant les forces introduites par l'action du barreau
fixe sur le barreau mobile. Appelons X , Y, Z les coordonnées d'un
point de ce barreau fixe , Ë la quantité de magnétisme libre en ce

point , et r la distance au point m (^Xy y, z) du barreau mobile.

Ee
L'action exercée par cette molécule sur le mobile M sera t • A Yé-

poque 011 Gauss et Weber exécutaient le travail que nous analysons,
la loi de la variation en raison inverse du carré de la distance
n'était démontrée que par les expériences de Coulomb, dont l'exacti-
tude n'est nullement en rapport avec celle que comporte la méthode
d'observation que nous décrivons; c'est pourquoi Gauss et Weber
ont introduit l'exposant indéterminé n dont ils ont en même temps
cherché la valeur.

_ ^

Lorsque l'on déplace infiniment peu le barreau mobile, r s'accroîl

E^
de dr, le point d'application de la force — se déplace de dr dans

la direction de cetle force; donc son moment virtuel est --jr--» et.

MESURE DE SON INTENSITÉ. 5A3

par consëquent, ^^-rdr sera l'expression du moment virtuel du

couple résultant de Taction du barreau fixe sur le barreau mobile.
Nous pouvons maintenant écrire l'équation d'équilibre, qui sera

(4) VTerf:p+22Eé>7-^(N-wV«* = o.

Le premier membre de cette équation est la différentielle, par
rapport à u, d'une certaine fonction Cï qui a pour valeur

(5) q=.2T«^--^V2;f^ + Î<'(N-«)^.

Ecrire l'équation (4 ) revient h chercher les conditions de maximum
et de minimum de la fonction il.

317. Pour trouver ces conditions, il faut commencer par ex-
primer toutes les variables qui y entrent en fonction de u et de
quantités constantes.

Les points de l'aiguille mobile seront rapportés à trois axes rec-
tangulaires fixes dans cette aiguille.

Désignons par a, b, c les coordonnées d'un point [x, y, z) du
barreau mobile, en prenant pour axe des a Taxe magnétique, pour
axe des c l'axe des z, c'est-à-dire la verticale passant par le point H
du fil de suspension, et pour axe des b une perpendiculaire aux
deux premiers.

Puisque l'angle que fait l'axe des a avec l'axe des x est m, il est
facile de voir que l'on aura les relations

â ar^/ïcosii- Asinw.

(6) < y^fi sin t* 4- /' cos n,

c.

Dans l'expérience, le barreau ordinairement fixe reçoit diverses
positions; un point A de son axe magnétique se déplace de manière
à décrire une droite hli' qui va passer en un point A' ayant pour
coordonnées fixes x = a^y = (i. En faisant l'expérience, on s'efforce
de faire coïncider le point li avec H , de sorte que l'on peut regardera

Vkrdet, IV. — Cnnfoppnros tlo physique. liU

544 LEÇONS SlIR LE MAGNÉTISME TERRESTRE.

ot jS comme des quantités très-petites. Rapportons les points du bar-
reau fixe à trois axes rectangulaires AA, AB, hC ayant pour origine
le point h. L'axe des A est l'axe magnétique du barreau , Tave des (]
est la verticale parallèle à Hz, Taxe des B est perpendiculaire aux
deux autres. Désignons par U l'angle de l'axe des A avec l'axe des z ,
et nous aurons

1 X=/?-f- AcosU — BsinL .

(7) Y = y+AsinU + Bcosl].

f Z = C,

et il est facile d'exprimer ces quantités p ei q coordonnées du
point h. En désignant par ^ l'angle de la droite ////' avec ï\x et par
H la distance hit', on a

p = a + ^cos^y

q = l3-:h Rsin xf-,
et

r = y/(\-.r)^ + (Y-.yf + (Z-zy^.

Si l'on substitue dans VTe^ la valeur de .r tirée des équations
( fi ) , on a

^T(x = T cos u ^^ac — T sin u ^Ac.

Vrfg est la somme des moments des éléments de fluide libre de

l'aiguille mobile par rapport à un plan perpendiculaire à son axe
magnétique; c'est ce que nous avons appelé le moment magnétique

m de l'aiguille. Quant à ^be, il est nul, puisque c'est la somme des
moments des mémos éléments par rapport à un plan passant par

l'axe magnétique. Donc^^Tex-—mT cosw.

318. Il faut maintenant chercher l'expression de r^"~'^ On a

,^ = (X_.r)2 + (Y--.y)•^4-(Z-c)^

et, en remplaçant les (piantités X, Y, Z, .r. y, : et ordonnant |)ar

MESURE DE SON INTENSITÉ. 545

rapport à K,

r2 = R2^3R[^acos4/ + iSsîn4/ + Acos(4/-U) + Bsin(4/-U)

— acofy{^ — u) — h s\n [^ — u)\
+ (a-f-AcoslI — BsinU — ^costi + isin u)^
+ ( jS + A sin U + B cos U — a sin n — h cos w Y

Posons

/? = a cos \f/ 4- j8 sin >(/+ A cos (\f/ — U)+ B sin (4^ — U)

— a cos (\f/ — II) — h sin (>{/ — w),
m^ a+ A cos U — B sin U — /? cos n + b sin u,
w = jS + A sin U + B cos U — a sin u — b cos m,
^? = C — r.

Dans l'expression de r:, les deux termes en R sont les deux pre-
miers termes d'un carré, de sorte que l'on a

r2 = (R + A)2 + m2 + n^+/?^-*^.

Or, d'après la manière dont les polynômes k, m, n sont formés,
on voit facilement que

k = cos >|/ (a -t- A cos u — B sin u — /ï cos u+ A sin ti)

•|-sin \f/(j8+Asin U + Bcos U — nsinti — icostt)
= i»cos>f/ + n sin >[/.

Donc

m^ + w^ - A"^ = (m sin \|/ — w cos >{/)^,
et par suite

en posant

/= (m sin \[/ — w cos>J/)^ +/>^

et désignant ainsi par / une quantité toujours positive. Dans toutes
les expériences, R doit être très-grand par rapport aux dimensions
des aiguilles aimantées, ol par conséquent par rapport i\ A, B. a, b.
Donc R est Irès-grand par rapport à /. U suit de là que, si l'on a

35.

^

546 LEÇONS SUK LE MAGNÉTISME TERRESTRE.

une fonction quelconque de la distance r, on pourra la développer
en une série ordonnée suivant les puissances négatives croissantes
de R, et cette série sera très-convergente. En développant r~<"~'\
il vient

+ 'ÎZll . 'i±i R - (« + 3) ( aRi + /^î + /f

_'Lz2.ÎL±I.ÎL±^R-(-+5)(aR/fc+jt2+/)î-^ ,

et , en ordonnant suivant les puissances négatives de R ,

L. = R-(---)_(„_,)itR — +(:î!zJîiia_ÎLZLi/)R-(.+ .)

La quantité / est toujours positive , mais k peut changer de signe.
Or les coefficients des diverses puissances de R ne renferment que
des puissances paires ou impaires de k, suivant que le terme dont
il s'agit est de rang impair ou pair; par conséquent les termes de
rang pair changent de signe avec k, et ceux de rang impair ne
changent pas. Il serait facile de démontrer la généralité de cette
loi en cherchant la relation qui existe entre trois coefficients consé-
cutifs.

r"

319. Cette série étant obtenue, il n'y a plus qu'à mettre pour
^„— sa valeur dans 22 r"

rrr sa valeur dans 22 "^^^^ ' ^^ premier terme est

Si l'on fait d'abord la sommation relative à ^, on a 2^ 4"* ^^^
nul; donc le premier terme est nuL

Le second terme est nul aussi, car il est — (w— t)R-" 22^^'

MESURE DE SON INTENSITÉ. 5i7

on le reconnaîtra aisément si l'on démontre que généralement

car, dans le premier terme Ve =- o, et dans le second y]E= o, il n'y
a que les termes de la forme

22;ecav

qui ne soient pas nuls , et on a aussi

à cause de

2^8=0, 2^ = 0.

De plus, si les deux barreaux aimantés sont symétriques par rap-
port aux points pris pour origines, les termes de rang pair dispa-
raissent tous. Par cette symétrie on entend que, si en un point de
Tune des aiguilles il y a une quantité e de fluide libre, au point sy-
métrique par rapport à l'origine on trouve aussi une quantité e de
fluide libre de même nature. En effet, ces termes ne renferment à
leurs coefficients que des puissances impaires de k, et, si nous né-
gligeons dans ces termes les quantités a et jS, un terme quelconque
du coefficient est de la forme

I +t' étant impair. Si l'on change A en —A, ein en —a, E, e ne
changent pas par hypothèse; donc l'élément ne fait que changer de
signe. Ainsi les éléments de cette somme sont deux à deux égaux
et de signes contraires; par suite, la somme est nulle.
La série sera donc de la forme

L'expérience montre que, si les dimensions des aiguilles sont très-

548 LEÇONS SUU LE MAGNÉTISME TEKKESTKE.

petites relativement à la distance K, cette série est tellement cou-
vcrgente que Ton n'a besoin de prendre que les deux premiers
termes.

320. Calculons le coefficient du premier

On voit aisément que tous les termes provenant de ]ê sont nuls,
à l'exception de

— â cos(4/ — U) cos (>f/ — m) V AaEe= — 9mM cos(4/ — U )cos(4/ — a),

m étant le moment magnétique de l'aiguille mobile et M celui du
barreau fixe. Le terme en / donne

-- a sin (^f' — U ) sin (4/ — a)^AaEe = — d?/iM sin (>f/ — U ) sin (>f/— a).

Donc

G=— (n—i)mM[Mcos(4/ — U)cos(4/— tt) — sin(4'— ll)sin(\(/~tt)].

Nous avons donc pour valeur de la fonction

fî=. wTcosM+(w — j)wM wcos(>|/— U)cos(4'— tt)

-sin(>(/-U)sin(4/-w)]R-<'-^»>

Pour trouver le maximum ou le minimum de cette fonction, et
par conséquent pour obtenir l'équation de ré(|uilibre du barreau
aimanté soumis à l'influence de la terre, de la torsion et du barreau
auxiliaire, il faut égaler à zéro la dérivée de cette fonction j)rise par
rapport à la seule variable u. On obtient ainsi l'équation

mT sin M — ô (N — m) + (w — i) mM [wcos (>f/ — U) sin (>[' — w)

+ sin( •/-U)cos(>P-ti)]R-<-^'^

Tous les termes de cette série décroissent rapidement, à cause
du facteur R et des coefficients /i,/^ qui vont eux-mêmes en dimi-
nuant. Cette équation contient des quantités qu'il n'est pas possible

MESUKE DE SON INTENSITÉ. 549

(le ddierminer, mais on tourne' la difficulté de la manière suivante.
Supposons qu'on enlève l'aiguille fixe , l'aiguille mobile prendra alors
une nouvelle position d'équilibre. Désignons par % l'angle que fait
avec le méridien magnétique l'axe de l'aiguille : c'est la valeur de u
particulière à ce cas. L'équation d'équilibre est

mT sin u^ + S (N — tt„) = o.

Retranchons cette équation de la précédente après avoir changé
tous les signes dans les termes de cette équation, nous trouvons

mT(sin u— sin u^) + d(tio — ti)=-(n— i)mM (.•.)+.•..

L'angle u — u^ peut être mesuré exactement, quoiqu'on ne con-
naisse pas rigoureusement la direction de l'axe magnétique de l'ai-
guille mobile. Cet angle est évidemment égal à l'angle compris entre
les deux positions correspondantes de la normale au miroir, parce
que cette normale est invariablement liée à l'axe magnétique et
située dans un même plan horizontal. Or ce dernier angle peut
être mesuré très-exactement. Ainsi u — u^ peut être regardé comme
connu avec beaucoup d'exaetitude.

Dans l'expérience, les angles de déviation que Ton observe sont
tous très-petits, parce qu'on est obligé de rendre R très-grand, con-
formément aux hypothèses qui ont été faites dans le calcul. Alors,
l'angle u — u^, étant très-petit, on peut remplacer sin u — sin u^ par
tang (ti — Up) et u — u^ par tang (u — u^). Le second membre de l'é-
quation renferme aussi l'angle u; si on le remplace par u^, on ne
commet qu'une erreur très-petite qui est du reste multipliée par
I\-("-t-i)^ quantité elle-même très-petite. Il est bien entendu que
l'expérience devra décider si les approximations auxquelles nous
nous sommes arrêtés sont suffisantes.

Toutes ces réductions étant faites, l'équation devient

(n-i)mM ^nco8(>^-c)8in(+-«J + sin(+-L)cos(^'-Il.)lR"^"■^'^^-....

Ung(«-«„) = -^^

ou bien

tany ( « - u„ ) = FR -<" + •) + F'R - <• + s» +

• . . .

550 LEÇONS SUR LE MAGNÉTISME TERRESTRE.

L'expérience a confirmé cette formule; elle montre que les deux pre-
miers termes de la série sont toujours suffisants , et même que le se-
cond est souvent sans influence. Elle a, en outre, montré que n est
égal à 3 , de sorte que la tangente de l'angle de déviation est donnée
par la formule très-simple

tang(M-u,) = FR-3 + FR

:>

Pour déterminer les deux coefficients F et F', on fera une série
d'observations que Ton combinera d'après les méthodes connues. Ces
coefficients étant mesurés en valeur absolue , on aura

F =

{n— i)mM[ncos(4' — U)sin(4/— u,)-+-sin(4/— U)co5(>|/— aj]

mT-e

ou bien , en posant -7- == p ,

M F(i-p)

^ [n— 1) [wcos(4/ — lJ)sin (4'--a,)4-sin(4' — lI)cos(>f/— ii„)]

On remplacera dans le second membre n par s et p par la valeur
qu'on aura déterminée expérimentalement, comme nous l'avons dit
à propos de la déclinaison, pour le rapport du moment de torsion
de l'aiguille mobile au moment magnétique.

Toutes les quantités qui entrent dans le second membre ayant
été déterminées par l'expérience, on connaîtra la valeur absolue du

rapport 7=7, et par suite on pourra trouver T.

321. C^orreetionsdiveimies. — 1" Les barreaux ne sont pas
symétriquement aimantés. — La méthode précédente suppose plusieurs
conditions qui ne sont jamais rigoureusement remplies. De là la
nécessité de certaines corrections.

On a supposé les barreaux aimantés symétriquement, d'abord
lorsqu'on a dit que les puissances paires de R disparaissaient de la
série , et ensuite lorsqu'on a regardé les angles u, u^ comme acces-
sibles à l'observation. Or, on ne connaît pas exactement la direc-
tion de l'axe magnétique, et l'on est obligé de prendre pour cette
direction celle des axes de figure. Les barreaux aimantés dont on

iVIESURE DE SON INTENSITÉ. 551

se sert étant très-longs, ces conditions sont à peu près satisfaites;
mais elles ne le sont pas rigoureusement, et voici comment on en
tient compte. Les coefficients des puissances paires ne seront pas
rigoureusement nuls et l'on aura, je suppose,

tang(u-M,)==FR-3 + FiR-*+F2R-^H •

Nous avons fait remarquer que F et F^ ne contiennent que les puis-
sances paires de k^ tandis que F|,F3 n'en contiennent que les puis-
sances impaires. Il en résulte que F et F2 ne changent pas lorsque
k ne fait que changer de signe, tandis que F| change de signe dans
les mêmes circonstances. Or il est aisé de voir que k change de
signe si Ton augmente l'angle 4^ de 1 80 degrés. Si donc on fait une
seconde expérience dans cette position, on a

tang(u'~u,) = F'R-3-F;R-^-fF:R

" — ....

Si l'on ajoute les deux dernières équations membre à membre, on
aura dans le premier membre

tang(u — u„) + tang(tt'-M„)= alang^M — M„-f w' — m„J

= 2tang(î^ — M„);
en effet on a

1 / , ; \ sin(a— u„)4-sin(a'-Uo)

tang-(^a--u„+et -«„j=^^^^^_^,^^^^(^,_^,

^^^^^tan

+

cos (u' — u J cos (a — u„)
et cette expression se réduit î

^tang(u M„) + ^tang(tt'-tt,),

puisque cos(tt— tt„) et cos(u'— u^) sont sensiblement égaux à l'unité,
et l'on a par conséquent

tang^-Y--«*oj = -v-ï^~ +-V"ï^~ +

• • •

552 I.E(,:ONS SUR LE MAGNETISME TERRESTRE.

Les coellicients F, et F[ dis|iaraissei)t . car ils sont très-petits et sen-
siblement égauï; leur différence F, — FJ est donc négligeable.

Voyons maintenant l'opération qu'il fuut effectuer pour augmenter
ij'de 180 degrés. Soient CD (fig, 3i5) ia trace du méridien magné-
tique sur un plan horizontal, HH' la
droite que décrit le centre du bar-
reau auxiliaire quand on le déplace,
AB kl position de ce barreau dans la
première observation; l'angle -^ sera
l'angle H/iD. Transportons mainte-
nant le barreau AB parallèlement ù
lui-même en A'B', de manière que
AH'=/iH; R n'aura pas changé, mais
Kij. i,s. l'angle ^ deviendra l'angle

Hmp^^+ 180°.

Il faudra donc faire une première observation en plaçant le bar-
reau auxiliaire à droite du barreau mobile, et une seconde en le
plaçant k gauche et à la même distance; on mesurera les différences
u— M,, u'— M„, dont on mettra les valeurs dans la formule précé-
dente.

322. a" L'axe tuagnélique du barreau m coïncide pas avec l'axe de
Jigure. — Il faut maintenant corriger l'erreur que l'on commet en
prenant pour U l'angle de AB avec CD, AB étant l'axe de figure da
barreau auxiliaire. Si l'angle que l'on mesure est trop grand, par
exemple, on retourne l'aiguille de manière que le dessus devienne
le dessous , et réciproquement ; dans cette nouvelle position , l'angle U
sera trop petit de la même quantité. On fait les mêmes observa-
tions après avoir transporté le barreau en A'B'; on obtient de cette
manière quatre angles

«,-«., «î-«., -(ti;-ii„), _(«;_u„).

Comme dans chaque observation le coeDiàent de K~^ reste le
mâmc, on aura , pour déterminer ce coefficient que nous désignerons

MESURE DE SON INTENSITÉ. 553

par C, l'écjuation suivante corrigée des erreurs amenées par une ai-
mantation irrégulière,

F -h F'

tangj[K-u,) + (u2--u„)-(u;-u„)-(i*i--u.)]=^R-^4-CR

— 5

Il y a bien encore la valeur de % qu'il faudrait corriger, mais «„ doit
disparaître des formules, car Ui—u^y ^[^^o ^t Wg— m„, u[ — u^
sont de signes contraires, comme le montrent les deux positions
inverses occupées par le barreau auxiliaire; c'est pourquoi, en pre-
nant la moyenne, nous avons mis le signe — aux deux derniers
termes de l'expression de l'angle dans la formule précédente. En
réduisant cette formule, il vient

F4-F\. o^,._5

tangj(Mi-f-tt2~u;-u;j = -^R-3+CR

équation qui ne contient plus u^.

En résumé, dans chaque observation il y a quatre déviations à
mesurer, et, comme il faut deux observations pour déterminer F et G ,
il en résulte que l'on a à mesurer huit déviations.

323. Position à donner au barroou oiimilialre* — La po-
sition à donner au barreau auxiliaire n'est pas indifférente. On doit
s'arranger de manière que les erreurs commises sur les angles ^ ot U
influent le moins possible sur F, et pour cela faire en sorte que F
soit un maximum ou un minimum. On sait, en effet, que lorsqu'atie
fonction est maximum ou minimum elle varie très-peu pour des va-
leurs croissantes de la variable : les petites erreurs que l'on commet
changeront donc très-peu la valeur de F. La partie variable de F

est

cos (\f/ — U) sin(4/ — Mo) + sin(\^ — U ) cos(>(/ — M„) ;

les deux variables sont >(/ et U. Pour avoir le maximum ou le mini-
mum de cette expression, égalons à zéro leur dérivée par rapport à
U et par rapport à >{/ : il viendra

sin(>f/~ U) sin (4/ — Uo) = cos(>{/ — U)cos(\f/ — u^),

cos(\{/— U-^-^z — Uo)= o:

d'où l'on tire

55i LEÇO^S SUB LE MAGNETISME TERRESTRE,
la dernière donne

et, en portant cette valeur de 4' — «„ dans la première,
sin { i(/ — U ) cos ( ip — U ) = o ,

if' — U = o

Soit d'abord «J* — U = o; alors >('—«, = -. et, comme «„ est très-
petit, ^ = - et par suite [] = -■

Soit maintenant +—11 = -; alors +=o et U = ~-. toujours en
négligeant w„.

La condition 11 = o indique que l'axe magnétique du barreau
Itxe doit être per[>endiculaire au méridien magnétique. Si avec cela
on prend '{'=0, le barrreau fixe
doit être en A"B'' (fig. ai6), dans
une position telle que son centre
soit sur le prolongement de AB. Si
l'on prend + = -. le barreau fise
est en A'B', dans une position telle
que sa direction aille passer par
le centre C de l'aiguiltc AB, On
trouve que la position A'B' rend F
Fig. .16. maximum et que A'B" rend F mini-

mum , et le rapport des dem valeurs de F est n. En ciïct, quand le
barreau auxiliaire est dans la position ( 1 ), on a
mM

et, quand il est dans la position (3), on a
mM

MESURE DE SON INTENSITÉ. 555

On tiro (le Ih

F,

7r = W.

L'expérience donne pour ce rapport la valeur a. De là une con-
firmation évidente do la loi des attractions en raison inverse du carré
des distances.

Il n'est pas indiiïérent d'adopter la position (t) ou la position (a).
La position (i ) sera préférable. En effet, dans ce cas, une petite
erreur dans la position du barreau mobile A'B' a peu d'influence
sur la position du barreau AB, car, que l'on j)lace le barreau A'B'
un peu au-dessous ou un peu au-dessus de CD, l'action des deux
pôles sur AB est altérée à peu près de la même manière. Il n'en est
pas de même dans la position ( a ) : si l'on ne place pas le barreau
perpendiculairement à BA , on rapprochera de AB l'un des pôles de
A'B'' et l'on éloignera l'autre , de telle sorte que l'action pourra être
sensiblement altérée.

324. Rémimé des •pératlons. — En résumé on opère de la
manière suivante. L'aiguille AB étant suspendue par un faisceau de
fils de soie et munie d'un miroir dont la normale coïncide avec l'axe
de figure, on laisse cette aiguille se mettre en équilibre sous l'influence
de la terre seule, on lit l'angle u^ que fait la normale au miroir avec
le méridien magnétique, puis on place le barreau fixe en A'B' et on
lit un nouvel angle u'; on retourne ce barreau, on lit u"^ on trans-
porte le barreau A'B' de l'autre côté de AB dans une position symé-
trique et à égale distance du point G, et on lit les angles ti'" et u";

alors on prend u^ pour l'angle de déviation, puis

on répète plusieurs fois ces observations en faisant varier la distance.
Toutes ces opérations durent un certain temps. 11 est donc néces-
saire de tenir compte des variations d'intensité survenues pendant
la durée des expériences. Ce qu'il faut mesurer, ce sont les varia-
tions rapides et non pas les variations lentes; on ne peut donc pas
employer le procédé qui consiste à faire osciller le barreau du second
magnétomètre et à suivre les variations de la durée des oscillations.
En effet, pour évaluer la durée d'une oscillation, il faut mesurer la

556 LEÇONS SUR LE MAGNÉTISME TERRESTRE,

fluri^e tolale d'un fjranci nombre d'osnllalions; si l'on se conffînlait
d'une observation tr^s-courtc, on n'aurait aucune firi^cislon; il faut
donc se servir d'un instrument propre à mesurer les variations rapides :
c'est ce qui a conduit Gauss à imaginer le magn^tomètre ;'■ dcu\ fils.

VARIATIONS BE L'INTENSITE.

325. Principe du mmcnétaBiétrc blfllAlre. — Le magné-

tomètre à deux Bis se compo-te essentiellement d'un long barreau

aimanté borizonlal AB (fig. 317) suspendu par deux fils «wi' et mt

également tendus. Si le barreau n'était pas aimanté, ce syst^mp

fV-.,. fi(...8.

serait en équilibre lorsque les deux lils se Irouvernicnt dans un même
plan et que leufs directions iraient concourir en un point situé sur
la verticale passant [lar le centre de gravlti! du barreau. Si mainte-
nant on fait tourner le barreau autour de la verticale, les deux fils
ne se trouveront plus dans le même plan: comme leur direction
devient oblique, et que leur longueur est invariable, îl faut que le
centre de gravité se soit élevé; il en résulte un couple borizontal qui
tend à ramener le barreau dans sa position primitive. Si le barreau
est aimanté, on conçoit (|ue ce couple puisse faire équilibre au
couple magnétique, et alors les variîitions de la position d'équilibre
indiqueront les variations de ce dernier.

326. Formule M — -]^sinw. — Cvupic atatlqiw. — Proje-
tons sur le plan horizontal toutes les parties de l'instrument. Soit
AB {fig. 5 1 8) la projection de la position d'équilibre du barreau

MESURE DE SON INTENSITÉ. 557

supposé non magnétique : A et B sont les deux points d'attache des
deux fils; ces fils sont fixés au plafond en des points qui se projet-
tent sur AB en C et D. Si l'on fait agir sur le barreau un couple
horizontal, ce barreau tournera autour de son centre de gravité 0,
pendant que celui-ci glissera le long de la verticale. Supposons
OA=OB=/, OG = OD=g^. Pour qu'il y ait équilibre, il faudra que
les conditions d'équilibre d'un corps solide libre de glisser et de
tourner autour d'un axe soient satisfaites, c'est-à-dire que la somme
des projections des forces sur la verticale soit nulle et que la somme
de leurs moments par rapport à la verticale passant par le point 0
soit nulle aussi.

Soit A'B' la nouvelle position du barreau : les fils de suspension
qui se projetaient en CA, DB se projettent maintenant de G en A'
et de D en B'; soit i l'angle que font les fils dans celte position avec
la verticale : désignons par gj l'angle AOA', par S la distance 01 , par
P le poids du barreau appliqué en 0, par t la tension égale des
deux fils , et enfin par M le moment du couple horizontal qui a fait
tourner le barreau.

Si Ton projette les forces sur la verticale, on obtient l'équation

P+ *^/COSÏ = o,

et, si Ton prend les moments des forces par rapport à la verticale
passant par le point 0, on a pour seconde équation d'équilibre

M4-9^^sint = o,
d'oii l'on tire, en éliminant la tension inconnue ^

M = P^tangi'.

La distance du barreau aux points d'attache ne reste pas invariable,
mais elle varie d'une quantité très-faible; on peut donc la regarder
comme constante et égale à la longueur H du fil; de sorte que dans
le triangle dont le sommet a pour projection le point C, dont
l'angle au sommet est l'angle i et dont la base est A'C, on a senfîi-

blement

. A'C
tangi = -jj-

558 LEÇONS SUR LK MAGNÉTISME TERRESTRE.
Il en résulte que

or, S. A'C est le double de l'aire du triangle OA'C . qui a aussi pour
expression OC.OA' sinai ou bien/ç'sinaj; dnnr

M=P=§sin<i..

Telle est l'expression du moment du coupl<> qui tend à ramener le
barreau dans sa position primitive. Gauss a donné h ce couple -j^
le nom de couple statique ou de force directrice statique. On voit que le
moment de ce couple est proportionnel au sinus de l'angle de dé-
viation, au poids du barreau, à la distance des points d'attacbe des
fils, soit sur le barreau, soit au plafond, et en raison inverse de In
distance du barreau aux points d'attacbe.

Lorsque le barreau mobile AB (lig. ^t(j) est dévié de sa position
d'équilibre en A'B', on peut dire qu'il tend à y revenir en vertu de
l'action du couple ->h^i ou mieux on peut imagi-
ner le barreau comme sollicité par deux forces
égales et contraires à -^i parallèles à la ligne
qui joint les deux points d'attache dans la position
primitive, et appliquées en deux points a et fr situés
ù une distance l'un de l'autre égale à l'unité. Il est
Pig'ig. facile, en effet, de vérifier que, si te barreau esl
dévié de a, le couple qut tend k le ramener dans sa position <)'t>qui-
libre est -^sinw.

337. PssIMmu «liver««« que l'on peut assigner au m«-
VuétemAtre bllllalrc. — Supposons que le barreau mobile soit
un barreau aimanté avec toutes les pièces qui servent à le sus-
pendre. Nous donnerons plus tard la description de ces pièces; mais
pour le moment il nous suffira de dire qu'elles permettent de jdacer
le barreau dans tel azimut que l'on veut par rapport au plan vertical
passant par les points d'attache.

MESURE DE SON INTENSITÉ. 559

Au couple directeur vient se joindre Je couple magnétique ter-
restre, et la position d'équilibre dépend de leur combinaison.

On peut alors considérer trois cas : les deux positions du corps
dans lesquelles il serait en équilibre sous l'action de chacune de ces
forces séparément peuvent coïncider, ^tre opposées ou bien former
un angle.

Dans le premier cas, le barreau doit se placer, sous Faction de la
force directrice statique, dans le plan du méridien magnétique, de
telle sorte que son pôle austral soit dirigé vers le nord; dans le se-
cond cas, il doit aussi se ])lacer dans le méridien magnétique, mais
le pôle austral étant tourné vers le sud; dans le troisième, il forme
un angle avec le méridien magnétique. Gauss appelle ces trois posi-
tions : naturelle, inverse et transversale.

i" Dans la position naturelle, si Ton vient à écarter le barreau
d'un angle ûi, il se développe deux couples qui tendent h le ramener

dans cette position; ces deux couples sont -^•' sin ûi et mTsin&i.

Tout se passe donc comme si la composante horizontale mT avait

été augmentée de -•^•9, car le couple qui tend h ramener le barreau

est (-j^- + mTj sin<y.

*?" Dans la position inverse, l'équilibre persiste encore suivant
la même direction; mais il est stable ou instable suivant que le
couple statique est plus grand ou plus petit que le couple magné-
tique. En effet, si Ton vient à écarter le barreau d'un angle ûi, deux
couples naissent encore. Le couple dû à la force directrice sta-
tique — ^ sin w tend à ramener le barreau dans sa position primi-
tive, et le couple dû au magnétisme terrestre mTsina; tend au
contraire à l'en écarter. Tout se passe donc comme si la compo-
sante mT avait été diminuée de -4f'» car le couple qui tend à écar-
ter le barreau de sa position primitive est f mT ^jsinw. Le

barreau déplacé s'éloignera toujours davantage de sa position pri-
mitive si mT est plus grand que -^^ et il finira, après un certain
nombre d'oscillations, par revenir au repos dans la position oppo-

Vkrdkt, IV. — Conférences de physique. , 36

560 LEÇONS SUR LE MAGNÉTrSHE TERRESTRE,
séc pour laquelle le pôle austral est dirigé vers le nord. Mais alors
les fils de suspension se croiseront. Si mT est moindre que -^'<
le barreau reviendra dans sa position primitive. On conçoit <juc l'on
peut disposer l'appareil de manière que »iT soit égal à -j^; alors
ic barreau sera en étjuilibre dans toutes les positions. En modifiant
convenablement les dislances/ ou g, on peut toujours satisfaire à
cette condition, et alors on aura un barreau aimanté asiatique.

On pourrait, d'après le même principe, réaliser un solènoïde as-
iatique de grandes dimensions; il suflîrait de remplacer le barreau
aimanté par un autre fil conducteur disposé en solénoïde, dans le-
quel on ferait passer un courant. En faisant en sorti- que l'on ait
_'Ii9 = T, on aurait un solénoïde astatique.

i^e grand barreau aimanté astalique pourrait aussi servir de gal-
vanomètre.

Les deux positions précédentes ne peuvent
convenir pour mesurer les variations de l'inten-
sité horizontale.

3° Soient ON (fig. aao) la direction du mé-
ridien magnétique, OS la direction que pren-
drait le barreau sous l'action du couple sta-
tique seul; soit enfin OA la |>osilion d'équilibn»
fig tio. qy'ji preQd_ L(| condition de cet équilibre peut

lître représentée par l'équation

inTsin(Ô- &.) = ^'ïsinw.

Il est clair que l'angle w, qui détermine la [losilion d'équilibre,
peut varier pour deux causes, ou bien parce ([ue T varie, ou bien
parce que $ varie. Or T est la seule quantité que nous désirions
mesurer par les variations do tk»; il importe donc que les variations
de 8 produisent le plus petit effet possible sur celles de &>, et l'on
Irouve qu'il faut que l'on ail pour cela

9-^_90'.

D'un autre côté, il importe aussi que les variations de T jiroduisent

MESURE DK SON INTENSITÉ. 5C1

sur <àt les plus grandes variations passible, et l'on trouve (jue cela
exige tf=go".

On peut satisfaire à peu près à ces deux conditions ii la fois en
faisant ô= (|0 et en prenant -j^ beaucoup plus grand que ml. ce
(jui fait que a» reste toujours trf>s-peli(. Alors on a

d'où l'on voit que la tangente de l'angle de déviation est <^gale à
une constante multipliée par la composante horizontale du couple
terrestre; et comme l'angle w est toujours très-petit, les vnriations
de â) sont à très-peu près proportionnelles à celles de T, de sorte

que l'on pourra connaitrc les variations de T au moyen de celles
de a»; il suffira d'avoir déterminé par expérience la constante y ■ -p-
Pour comprondn' comment on détermine cette constante, il faut
connahre toutes les j)iti;es dont sn compose l'appareil.

562 LEÇONS SUB l,K MAdNKTISME TFIIIRKSTRE.
338. DcMripMon du [uMcnétométPC bliOlalr».

1

tnagiiétomètre bitilnïre est rc[>réscnli! «tnns les ligures tsi. laa.

UËSURR DE SON I^TE^SITÉ. 5C3

:id3 et 3 3^. Les figures 333, a^Set a^l représentent deux coupes
rectangulaires de rinstrumenl, H la figure aai sa projection liori-

Fig..,*.

zonldle. La fi);ui'e ua5 est une coupe verticale d'une partie de l'ap-
pareil. Les mêmes lettres représentent les mêmes objets dans cci>
diverses figures.

L'appareil peut se diviser en trois parties : 1" les lîls, qui servent
à le soutenir: 3° l'étrier, qui supporte le barreau aimanté; 3° le
miroir.

1° I^e fil de suspensiony/y est unique, en acier, de 6 à 7 luèlitts
de long et d'un diamètre sufiisant pour porter un poids de 1 5 à
3o kilogrammes; il est attaché au magnélomètre par ses deux citré-
mités et s'enroule en son milieu sur deux poulies métalliques fixées
au plafond. Ces deux poulies v, n glissent dans une rainure, de
sorte qu'on peut les éloigner plus ou moins. On peut encore donner à
la ligne qui va d'une poulie à l'autre telle direction que l'on veut.
Il résulte de cette disposition que les fils seront toujours également
tendus.

9° Par leur partie inférieure, les lils s'enroulent sur des vis pré-
sentant la même particularité que celle qui soutient le magnéto-
mètre à un seul fil, c'est-à-dire que le point de contact du fil et de
la vis garde toujours la luéme position dans l'espace.

564 LE(,;OMS SUH LE MAGNÉTISME ïEKRIiSTRE.

Ces deux vis horizontales V font corps avec nn cercle divisi! hori-
zontal ce. La^ liaison se fait au moyen de la [>ièce horizontale ËB
et de la piice centrale FF,
comme on le voit fîg, 3 3 Et.

Cette disposition permet à
l'alidade A A de faire un tour
entier autour du cercle au-
dessus duquel elle est placée.
L'angle de rotation s'apprécie
avec beaucoup d'exactitude sur
*' " ' le cercle CC au moyen de deux

verniers w, w tracés dans une petite échancrure de l'alidade..

Cette alidqde dépasse le cercle CC et fait corps avec l'élrier GG,
dans lequel se place le barreau aimanté que l'on serre avec les
quatre vis v.

Le barreau doit être gros et lourd pour plusieurs raisons. II faut
d'abord qu'il puisse bien tendre les deux fils d'acier qui soutiennent
tout le magnétomètre. Il faut ensuite qu'il produise entre l'alidade AA
et le cercle CC un frottement qui ne puisse être vaincu pnr l'effort
que font le couple statique pour ramener le cercle dans une direction
et le couple magnétique pour ramener le barreau dans une autre
direction. Or il faut, comme nous l'avons dit, que le couple sta-
tique soit beaucoup plus grand que le couple magnétique. Enfin,
en donnant h l'appareil un grand moment d'inertie, on obtient ce
résultat qu'il n'est plus aussi impressionnable aux causes perturba-
trices, telles que l'agitation de l'air ou bien une variation brusque
dans la direction de la déclinaison. Dans l'observatoire de Gœttingue
le barreau aimanté pèse t3'^',5,

3° La partie centrale est traversée par un a\c cylindrique na
pouvant tourner h frottement. A sa partie supérieure, cet axe sou-
tient un cylindre creux B qui porte un miroir vertical M. Le cylindre
creux et avec lui le miroir M peuvent tourner librement autour de
l'axe aa, et , lorsqu'on veut empt^cher cette rotation , on serre la vis q.
Par sa partie inférieure, l'ave «n fait corps avec une alidade bb (jui,
se recourbant, envoie ses deux extrémités glisser sur le cercle CC
près de la graduation. Deux verniers W, W, tracés sur ces extrémités.

MESURE DE SON INTENSITE. 565

permellent d'évaluer l'angle dont on a fait tourner le miroir par
rapport au cercle. Lorsqu'on veut empêcher le mouvement de l'axe oa,
on n'a qu'à serrer la vis /;. Ce (jui soutient l'axe aa, c'est son frot-
tement avec la pièce F et les extrémités de l'alidade bb. On voit que,
par celte disposition ingénieuse, on a fait servir le même cercle
gradué à la mesure de deux angles de rotation indépendants l'un
de l'autre.

329. Application du wnmgnéiownétre bifilaire m la me-
mire de» variatioiui de l'intensité horisontale* — manière
de régler Tinstrunient* — Maintenant que nous connaissons les
diverses pièces du magnétomètre à deux fils et les mouvements
qu'elles peuvent prendre, nous sommes en état d'exposer les opé-
rations nécessaires pour déterminer les variations d'intensité.

On commence par régler Tinslrument, et, à cet effet, on place
dans l'élrier un barreau de cuivre de même poids et de même forme
que le barreau aimanté dont on doit faire usage, de sorte que la
force directrice statique qu'il produit est la même que celle que pro-
duit le barreau aimanté. L'appareil prend une position d'équilibre,
et dans cette position les deux (ils de suspension doivent évidem-
ment être situés dans un même plan. Gela étant, on fait tourner le
miroir M jusqu'à ce qu'on aperçoive en coïncidence avec le fil verti-
cal de la lunette la division G de la règle devant laquelle passe un
fil à plomb suspendu devant l'objectif de la lunette. La lunette,
comme dans le magnétomètre à un seul fil, a été réglée sur une
mire intérieure qui permet de reconnaître si elle se dérange; le fil
à plomb doit passer devant le centre optique de la lunette; en-
fin la règle divisée est perpendiculaire au plan qui contient le fil à
plomb et le centre optique de la lunette. Lorsque l'image de la di-
vision G est en coïncidence avec le fil du réticule, on est sûr que la
normale au miroir coïncide avec la projection de l'axe optique de
la lunette sur le plan horizontal passant par cette normale.

Remplaçons maintenant le barreau de cuivre par le barreau ai-
manté , en prenant soin de le disposer de manière que son pôle aus-
tral soit dirigé du côté du nord ; si l'on abandonne l'appareil à lui-
même , il se produira une déviation , sauf le cas très-particulier où ,

566 LEÇONS SUR LE MACJMÉTISME TERRESTRE.

le système étant dirigé de manière que le couple dû à la force direc-
trice statique soit nuK l'axe magnétique du barreau se trouverait
dans le méridien magnétique. Par suite de cette déviation, l'image
de la division G ne sera plus en coïncidence avec le fil vertical de
la lunette; mais si l'on fait tourner l'alidade AÂ , qui soutient l'étrier,
de manière à rapprocher le barreau du méridien magnétique, le
pôle austral étant toujours dirigé vers le nord, on fmira, après
quelques essais, par ramener la division G en coïncidence avec le
fil vertical de la lunette. La normale au miroir coïncidera de nou-
veau avec la projection horizontale de l'axe optique de la lunette,
et, comme on n'a pas changé la position du miroir par rapport aux
points d'attache des deux iils d'acier, ces deux points d'attache au-
ront repris leur position primitive, c'est-à-dire que l'appareil sera
dirigé de telle sorte que le couple dû à la force directrice statique
sera nul.

Cela étant, écartons le barreau du méridien magnétique. Il se
mettra à osciller sous l'action de deux couples qui s'ajoutent, le
couple terrestre F^ et le couple statique M„. Soit N le nombre d'os-
cillations exécutées par le magnétomètre pendant l'unité de temps:
alors F^ + Mo est proportionnel à N^, et l'on |)eul poser

F. + M, ^: kK' ,

k étant une constante qui ne dépend ([ue du système oscillant.
Posons vi- — Ko, l'équation précédente devient

^l[t + \^J^k^^'.

On retourne le barreau aimanté bout pour bout, de sorte que le
pôle austral se trouve dirigé vers le sud. Comme le couple statique
a été pris plus grand que le couple magnétique, il y a encore équi-
libre stable. L'appareil ne se sera pas dérangé si l'axe magnétique
du barreau coïncide avee son axe géométrique. Si la division G ne
coïncidait plus avec la croisée des fds du réticule, on l'y ramènerait
eu faisant tourner l'alidade AA. Si, dans cette nouvelle position, on
fait osciller de nouveau le magnétomètre et que l'on compte le

MESliBE DE SON INTENSITE. 567

nombre n d'oscillations exécutées dans l'unité de temps, on a

M.(i -R.)-W.
Donc

14- II. tr

|-B.~n''
d'oii l'on déduit

"•-NV?-
Ce riip|)url R„ esl |i<ir hypotlièsc plus petil ijue l'uiiiltS: un doit s'ar-
ranger de manière (ju'il en diffère très-peii, de ^ ou ^ environ.
S'il en était autrement, on modifierait la force directrice statique
en faisant varier la dislance des deux points d'altarhe au plafond.
On peut poser

B„=siii;

et calculer l'angle z, plus petit que ()0 degrés, qui satisfait à cette
équation. Cet angle étant connu et le barreau uimanté élanl toujours
dans la seconde position, c'est-à-dire dans le méridien magnétique
avec son pôle austral dirigé vers le sud. faisons tourner l'alidade AA,
qui supporte l'étricr, d'im angle de 90" — ;: et abandonnons l'appii-
reil à lui-même. 11 |)reudra une certaine posi-
tion d'équibbre dans laquelle la ligne des points
d'attache des deux lils fera avec sa direction pri-
mitive un angle x. Soit NS (fig. -j^ô) le méri-
dien magnétique qui rontenail d'abord l'axe
magnétique du barreau. On a fait tourner le
barreau d'un angle NOB = <)o"— -•. Comme la
terre tend Si amener le barreau dans le méri-
Fig. ..G. dien magnétique, le pAle boréal B en S, le bar-

reau aimanté fera tourner l'appareil dans le même sens d'un angle
X dès que l'appareil sera abandonné ii lui-même. L'angle NOB' est
donc égal à x + ^o' — z, et la condition d'équilibre sera

M„sinaT=-= KoSin (x-i- 90° — z)
on bien

.sin j;'^sinisin(aî + 90° — -) = sin;i'os(iC — ;)
= sin z (coszcos j; -j- sin x sin z).

568 LEÇONS SUR LE MAGNÉTISME TERHESTRE.

On tire de là, en multipliant sinarpar i =cos^2 + sin22,

sin X cos^ z = sin z cos z cos 0? ou tanga; = tangz et x=-z.

Donc l'angle NOB' est droit, et la nouvelle position d'équilibre est
perpendiculaire au plan du méridien magnétique.

Celte opération est susceptible d'une vérification. L'appareil tout
entier ayant tourné d'un angle z, la normale au miroir a aussi tourné
du même angle. Donc, si l'on fait tourner d'un angle z et en sens
contraire de la rotation précédente l'alidade bb, qui entraine avec
elle le miroir, on devra voir la division G venir coïncider avec la
croisée des fils du réticule de la lunette. Si cette vérification ne se
faisait pas, il faudrait recommencer les opérations précédentes.

Les coadilions que nous venons d'indiquer étant remplies, l'ap-
pareil se trouve dans son état initial. Les opérations qu'on a exécu-
tées ont une certaine durée, et il faut rapporter tous les résultats *
à une môme époque. Il est nécessaire de déterminer pour cette
époque la déclinaison magnétique à l'aide du magnétomètre à un
seul fil, ou seulement de remarquer la division devant laquelle se
trouve Taiguille d'une boussole qui donne les variations de décli-
naison, afin qu'on puisse connaître cette variation au bout d'une
époque quelconque.

330. marclie de» observations. — moyen d'en déduire
les variations d'intensité* — L'appareil étant abandonné à lui-
même finira par se déranger pour deuv raisons : d'abord parce que
l'intensité magnétique du globe change, ensuite parce que la décli-
naison change. La déviation de lappareil se mesurera facilement à
l'aide de la lunette, du miroir et de la règle divisée. Il s'agit de voir
comment on peut en déduire les variations de la composante hori-
zontale de l'intensité du magnétisme terrestre.

Remarquons, en passant, que le magnétomètre à deux fils pour-
rait servir à la mesure de l'intensité absolue, mais il faudrait faire
pour cela des opérations assez compliquées. D'ailleurs les résultats
auxquels on arrive sont moins exacts que ceux que fournit le ma-
gnétomètre à un seul fil; aussi nous ne dirons rien de ces opérations,

MKSUKE DE S0^ INTENSiTK. 569

et nouK allons tout de suite nous occuper de la mesure des variations
d'intensité.

Supposons qu'à un certain instant on observe à l'aide de ia lu-
nette une déviation p : cela veut dire que tout l'appareil a tourné
d'un angle p à partir de la direction initiale OL (lig. aay); par
conséquent i'a\c magnétique a aussi tourné du même angle, et l'on
a BCB' =^p. Cet angle peut être situé d'un côté ou de l'autre de AB.
Regardons-le comme positif lorsqu'il sera compris dans l'angle BCS
et comme négatif lorsqu'il sera dirigé dans l'angle BCN. Supposons
qu'en outre le plan du méridien magnétique ait tourné à partir de
sa position initiale NS d'un angle
NCN'=y positif dans le sens de la
flèche. Cet angle est donné par la
boussole des variations ou le magné-
tomèlre à un seul fll. Menons ab
perpendiculaire à CS', nous aurons
BCA = q ; donc iCB' =p — g et
^•«- "'!■ l'angle B'CN' est évidemment égal à

90"+;» — ^. Dans la position ACB, la ligne qui joint les deux points
d'attache faisait avec sa position de repos un angle z; cet an^e est
donc maintenant z+p. En supposant que le rapport du moment
magnétique au moment statique soit devenu R = rB,, l'équation
d'équilibre est

sin(î-|-p) = rB,8in(9o''+p — y),

el, comme B„-=sinr, on a

Ainsi ce rap|>or[ r est entièrement connu.
Nous avons posé

FM.

570 LEÇONS SUR LE MAGNÉTISME TERRESTRE.

Soient T l'intensilé de la composante horizontale du magnétisme
terrestre, m le moment magnétique du barreau; alors mT est le
moment majtimum F du couple qui sollicite le barreau aimanté à se
diriger dans le plan du méridien magnétique, ^ous avons vu que le

moment maximum M du couple stati(|uo a pour expression "u^;
donc

'l\ m, 11, / f/'
d'où

T '^'•'"'' ^^- f y r
m H /, g^

Le moment magnétique m^ se rapporte au barreau pris à la tempé-
rature ^o qu'il avait à l'instant initial. Désignons par /x ce que serait
ce moment magnétique si la température eût été zéro, et appelons
T ce ([ue devrait être la composante horizontale du magnétisme ter-
reslre pour que l'on eût

Tfx = T„m„ ,
il vient

m H /„ g.

d'ailleurs on a, d'après la loi de Kupffer, -^=~i+y/, t étant la

température du barreau dans la seconde expérience et y le coeffi-
cient que l'on trouve dans les tables. On a aussi

J » .7"

en désignant par (', l[ les températures au plafond, et

H„_ 1

H , t^t'-JK-^t'S
i+a

/3 étant le coefficient de la dilatation du laiton et a celui de l'acier
On prend pour température du fil de suspension la moyenne des
températures de ses deux extrémités. Si l'on pose

MESURE DE SON INTENSITÉ. 571

il vient

et, en négligeant les quantités du second ordre,

T=[,+7H-(/S-")(d+(?')]rr.

Cette formule servira à déterminer T lorsqu'on aura déterminé la
constante t, ou, si on ne la détermine pas, elle fera connaître le
rapport des intensités horizontales du globe à doux époques diffé-
rentes.

Cette quantité t n'est pas absolument constante, car nous avons
posé

0"-0"

Le second membre est une quantité donnée une fois pour toutes;
pour que t fut constant, il faudrait donc que fx le fût aussi. Or, (x est
le moment magnétique du barreau aimanté réduit à zéro, et, lorsque

nous avons écrit l'équation — = i + y^ nous avons supposé que le

moment magnétique du barreau ramené à la température zéro se
rapporte à l'époque de la dernière expérience. Or on sait que le
moment magnétique d'un barreau aimanté, réduit à zéro à des
époques différentes, n'est pas absolument constant; il varie très-
lentement et très-peu lorsque le barreau a été placé dans des condi-
tions convenables, mais il varie. 11 suit de là qu'il faudra déterminer
la constante t à des intervalles de temps qui ne soient pas trop éloi-
gnés, par exemple de huit jours en huit jours. Quand on aura un
certain nombre de valeurs de t, on pourra avoir recours à des for-
mules d'interpolation pour les jours intermédiaires.

IV.

MESURE DE TINCUNAISON.

331. Iiiconiréiileni de la nièihode ordinaire. — Nous
avons déjà dit que les procédés anciennement employés pour déter-
miner l'inclinaison n'étaient susceptibles d'aucune exactitude. On
sait que dans ces procédés, pour corriger l'erreur provenant du
défaut de centrage de la boussole, on aimante l'aiguille en sens
contraire; mais, pour que ce procédé fût exact, il faudrait rendre à
l'aiguille la même intensité magnétique, et c'est ce qu'il est impos-
sible de faire. En général, toule méthode qui nécessitera un renver-
sement dans les conditions physiques de l'appareil sera vicieuse.

332. Iflétiiode de Gauss. — Gauss a donné pour la détermina-
tion de l'inclinaison une méthode qui ne nécessite pas ce renverse-
ment dans les conditions physiques de l'appareil. On détermine le
rapport de l'intensité absolue des deux composantes horizontale et
verticale du magnétisme terrestre; de la connaissance de ce rapport
il est facile de déduire l'inclinaison.

(lette méthode est fondée sur le principe suivant : Imaginons
dans l'espace une force magnétique quelconque et un conducteur
métallique fermé dont le plan soit d'abord parallèle à la direction
de la force; supposons que, par une rotation autour d'un axe con-
venablement choisi, on amène ce plan à être perpendiculaire h la
direction de la force : pendant la rolalion il se développera dans le
conducteur un courant induit dont l'intensité est proportionnelle à
Taire du conducteur et à l'inlensité de la force magnétique. Si l'on
continue à faire tourner le conducteur autour du même axe jusqu'à
ce que son plan soit redevenu parallèle à la force, on développe un
courant de même sens égal au premier. Cela posé, imaginons un
conducteur circulaire que l'on puisse faire tourner successivement
autour d'un axe vertical situé dans le méridien magnétique et autour
d'un axe horizontal situé dans le même plan. Supposons mainte-
nant que, le conducteur étant situé dans le plan perpendiculaire au

MESURH DE L'INCLINAISON. 573

méridien magnétique, on le fasse tourner de i 80 degrés autour du
diamètre vertical : le courant développé sera proportionnel à Taire
du conducteur et à la composante horizontale H de l'intensité du
magnétisme terrestre; faisons maintenant tourner le conducteur,
d'abord horizontal, d'un angle de 180 degrés autour de son axe
horizontal, nous obtiendrons un nouveau courant proportionnel à
l'aire du conducteur et î\ la composante verticale V du couple ter-
restre. Si l'on parvient a mesurer les intensités I et V de ces deux

courants 9 on aura

r V ,

t étant l'inclinaison cherchée.

Le conducteur que Ton emploie est une bobine plane d'un grand
diamètre, que l'on fait tourner successivement autour d'un axe ver-
tical et autour d'un axe horizontal. On mesure les intensités des
courants développés, à l'aide d'un galvanomètre particulier dans
lequel les déviations de l'aiguille sont appréciées au moyen d'un
appareil à miroir. On observe les impulsions de l'aiguille du galvano-
mètre; or nous savons que ces impulsions sont proportionnelles aux
quantités d'électricité développée, et ces quantités d'électricité pro-
portionnelles elles-mêmes h l'intensité du courant. Ce sont ces quan-
tités d'électricité qui sont proportionnelles aux composantes H et \\

Il est impossible de placer les axes de rotation l'un parfaitement
horizontal et l'autre parfaitement vertical; on corrige les erreurs qui
résultent du défaut de coïncidence, en répétant l'expérience après
avoir renversé la disposition de l'appareil et prenant la moyenne des
résultats obtenus.

La méthode de Gauss, qui est très-précise, a été longtemps peu
usitée, parce qu'elle nécessitait l'emploi d'un appareil inducteur et
d'une espèce de galvanomètre encore peu connue.

333. Appareil slmpllflé donnant les rapports des In-
ellnalsons en différents lieux* — L'appareil de Gauss ne peut
évidemment pas servir pour les observations que l'on fait en voyage.
M. Weber a construit un appareil très-simple qui peut être employé
avec succès pour de pareilles observations.

574 LEÇONS SUR LE MAf.NÉTlSME TERRESTRE.

Cet appareil, dont Ips figures :7q8, sag donnent une vue verti-
rale et horizontale, ne pennet de déterminer que les rapports des

inrlinaisons absolues pour les différents lieux de la terre. Il se noin-
pose d'un fjros barreau de cuivre
d'un rentimiHre d'épaisseur, con-
tourna en anneau et mobile autour
d'un axe horizontal aa (Tiff. aaS et
32<j); d'un côté l'axe a fait rorps avec
l'anneau el sert à lui imprimer un
mouvement de rotation, de l'autre
Kig. ,ir,. l'axe bc resle fixe et traverse l'anneau

à frollement doux. La branche /te de l'axe supporte au centre de
l'anneau une boite cl> dans l'intérieur de Litiuelle est suspendue
une petite aiguille aimantée.

On commence par amener l'îixe de rotation dans le plan du mé-
ridien ni;igniHi(pie : pour cela on le fait tourner jusiju'à ce que l'ai-
guille aimantée vienne au zéro; l'appareil a été construit de telle
sorte que l'axe se trouve alors dans le jtlan du méridien magnétique.
On amène ensuite le plan de l'anneau à être horizontal, et U est clair
que ce plan est alors ))erpendiculaire au méridien magnétique. L'an-
neau étani ainsi disposé, on le fuit tourner de i 80 degrés: un courant
induit prend naissance, r.iigiiille esl déviée et la tangente de l'angle

MESUHt DE L'INCLINaISON. 573

dp déviation est |)rO[>orlionnel)e au rapport ï| ou à la tangente dn
l'inclinaison au lieu où l'on fait l'expérience. Pour le montrer, ana-
lysons ce qui se passe. Chaque fois que l'anneau tourne de 180 dr-
Rrés, h courant change de sens; mais il tend toujours ù faire di'vier
rai({uille dans le môme sens, comme nous allons le démontrer. I.n
seule composante de la force terrestre dont il faille tenir compte est
la composante verticale, car la composante horizontale, étant paral-
lèle à l'axe dé rotation de l'anneau , ne peut en aucune façon le faire
tourner, et par suite, d'appps la loi de Lenz, est inrapahle d'y di'-ve-
lopper aucun courant.

(Choisissons pour plan de la (igurc le plan horizontal : la compo-

sante verticale de la force terrestre sera une droite NS )^(ig. -(So)
perpendiculaire ii ce plan.

Supposons que le conducteur tourne à partir de celte position, de
manière que le point C vienne en avant de la figure, et soit/' le sens
du courant induit développé: tant que le point (^ s'éloignera de NS,
le sens du courant ne changera pas; par conséquent le sens du cou-
rant persistera tant que le point C ne sera pas venu en C. A cet
instant le courant circule dans le sens de la flèche/': mais, dès que
le point C aura dépassé C, le courant changera de sens, puisque ce
point se rapprochera -de NS et circulera dans le sens de la flèche/*.
Si l'on imagine un ohservateur ]iiaci' dans le courant d'après la règle
connue, on verra que sa gauche est encore dirigée vers C,', et par
Vrjii>Er. IV. — rmiifr-roiirra ili> i.litiiiuii. . :l-

576 LEÇOiNS SUH LE MAGNÉTISME TEKRESTRE.

suite que le pôle austral a doit être dévié encore dans le ménie sens.

Cela posé, nous savons que l'action d'un élément de courant sur
un pôle est perpendiculaire au plan mené par l'élément de courant
et par le pôle; comme l'aiguille est petite, nous pouvons supposer
ce plan confondu avec le plan de l'anneau et regarder par consé-
quent l'action du courant sur le pôle comme perpendiculaire cons-
tamment au plan de l'anneau.

Appelons ^ l'angle que fait le plan de l'anneau avec la verticale
à l'époque t : pendant un instant dt il décrira un angle f/(p, et, si
l'on appelle rie rayon de l'anneau, X sa résistance, le courant induit
(pii on résulte sera représenté par

L'action exercée par chaque élément de courant sur l'aiguille sera

MT
«lonc ^'i en appelant M le moment magnétique do l'aiguille, et,

par suite, celle qu'exerce le courant tout entier sera

MT, îiTrVMV ^j^
9 ir — :,- == — s- — cos^ d(p.

La composante horizontale de cette force qui est perpendiculaire
au plan de l'anneau concourt seule à faire dévier l'aiguille, et son
o\|)ression est

> ros-(pr/e.

Pour avoir l'action exercée pendant une révolution entière, U faut

^

TT , , TT . , TT /'

intégrer de — - n -f- » ce qui donne -v- MV.

Si, au lieu d'un seul tour, l'anneau en fait //. faction sera

}} ~<- MV. Telle est en définitive l'expression de la force qui sollicito

l'aiguille et la dévie; elle est horizontale et perpendiculaire au plan
du méridien magnétique. Si faiguillo a été déviée de l'angle « il
est clair (|ue l'on devra avoir

// ^ M\ rosa - M sinof.

A

MESURE DE L'INCLINAISON. 577

(1 OU

tanga-=— y— |-j== Afj— A tanffj.

fjri tangente de la dévintion est donc proportionnelle à la tangente
de rinclinaison; elle est du reste aussi proportionnelle au nombre
de rotations effectuées en une seconde. Le rapport des déviations ob-
servées h l'aide de l'appareil en différents lieux fera donc connaître
le rapport des inclinaisons. Du reste, si l'on a déterminé la cons-
tante A par des expériences préliminaires, l'appareil fera connaître
langt au moyen de tanga.

i<7

V.

THKOHIE l)[ MACi.NÉTISME TERRESTRE.

H 3 /l . A ncienne théorie du masuétisnie terrestre fondée
mur l'hypothèse d*iiii aimant dont l'aiLe est un diamètre de
la terre. — On doil à Eiiler le premier essai d'une théorie mathé-
nialique du magnétisme terrestre. Cette théorie est fondée sur l'hy-
pothèse d'un aimant terrestre. On suppose que cet aimant est dirigé
suivant un diamètre de la terre qui fait avec l'axe de la terre un
très -petit angle, et que ses deux pôles sont à égale distance du
rentre. On peut déduire de cette hypothèse plusieurs conséquences
sans le secours de l'analyse : i° Sur tous les points d'un grand
cercle perpendiculaire à l'axe magnétique de l'aimant terrestre, l'in-
rlinaison est nulle; ce grand cercle est donc l'équateur magnétique.
9" En chaque point de la terre, l'aiguille aimantée est toujours
dirigée dans le plan du grand cercle qui passe par ce point et par
l'axe de l'aimant; les méridiens magnétiques sont donc des grands
cercles. Quant aux lignes d'égale inclinaison, ce sont des petits
cercles dont le plan est perpendiculaire à l'axe de l'aimant.

Si l'on veut aller plus loin, il faut nécessairement faire des hy-
pothèses sur la position des pôles de l'aimant et admettre la loi de
Tatlraclion en raison inverse du carré de la distance. Euler, qui ne
connaissait pas cette loi, y a suppléé par des hypothèses purement
gratuites que nous ne rappellerons pas. Quant à la position des
pôles de l'aimant, on la suppose assez voisine de la surface de la
terre, afin d'e\pli(|uer comment il se fait que, dans le voisinage du
pôle nord et du pôle sud, l'aiguille aimantée prenne une position
verticale. On sait en effet que, si l'on promène une aiguille aiman-
tée près d'un aimant, l'aiguille prend une position verticale lors-
qu'elle passe au-dessus du pôle de l'aimant.

335. Caleuls de Biot. — Détermination de l'anirl^ «■« to
résultante maf^nétique avee l'axe maf^nétique du i^lobe.

— Cette hypothèse n'a pu se soutenir dès (pi'on a eu les éléments

THEORIK DU MAGNETISME TEBKKSTIIE. 579

ix^cuKiiaires pour Irucer les méridiens el l'équatcur magnétiques; en
effet, ni les méridiens ni réi|niitcur ne se Irouvunt Ôlre des grands
rerctes. Cepe&dnnt il étiiil ulile de voir jusqu'à quel point elle
représentait les observalions et de chercher si i'oii n'en pourrait
|ias déduire des formules euq)iriques sullisaminent exactes. (]e tra-
vail a été accompli par Biot, qui en a publié les résultais en iSo'i.
IjC même IravHil avait été déjà exécuté par l'aslrononio allemand
Tobie Mayer; mais il ne fut publié qu'en 1810, après la mort de
cet astronome. Biot utilisa les déterminations que de Humboldt
avait faites dans l'Amérique du Sud, où il avait mesuré l'ini-linai-
son et l'intensité du magnétisme terrestre pour un grand nombre
de stations; tl y joignit les obsenalions qu'il avait eiïecluécs lui-
même dans diverses contrées de l'Europe, en France, en Allemagne,
en Italie, en Espagne, discuta toutes ces observations, les compara
à la théorie d'Euler, et cette étude eut pour résultat de changer
eomplétement les idées que l'on s'était faites sur la position des pôles
de l'aimant terrestre. C'est ce quo nous niions essayer de faire
concevoir.

Par l'aimant terrestre et |iar le lieu de l'observation , faisons pas-
ser un grand cercle que nous prendrons pour plan de la figure.
Soient 0 (fig. !i3i) le centre de la terre, xx' l'axe de raimant ter-
restre, A le pôle austral et B le
pôle boréal de cet aimant : nous
supposerons ces deux pôles situés
à égale distance du centre 0 et
nous poserons OA = OB = a.
Soit \I un point de la surface de
la terre : cherchons l'action exercée
par l'aimant terrestre sur une
molécule de lluide austral placée
en ce point, dont nous désignerons
''■ '^'* les coordonnées par j, y. Pre-

nons pour unité la masse magnétique de la molécule de fluide aus-
tral placée en M , et appelons /* les masses magnéti(|ues des deux
pôles A et B.

L'action du pôle A sur la molécule M sera une force répulsive

5»0 LEÇONS SUR LE MAGNÉTISME TEKKESTHE

ayant pour expression

_^

L'aclion du pôle B sur M sera attractive et aura pour expression

BM- '

Soit MP la direction de ta résultante de ces deux forces. I^our cal-
culer cette résultante et sa direction, nous allons chercher ses com-
posantes X et Y [)arallèles aux axes Oj; et Oy.

Suivant Ox, la force répulsive émanée de A donne

,— :, cos M Aj; ,
AM-

et la force attractive émanée de B

~i::COsMBx.

Donc
A ^ _4 , cos MAx - JL. cos MB^- = fà!±^ ^ fil£^ .

AM^ BM- AM^ BM^

On aura de même

Y ^ ^, sin M Ax - J^^ sin iMBx «.^, - ^ .

Joignons les points 0 et M, désij[nons Tangle ÎAOx par u et le
rayon de la terre par r, nous aurons '

a: = r cos w, y =*= r sin u,
AM' = 0L^=^à^+r' + ^nr cos u, BiM = a'* = a^4-r^—-* a or cas il,

ou hien, en posant a = hr, h étant une quantité à déterminer,
a'i ^ r2( 1 + 3/1COSM + A2), a'^ = r^{\~ ah cos u + /**)•

On en déduit

Y fx /(OS a -h A cos a — li\

y (JL /sin (( sin u\

THÉORIE DU MAGNÉTISME TEIUIESTKE. 581

Désifjnons par jS lan^jle que fait avec Ox la résultanle MP, nous
aurons

(i) tan{j/3 = ^ =

I a*"* -h a

COS M -f- /l -PT

a" — a

Celte formule ne peut pas servir immédiatement pour éiablir une
comparaison entre les résultats de la théorie ei ceux de robservation,
car elle contient l'indéterminée A. Biot a commencé par déterminer i
la position de l'équateur magnétique. Comnie il ne s'agit qae d'une
vérification approchée, on ne devra pas prendre pour ëquateur ma-
gnétique la ligne réelle qui est à double courbure, mais le grand
cercle qui s'approche le plus de cette ligne. 11 suffit donc de eon-
nattre deux points del'équateur magnétique, mais, pour plus d'exac-
titude, on devra prendre deux points assez éloignés. Biot a choisi
deux observations faites, l'une par Lapeyrouse sur la côte du Brésil,
par io"57' de latitude australe et iî5"*j5' de longitude occidentale,
l'autre par de Humboldt au Pérou, par 7° i' de latitude australe et
8o°4i' de longitude occidentale. A l'aide de ces deux observations,
Biot a pu déterminer la position d'un grand cercle qui ne s'éloignait
pas trop de l'équateur magnétique vrai.

336. Nous pouvons maintenant expliquer comment diî la for-
mule (1) on peut déduire l'inclinaison pour le point M. Désignons

par a' la latitude magnétique du point M, nous aurons X'=r-=^ — «;

|)Our obtenir l'inclinaison, menons la (angente MH au point M, Tin-
clinaison 1 sera égale à l'angle HMP; quant à l'angle /S, il est égal
à l'angle obtus xPM', et si Ton pose MPx = /S', on aura /3'= /S - 1 80".
Cela posé, on trouve facilement

Portant cette valeur dans la formule (t), il viendra

(3) tang(X' + ;)^ ''''^'

.•^'

a' —a'

J8i l.liÇOHS SLR \.E M AGiNKTISMK TKHHKSTltK.

et cettti runuuli' doiiiieri) riiirlinaiiioii r ijiianJ on connaîlra la latî-

lu(k> iiiugiiéli(|uc >'.

\ oyons iiiiiinluiianl coiiiiiicnl on [ictil calculer ctiltc hititiide.
Soient i\E (lij[. ;i3'j) rûquiiteur terrestre, .NE' l'éiiuateur nidfrnû-

tiijue <]iie l'on su|i[)osc lître *mssî un grand cercle, et M le lieu donné

sur ie (rlol)c ayant pour longitude AK = / et pour latitude géo};ra-
phlque MK ^ X. Menons de ce |)oinl l'arc
de grand cercle MK', peqiendiculaire à l'é-
quateur magnétique ^E' : cet arc re|»ré-
sentera la latitude magnétique >' du
point M. Or, comme on connaît la longi-
tude AN ou « du nœud de l'équateur ma-
gnétique, on aura ^E = / — «. Ainsi,
dans le triangle sphéinque MNE rectangle

en K, un connaîtra les deux côlcs MK, NE; on ()ourra donc cak-uler

l'bypoténuse MN ou H et l'iingle ^ par les formules

IMIS H ^ cos X cos (/ - «l»).

lî-N-'

si»:/-^;

l/iuigle N étant coiniu, im en retnincli.TJi i'iijtii liaison I =ENE'
dfs deuv équaleiirs, et l'un connaîtra l'angle MNK'. Alors, dans le
Iriatifjle MNK'. l'arc ME' ou X'. Iiililtide magnétique du jmint M,
s'obtiendra par la formule

sinX'--sinHsin(N- I).

337. Vétcrnilnntlsn de In conalniitc 'i- — Pour détermi-
ner la \aleur de la uonslanle /'. Itlol a choisi une observation faite
par de Huinboldt à la station de tiarirhana par l)"3V de latitude bo-
réale el 70" iS'dc longitude occidentale, ce (|ul donne 1 i°5a' ponr
latitude magnétique du lien. L'observation a donné 3o°-j&' ponr
l'inclinaison en ce lieu. En partant de là, si l'on voulait résoudre la
Formule par rapport à li. on trouverait une valeur négative, ce qui
ne peut avoir aucun sens. 11 a donc fallu, pour se faire une Idée
de la valeur de h, o|iérer d'une aulre manière. Après avoir remplacé

THÉORIE DU MAGNÉTISME TERRESTRE.

583

dans la formule (s) ^' par sa valeur, on a donné à li différentes
valeurs et Ton a calculé les valeurs correspondantes de i, que Ton
a comparées à celles (|u'avait données l'observation. Voici le tableau
des résultats obtenus :

VALEtRb DE II.

t

0,6
0,5
0,îi
0,1
0,01
0,001
lufiaimeul petit.

IKCLIRAISOTIS

calnilôes.

(;•

57'

16"

55'

M>°

5'j'

•j6'

^7'

•jy-

35'

ay"

56'

•^7°

57'

07"

59'

nCLlBiAlhOV

observée.

3o" îi/i'

DIFPEBKNGKS

avec les

inclinaisons

observées.

13-39'
10" 33'
3*57'
a" 49'
3" 38'
3" 37'
3" 35'

338. Conséquences du calcul de /i. — Du tableau précédent
il ne résulte pas qu'en prenant h très-petit on représente d'une ma-
nière suffisamment exacte l'observation ; cependant on doit en con-
clure que si l'on veut assimiler le magnétisme terrestre à un aimant
il faut supposer les pôles de cet aimant très-voisins du centre de la
terre, et toute hypothèse physique qui conduirait à un résultat con-
traire devra être rejetée.

En partant de ce résultat, on peut metire lu fornmie (1) sous
une forme assez simple. On ne peut pas faire immédiatement A=o
dans la valeur de lang^S, car elle devient indéterminée; mais on
suppose d'abord k très-petit, de telle sorte que h^ soit négligeable.
Alors, en développant, il vient

a^= i + 3AcosM, a*= 1 — 3/icosu;

en substituant on trou>e

tangj8 =

sinu

SI nu cosa

sin aa

COSM —

3cosu

cos^u

ô C0S2ti+5

Cette formule devient, en introduisant l'inclinaison 1 et la latitude

.)8â LIiÇONS Slill LK MAGiNÉTISME TEHRESTRE.

ma{jiictique ,

(3) la..g(X' + /)= ""■^^'

COSâA — »

M. krall'l, aslroiioirie russe, a donné h la formule de Biot une
e\|)resKion beaucou]) plus simple.

La formule (3) peut cire mise sous la forme

tang (
en développant ,

ian^X'-f

'jsinX' cosX'

9C0S-A — «
lanjj/ 3 lai

3t;

3

[n)gX'

t,

cos* À'

I — langX'lang/ .. 2

cos*X'
d'où

4tan{ïX --^:^)/x'-+ *"fî'~ cô?Y""'^^^"{'^ -ilany-X langi.

olanin j + tani^-X —tt' rrr = o,

ou bien , en observant (lue 1 + taïuî-X' =^ — jv-. ^

» o cos X

tang/ utangX'
â)s*X'~~côs"T'''^^'

et par conséquent

tanyî=^ îilangX'.

On en déduit le théorème suivant : la tangente de rinclinaison
est double de la taujjente de la latitude magnétique.

(lelte formule représente assez exactement les observations dans
le voisinage de Téquatcur magnétique; on en fait un fréquent usage
pour obtenir les divers points de cet équateur. On détermine l'incli-
naison en un point voisin de féquateur magnétique et Ton calcule
à l'aide de la formule précédente la valeur correspondante de X':
on déduit de là la position d'un point de cet équateur, car en chaque
point on connaît la direction du méridien magnéti(|ue sur lequel on
doit porter X'.

THÉORIE DU MAGNÉTISME TERKESTRE. 585

339. Calcul de riniensUé en «uppesant h très-petit. —

La théorie du magnetisinc que nous venons de développer permet
de calculer aussi l'intensité F de la force magnétique en un point
de la terre. On a en effet

F = v/X^+Y5 = ^jsin'^«r- 1 .-; ^ ,>

' ( L(i 4-2/icosu)« (i — 2ncosu;?J

r cosu-h/i cosu — h "l'i/'.

L(i-+-2/icosa)« (i — 2/icosu)"J )

en négligeant A^, développant et admettant toujours la même ap-
proximation, il viendra

F = ^ )3G/i^sin-Mcos-M+ (costH-/*)(i — 3Acosa)

-(costt — /<)(i +3Acosw) r\\

= ^ 3()/i'-^sin'*acos-a+ 4/r (i --3cosuy-| ^

= î^(. + 3sinn')'.

Cette formule conduit à ce résultat, que l'intensité magnétique au
pôle est double de l'intensité magnétique à l'équateur.

L'observation ne confirme pas cette conclusion , et en général la
formule qui donne la valeur de F ne se vérifie (|ue d'une manière
assez grossière. Cette formule n'est donc pas exacte, mais elle peut
servir de type à une formule empirique. Ainsi on pourra poser

aei h étant deux constantes que l'on déterminera au moyen de deux
observations. Cependant cette formule ne peut réprésenter la valeur
de F en tous les points du globe; elle n'est guère exacte que dans
le voisinage de l'équateur.

Les calculs de Tobie IVIayer sont peu différents de ceux de Biot;
au lieu de su|)poser l'aimant terrestre passant par le centre de la

586 LEÇONS SUR LE MAGNETISME TEURESTRE.

terre, il le suppose un peu excentrique, ce qui lui permet d'obtenir
des formules plus compliquées à la vérité, mais qui se rapprochent
davantage de l'observation.

La conclusion qu'il faut tirer de tout ce qui précède, c'est que,
dans l'hypothèse du magnétisme terrestre, il faut admettre l'existence
d'un petit aimant dont les pôles sont très-rapprochés. Cette hypo-
thèse revient d'ailleurs à celle d'Ampère sur l'existence des courants
terrestres. Il ne résulte pas de là que le magnétisme ou les courants
terrestres soient ainsi resserrés dans un petit espace, mais seulement
que les choses se passent comme s'il en était ainsi ; rien n'empêche
d'ailleurs que les fluides magnétiques ou bien les courants fermés
ne soient distribués dans tout l'intérieur de la terre.

3^0. HjpotliéMe d'IlAïuiteeii. — Hansteen, physicien de
Christiania, a cherché à perfectionner la théorie du magnétisme ter-
restre ; il a établi des formules empiriques assez exactes en suppo-
sant à l'intérieur de la terre deux aimants excentriques dont l'un
serait beaucoup plus puissant que l'autre. Quand on admet cette
hypothèse, on est conduit à parler des quatre pôles magnétiques de
la terre, qui sont ceux de ces deux aimants; ainsi entendue, cette
locution est exacte ; mais elle ne le serait plus si , par pôles de la
terre, on entendait, comme on le fait ordinairement, les points où
l'aiguille aimantée prend une direction verticale. Au lieu de deux
aimants, on pourrait en supposer un plus grand nombre et en ajouter
un chaque fois qu'il serait besoin d'expliquer un phénomène dont
l'hypothèse faite jusque-là ne pourrait rendre compte. Il est certain
qu'on arriverait ainsi à des formules empiriques utiles pour l'obser-
vation, mais. rien dans celte manière d'opérer ne ressemble à une
théorie du magnétisme.

341. Idée sénérmle de 1a tbéerle de ^mmam et de eoa
•fe|et. — Tel élait à peu près l'état de la question quand Gauss
l'a reprise. Il a cherché à donner une théorie du magnétisme indé-
pendante de toute hypothèse sur la distribution du fluide magné-
tique dans l'intérieur de la terre. Il a supposé seulement qu'il y a
dans l'intérieur de la terre des aimants analogues à ceux que nous

THÉORIE DU MAGNÉTISME TERRESTRE. 587

possédons, ce qui revient à admettre dans l'intérieur de la terre des
centres d'action attirant et repoussant en sens inverse du carré de
la distance, sans rien préjuger sur l'origine de ces centres, qui pour-
raient être attribués aussi bien à l'électricité qu'au magnéfisihe.

L'action magnétique de la terre sur une molécule quelconque
placée a sa surface sera, en grandeur et en direction, la résultante
des actions de tous ces centres sur cette molécule.

3Â3. Déiliiltl^ii de runlté de fluide inasnétlque. —

Désignons par dfi la masse magnétique d'un de ces centres ayant
pour coordonnées a, b, c; soient x, y, z les coordonnées d'une mo-
lécule magnétique quelconque dont nous prendrons la masse ma-
gnétique pour unité, et soit p la distance de cette molécule au centre
magnétique a, b, c : nous aurons

p==.^[x-nf-j-{tj~bf+{z--cf,

et les composantes de l'action du centre magnétique sur la molécule

considérée seront

.7* ~ a

l\^—j-(i(Ji,

a

343. Défliiltiaii du potentiel. — Nous avons déjà vu que ces
trois expressions sont les trois dérivées partielles d'une même fonc-
tion

.' p

à laquelle Gauss a donni^ le nom de jMteiitlfl. Mais MM. Green et
Glausius ont l'éservé le nom de potentiel à J'expression

dfi, (/^' étant les masses de deux molécules appartenant à deux corps

o88 LEÇONS SUR LE MAGNÉTISME TERRESTRE.

différents qui agissent Tun sur l'autre, et ils ont donne? {i l'expression
— I — le nom de fonction potentielle. Cette modification paraît

convenable, et nous l'adopterons.

Supposons (|ue l'on cherche la composante de l'action terrestre
suivant la direction de la tangente à une courbe placée à la surface
de la terre: comme la direction des trois axes est arbitraire, on
pourra placer l'axe des x suivant la tangente à la courbe , et alors

cette composante sera représentée par t- ou par ^i ds désignant

l'accroissement de l'arc de la courbe.

Si l'expression -r- est positive, cela voudra dire que la composante

de l'action terrestre est dirigée suivant le sens où l'on compte les
arcs; si au contraire cette expression est négative, c'est que la com-
posante est dirigée dans un sens opposé.

(pcosOds et ronséiluencea. —

Cela posé, a|)pelons ^ l'intensité de l'action magnétique de la terre
sur la molécule (.r, t/, :) et 0 l'angle de sa direction avec la direc-
tion (h, nous aurons

ft\ - --^cosOdft:

prenons maintenant sur la courbe que nous avons imaginée deux
|)oints P„ c»t Pi correspondant aux arcs .s„ et s^ , désignons parV„«^t V^
les valeurs de la fonction V en ces deux points et intégrons de|)uis
l(» |M)int P., jusqu'au j)oint P, , il vient

v,-v,===j;>

ros

0(h.

On déduit de cette formule plusieurs conséquences importantes:
r La valeur de l'intégrale 1 ^^cosOds étant ég«ile h la diffé»-

rence des valeurs de la fonction V aux deux extrémités de l'arc P„ P,,
la(|ue]le ne dépend que des coordonnées de ces extrémités, est com-
plètement indépendante de la nature de la courbe (|ui unit les deux
points.

THEORIE DU MAGNETISME TEKRESTRE. 589

îi" (iCUc intégrale est nulle quand, la courbe étant fermée, on
revient au point de départ.

3" Quand sur une courbe fermée l'angle ô n'est pas constamment
droit, ses valeurs sont en partie plus grandes, en partie plus petites

que - •

3&5. Surfaces de niireAti V = V^ et leurs propriététk —

Soit Vq une valeur particulière de la fonction V : réquation Y=Vo,
renfermant trois variables coordonnées d'un point quelconque, repré-
sente une surface qu'on appelle surface de niveau : à chaque valeur
de la constante V„ correspond une surface différente. Il est aisé de
montrer que la résultante de l'action magnétique terrestre sur un
point de cette surface lui est normale. En effet, prenons pour ave
des z la normale à la surface, les axes Ox et Oy étant situés dans le
plan tangent. Puisque V est constant sur toute la surface, il Test
dans une petite étendue du plan tangent tout autour du point de

contact. Donc ji,= o, ^ == o pour le point considéré. Les compo-
santes de l'action terrestre sur l'origine, dirigées suivant Ox et Oy^,
étant nulles, l'action résultante est dirigée suivant Oz, et par consé-
quent elle est normale à la surface. Considérons une seconde sur-
face de niveau inHniment voisine de la première \ =^\\-{-d\^,, et
soient dz la distance normale des deux surfaces, et (p l'intensité de
l'action magnétique sur un point quelconque de la couche V=-V„-.
on aura, d'après ce qui précède.

a:

Or d\„ est une quantité constante; donc l'intensité ^ de l'action ma-
gnétique en un point quelconque d'une surface de niveau est en
raison inverse de la distance normale de cette surface à la suivante
infiniment voisine, lien résulteque, si l'on conçoit une série do sur-
faces de niveau infiniment rapprochées, on partagera l'espace en
une suite de couches dans toute l'étendue desquelles la force ma-
gnétique sera toujours en raison inverse de l'épaisseur.

Les |)ropriétés dont nous venons de parler ne sont pas suscep-

590 LEÇONS SUR LE MAGNÉTISME TERRESTRE.

tibles de vitrification expérimentale; mais on peut établir, pour des
points situés à la surface de la terre, des propriétés analogues que
l'expérience peut vérifier.

346. Formule V , - Vo =-= ( '<y ros t ds. — Conséquences. — Ad-

mettons qu'en un point quelconque P (fig. 3.33) de la surface de

la terre ^ soit l'intensité et PM la direc-
tion de la force magnétique terrestre, tt
l'intensité et PN la direction de la pro-
jection (p sur le plan liorizontaL Le plan
Kig. s33. i^jpjyj j,gj.g |ç p].^jj jy méridien magné-

tique et l'angle SPM =î sera l'inclinaison du lieu.

Par le point P traçons une courbe quelconque sur la surface de
la terre et appelons t et 6 les angles que fait la tangente à cotte
courbe menée par P avec les lignes PiN, PM. On aura comme pré-
cédennnenl

(l\ --r-- Ç cos 0 (h ;

or

(p . o[ cos 6 ^ - cos / ros T ;

(OS /

(lonr

(Foù

(l\ ^ - TT COR T ils,

1 - v„ ^ ) V

COS T (Is.

On conclut de cette relation :

i" Qu(» la valeur de l'intégrale I ncosTds est entièrement indé-

pendante de la nature de la courbe (|ui imit les deux points ,s„ et jï,;

*î" Que cette intégrale est nulle quand on Tétend à tous les
points d'une courbe fermée;

3** Que, si l'angle t n'est pas constamment droit sur toute l'é-
tendue de la courbe, il est tantôt aigu et tantôt obtus.

3/l7. Vérifleation de« eonséquenees précédentes. — Les

deux premières conséquences ont été vérifiées par fianss.

THÉORIE DU MAGNÉTISME TERRESTRE. 591

Considérons à la surface de la terre supposée sphérique une série
de points dont la longitude et la latitude sont connues et où Ton a
mesuré l'intensité horizontale du magnétisme terrestre. Joignons ces
points entre eux par des arcs de grands cercles, nous aurons formé
un polygone sphérique P0P1P2. . . pour lequel les théorèmes pré-
cédenls doivent se vérifier. Désignons par J^,, ^|, «îj, . . . les décli-
naisons aux points Po, P], P.ii . . ., et soient enfin (o,i),(i,o),(i,q),
( îi, 1 ), . ^ . les azimuts des côtés PoPi, PiPa» • • • aux points P„ ou Pj,
Pi ou Ps, . . . comptés ordinairement à partir du sud vers Touest.

L'angle r, qui varie d'une manière continue sur chacun des
(ôtés du polygone, change brusquement à chaque ang^e et présente
alors deux valeurs différentes. Ainsi, au point P^, considéré tour à
tour comme l'extrémité du côté P^Pj et le commencement du côté
P1P2, l'angle t a les deux valeurs (1,0) + ^j, 7r + (i,a)4-^o- En
désignant par t^ , Tj les valeurs de l'angle t au point Po considéré
comme point de départ, et au point Pj considéré comme point d'ar-
rivée du côté P^Pj, on pourra prendre comme valeur approchée

de l'intégrale | tt cos t à relative au côté P^Pj la quantité

i f TT^ COS To + TT] COS Tj J P^Pj ,

OU bien , en remplaçant t^ et T] par leurs valeurs,

iJ7riCOs[(i,o) + ^,]-7r,cos[(o,i)+<î„]|PJ>,.

On trouvera de même, pour la valeur approchée de la mémo
intégrale correspondant au côté suivant du polygone PiP^,

iJTraCos [(2,1)4-^.2] — TT, cos[(i,a) + <5i] PiPî,

et ainsi de suite. L'erreur commise sera d'autant plus petite que la
distance des points P^, P^ sera moindre. En faisant la somme algé-
brique de tous les produits analogues relatifs aux divers côtés, on
doit obtenir zéro.

Appliquée à un triangle tracé sur la surface de la terre, l'équa^

VesDET, iV. —^ Gunfëreoces de pliysitjue. 38

.VJ2 LHCONS SLR LE M AtiNKTlSMK niHUESTUE.
lion I ' TT cos T (h = o donnera

^o |Pol^ cos [(0,1) + s^\ - iM>, cos [ (o,.j ) + ^:j|

-rT,jPJ>,cos[(i,<)-f-^,] -Pol\cos[(i,o:)-+-<J,]j

+ 7r.,jPJ^ fos[(2,o) + ^oj -PiP2C0s[(9,i) + ^.]j=o.

Pour donner une application de cette formule, Gauss a pris les ob-
servations suivantes :

(iœttingiie K = i8"3S'. . . i„=^ G7"'oG'. . . 0o= i,'^^>7

Milan 8^ =- 18''33 . . . 1, = GS^ig'. . . ^,= i/jy4

IWis 3^ = 3:?" 4'... ij = ôy^âÂ'. . . ^,— 1,348

d'où l'on tire

TTo^^ 0,r)0(j8o, TTj-^ 0,5701)6, Xj =^ 0,5 180^1.

Kn parlant des positions géographiques suivantes ;

LO.GITLDE
LATITLbE. DE

tiUKE^WlCIf.

(ia-lliii|;ue 5r'3îî' c/58'

Miliin /iS'qS' 9" 9'

Paris /i8"5-i' -^-Ji'

et supposant la (erre sphérique, on trouve :

(0.1)= 5°ii'3i"l

(t,o).= i84''35'35''j " ' i> •> -»o

(.,q)=..8'/i7'3i"
(3,t)=3o3''48' ,"j ''•••'-» ^" "

(9,0)= 338-30' ao".,,, _...,, ,„
(0,9)= () 4° /io' 19" ('"''■'""' "^^ ■*

En substituant toutes ces valeurs dans Téqualion trouvée et ex-
primant les distances en secondes, on trouve

17556 w„ 4- 9774 w, — 90377^2 = 0,
wj=«o,8Gi 58 7r„4- o,i36 13 Wi.

\

THÉORIE DU MAGNÉTISME TERRESTRE. 593

En parlant des intensités horizontales de Gœltingue et de iMilan,
on obtient pour celle de Paris ^2 == ^»'^^69^' valeur qui diffère
de 0,001 de l'intensité observée directement, o,5i8o/i.

3â8. Parallèles maffiiétiques V = V,; leurs propriétés. —

Les surfaces de niveau coupent la surface de la terre, et par leur
ntersection avec cette surface y tracent une série de courbes fer-
mées. En un point quelconque de Tune de ces courbes, menons un
plan qui lui soit normal. Ce plan passera par le centre de la terre
supposée sphérique : il est donc vertical. De plus il contient la di-
rection de l'intensité de l'action magnétique terrestre sur le point
considéré, puisque cette direction est une normale à la surface de
niveau sur laquelle se trouve la courbe considérée. Il résulte de là
que la méridienne magnétique est en ce point normale à la courbe
considérée. Ces courbes fermées, intersections des surfaces de niveau
avec la surface de la terre, qui sont les trajectoires orthogonales des
méridiens magnétiques , sont appelées parallèles magnétiques. Les mé"
ridienè magnétiques sont des courbes tracées à la surface de la terre,
telles, que la projection sur le plan horizontal de l'action magnétique
du globe en un quelconque de leurs points leur soit constamment
tangente. Prenons deux surfaces de niveau V = Vo et V=V^ + rfV„
qui déterminent deux parallèles magnétiques : si dz est la distance

normale de ces deux courbes, -rr est l'intensité horizontale du ma-

gnétisme terrestre. On voit que, dans toute la zone comprise entre
ces deux courbes, l'intensité horizontale varie en raison inverse de
la largeur de la zone.

3&9. €oiisidér»fioiis sur I» possiMlité «le PexisteMee
4e deum pôles muffiiéfiques de mente nmn m Mm surlSsee
de la terre. — Gauss a aussi examiné la question des pôles magné-
tiques de la terre. On a souvent émis l'opinion qu'il existait deux
pôles magnétiques terrestres dans chaque hémisphère; mais on a
donné à ce nom des sens différents. Ce que nous entendrons par
pôles magnétiques, ce sont les points où l'aiguille aimantée, li-
brement suspendue par son centre de gravité, prend une position

594 LEÇO.NS SUR LE MAGNÉTISME TERRESTRE,
vt'rtlciile. Pour explitjuer les phénomènes que l'un observe en Si*
héne et dans l'Aiiiëriqiie russe, Hansteen a été conduit à admettre
IVxistence de quatre p6les de ce genre. Il supposait que lactioD
(urrestre pouvait se ramener à celle qu'exerceraient deux aimanis
excentriques dont t'un serait plus fort que l'autre. Hansleen ajoute
que CCS quatre pàle;^ ont un niouvemeul régulier autour des p4les
lerrestres, les deux pôles du nord allant de l'ouest à l'est dans une
direction oblique, et les deux pôles sud, de l'est à l'ouest, au'si
obliquement. Il assigne à ces révolutions les duriJes suivantes : le
[lôlc nord te plus fort, 1890 ans; le pâle sud le plu.<! fort, à6o5
iins; te pôle nord le plus faible, 8f)0 ans; le pôl" sud le plus faible,
t3o3 ans.

Gauss a fait voir qu'il ne peut exister à la surface de la terre que
deux pâles magnétiques; en admettre un plus grand nombre, ce
serait se mettre en désaccord avec tout ce que l'on observe, comme
. nous allons le faire voir.

Au pôle magnétique terrestre l'action magnétique est, par défi-
uilion . normale à la terre; d'ailleurs elle est aussi normale à la sur-
face de niveau qui passe en ce point. Donc un pôle magnétique ter-
restre n'est autre chose qu'un des points de contact de la surface de
la terre avec une surface de niveau. Cela posé, soient AB (fig. aSh)
la surface de la terre et CD une surface de niveau qui ta touche
au point P, que nou-i supposerons être
un pôle boréal. Puisque le point P est un
pôle nord, le lluide austral est attiré vers
le centre de la terre; par conséquent, si
l'on considère deux surfaces de nîvean
CD', CD" infîniinent voisines de CD, dV
sera négatif quand on passera de la sur-
face CD à la surface CD", et positif quand
■''*'^*' on passera de CD à CD'. Car soit dî la

distance normale des deux surfaces CD et CD", distance comptée de
P vers CD', l'action terrestre sera ^, ■ et, comme elle agit dans le sens
de la flèche , il faudra que d\ soit négatif. On verrait de même que
(/V est positif lorsqu'on passe de CD à C'ï)'. Il résulte de là que dM

théorie: du MAGISËTISME terrestre. 595

est nul au point P de la surface CD. Lp point P est donc un maxi-
mum ou un minimum de V; et comme ta fonction V va en croissant
lorsqu'on marche de CD en CD', il en résulte qu'en P elle est mi-
nimum. On verrait de même que, au pâle sud, la fonction V est
maximum.

350. Supposons maintenant qu'il existe & la surface de la terre
plus d'un pôle de même nom, deux pâles nord par exemple, et
soient P,, P^ (fig. 935) ces pôles et V,, V^ les valeurs correspon-
dantes de la fonction potentielle, V, étant plus grande que V^ ou tout
au moins égale S\ cette quantité, mais pas plus petite qu'elle. Pre-
nons une valeur W, de la fonction V qui soit un peu plus grande
que V,, et, par conséquent, supérieure aussi à Vq, La surface de
niveau correspondante donnera lieu è un parallèle divisant la terre
en deux portions, celle des points où V est plus grand que Wj et
celle des points oij il est plus petit, et cette dernière comprend les
deux points P, et P^. Ce parallèle doit former autour du point P,
une courbe fermée ne comprenant pas le point P^, car, U fonction
potentielle étant minimum au point P,, de quelque cAtfJ que l'on
s'avance à partir de ce point, celle fonction doit d'abord aller en
croissant , et le lieu des points oij V est un peu plus grand qu'en Pj
forme une courbe fermée qui ne peut contenir d'autre point mini-
mum que Pj. Le point P^ doit donc faire partie d'une autre zone,
oii la fonction V soit plus petite que W, ; ainsi le parallèle V= W, se
compose au moins de deux bran-
ches fermées renfermant chacune
les points P, et Pj. Il est toujours
possible de tracer un parallèle
V «W, qui embrasse à la fois les
deux points P, et Pj; car, si l'on
donne à W^ la plus grande valeur
de V, ce parallèle laisse toute la
'"'«■ •'!■ surface de la terre d'un mémo

c6té. Si maintenant on fait varier V d'une manière continue depuis
W, jusqu'à W;,. on obtiendra d'abord une série de parallèles à deux
branches fermées, dont chaque branche enveloppe les points P,

596 LEÇONS SUR l,E MACNKTISME TERRESTRE.
et Pî, puis une série de parallèles à une seule branche embrassant i
la fois les deux points P, et P^. Le passage de l'une de ces séries â
l'autre se fera nécessairement par un parallèle en forme do 8, ou

par un parallèle composé de deux parties fermées tangentes en ud
seul point, ou bien tout le long d'un arc, comme l'indiquent les
figures 336.

Dans chacun de ces trois cas on est conduit à des conséquences
qui paraissent en contradiction avec les faits. Dans le premier cas,
le parallèle aurait un point multiple, et, comme la direction de l'ai-
guille de la boussole de décHnaison est normale au parallèle en ce
point, cette aiguille devrait prendre deu\ directions, ce qui est im-
possible : il faut donc que l'intensité soit nulle en ce point. Dans
le cas oix il y a deux hrnnches tangentes, la composante horizontale
ne devrait à la vérité avoir qu'une seule direction au point singu-
lier, mais elle devrait avoir deux sens opposés, suivant qu'on s'en
approche par des points situés dans l'intérieur de l'une ou de l'autre
eouriic, ce qui est impossible. Il en résulte que la composante ho-
rizontale doit encore être nulle. Le point singulier est donc, dans les
doux cas qui précèdent, un vrai pâle magnétique, mais un pAlc
tantôt nord, tont&t sud : nord par rapport aux points situés à
l'intérieur de la courbe, analogue k la lemnlscute, et sud pour les
points extérieurs. Dans le troisième cas on aurait une série de pAles
analogues. Comme les résultats de l'observation sont contraires à ces
conséquences, nous admettrons qu'il n'y a qu'un pMc magnétique.

351. InemKctltude d'une méthsde b^équcMimeBt «■>-
playèe pour déterminer les |»dle* mat^nétlqueB. — Nous
ferons reinartjuor, en passant, une erreur que l'on a commise quel-
quffris en voulnnt déterminer la position du ])61e. Après avoir choisi
deux points où l'inclinaison est très-voisino de 90 degrés, on rons-

THÉORIE DU MAGNÉTISME TERRESTRE. 597

I

truit les méridiens correspondants et Ton regarde leur intersection
comme donnant la position du pôle. Cela suppose évidemment que
les parallèles infiniment voisins du pôle sont des cercles. Or ces
parallèles sont des courbes résultant de l'intersection de la sphère
terrestre avec les surfaces de niveau. Lorsque ces deux surfaces sont
très-près de se toucher, leur intersection a pour limite une ellipse
ot non un cercle.

352. Rel»fioiui entre le« trois élémente ma^nétlquee
d*uii lleii. — Examinons maintenant les vérifications et les appli-
cations que Gauss a faites de sa théorie. Il faut pour cela établir des
relations entre les trois éléments magnétiques d'un lieu, inclinaison,
déclinaison , intensité. Prenons trois axes rectangulaires : l'axe des x
sera horizontal, contenu dans le méridien astronomique du lieu et
dirigé vers le nord; Taxe des y sera horizontal aussi, mais dirigé
vers l'ouest. Soient M un point quelconque de la terre supposée sphé-
rique, pour lequel on veut connaître les trois composantes X, Y,
Z de l'action magnétique du globe, et V la fonction potentielle.

On a

Y d,\ V ^V 7 dV

dx ay a:

Soient u la colalitude du lieu et X la longitude comptée on allant de
l'ouest vers l'est. Si R est le rayon de la terre, on a

(/a? «r — R(/m, rfy «» — R sin u rfX,

et, par suite,

V' \_^d\ Y • ^

WTu' RsinM(/X*

Considérons l'intégrale définie T = 1 \(h; il est aisé de voir
fine l'on a

1

ilonc, en intégrant.

(lu (lu

V+RT-V,.

598 LEÇONS SUR LE MAGNÉTISME TERRESTRE.

\i étant une quantité indépendante de u; je dis qu'elle est aussi
indépendante de la longitude X. En effet, V^ étant indépendant
de u, on peut faire ti = o, et cette quantité ne change pas; mais le
pôle appartient à tous les méridiens; donc V^ est indépendant de A
et l'on a

T _ Y'^ .

d'oii

rfT i^rfV

d\~ RdA'

et, par suite,

Y=— s=— rS'^--

sin a dX sm uJq dX

Il résulte de là que, si l'on connaît pour tous les lieux de la terre
la composante nord de la force magnétique, on peut en conclure
immédiatement la composante ouest de la même force pour les
mêmes points du globe.

La réciproque n'est pas vraie : il ne suffirait pas de connaître
la composante ouest, pour tous les points du globe, pour pouvoir en
déduire la composante nord. En effet, posons

on aura

donc

ou l)irn

U= I sinu YrfX,

Cette équation fait voir que, si l'on connaît la composante ouest de
In force magnétique pour tous les points du globe et la composante
nord pour tous les points d'un méridien, ou même d'une ligne quel-
conque allant du pôle nord au pôle sud, on pourra déterminer
immédiatement cette dernière composante pour tous les points du
globe.

THÉORIE DU MAGNÉTISME TERRESTRE. 599

Ces théorèmes peuvent donner lieu à des vérifications impor-
tantes.

353. Nous allons maintenant faire intervenir la composante ver-
ticale. Nous avons posé

Si r, tt, X sont les coordonnées du point attiré, point que l'on sup-
pose extérieur à la terre ou à sa surface, et r^, u^, \ celles d'un
centre quelconque d'attraction intérieur à la terre, on a

,2

o

p^ = T^ — arr^ cos fl+ ^c
et

cosô=cosucos iio + sinti sin îi„cos(X — X^);

d'où il résulte

-^ = -^ 1 1 — 9 - [cos Mcos «o + sin u sin ti„cos (X — X^)] + f -' j ^| * .

Comme on suppose tous les centres d'action intérieurs à la terre,
on aura, pour chacun d'eux, r^ plus petit que la quantité cons-
tante r. Il suit de là que l'on peut développer la puissance — en

une série ordonnée suivant les puissances entières croissantes de - ;
ainsi on a

Ti, Tj, T3 étant des fonctions entières et rationnelles de cosucosti^
et .sin M sin Mo cos (X — X„). Si maintenant on intègre dans les limites
du corps, on aura V développé en série :

r /•* r

R désignant le rayon de la terre, et, pour déterminer les coeffi-
cients Pq, P, , . . , , on a

R^R

^fdfjL, R^P, == Jt^ r, dfx, R*P, = Jt^ rtdfjL,...,

()00 LEÇONS SUR LE MAGNÉTISME TERRESTRE,
el, comme id(jL= o, la fonction V se réduit à

et les coefficients P,, P2, P3,. . . satisfont à Téquation aux différences
partielles

^ ^ au* (lu si n'a rfX*

Pour avoir les trois composantes X, Y, Z, il suffit de prendre,
comme nous l'avons vu,

on a donc

Y_ _Rl_^/rfP RrfP, R'rfP N

Z = -^^(^Pi + 35p, + /i^'P3 + ...).

On déduit de ce qui précède les conséquences suivantes :
Si Ton connaît les valeurs de la fonction V pour tous les points
de la surface de la terre, on pourra s'en servir pour obtenir les va-
leurs de la même fonction pour tout l'espace infini. On en déduira
aussi les composantes X, Y, Z, non-seulement pour tous les points
de la surface de la terre, mais encore pour tous les points de Tes-
pare. En effet, si l'on pose r = R, il vient

les fonctions P,, P2, P3, . . . n'ayant pas changé, car elles sont îndé-
danles de r. Or, la fonction V étant donnée pour la surface de la

terre, on pourra développer rr en une série de la forme

i = A, + A2 + A, + ^ , .,
le terme général A„ étant upc fonction entière et rationnelle de

THÉORIE DU MAGNÉTISME TERRESTRE. GOl

cosucosUq et de sin usintioCOs (X—Xg) et satisfaisant a Féquation
aux diffi^rences partielles

et Ton sait que ce développement ne peut se faire que d'une seule
manière. Il en résulte

r j = Aj, I 2 ^^ A.2, 13^^ A5, ... ;

donc tout ce développement de V est connu pour tous les points de
l'espace.

Pour trouver la valeur de Va la surface de la terre, il suffirait do
connaître X pour tous ses points; car X étant connu, en le dévelop-
pant en série et en identifiant, on aurait les valeurs de ^» T^» • • • '

d'où l'on tirerait les valeurs de Pj, P2, . . . en intégrant de zéro à u. Il
suffirait de même de connaître Y pour tous les points du globe et X
pour tous les |)oints d'une ligne courbe quelconque allant du pôle
sud au pôle nord. Enfin il suffirait aussi de connaître Z pour tous
les points du globe; car, en le développant en série, on aurait

Z = B, + B2 + B,4-.

et, en identifiant,

P — -R P — -R P — -R

On pourrait, en déterminant V par l'un ou l'autre de ces trois
procédés, soumettre la théorie à de nombreuses vériGcations et ob-
tenir des formules très-précieuses. Malheureusement les données
que l'on possède ne sont pas suffisantes pour permettre ces vérifica-
tions; c'est pour cela que Gauss s'est borné à une vérification plus
simple, mais moins rigoureuse.

Les formules précédentes étant des séries convergentes, on peut
se borner aux premiers termes; Gauss s'est arrêté au quatrième. Les
formules ainsi simplifiées renferment fi h coefficients numériques.
Pour les déterminer, il suffisait de connaître X et Y pour t tk sta-
tions difTérentes; ayant déterminé ces ai coefficients, on a des va-
leurs approchées de X, Y, Z, V pour tous les points de la surface

602 LEÇONS SUR LE MAGiSÉTISME TERRESTRE.

de la terre, et même pour tous les points extérieurs. Pour avoir
une idée de la longueur de ces calculs, il suffira de dire que, bien
qu'il n'y ait que ai coefficients numériques, il y a 71 termes.

35â. Comp»r»i«oii »vec rexpérience. — Gauss a ensuite
comparé les résultats fournis par le calcul avec ceux qui avaient été
trouvés par l'expérience en 9 1 stations différentes. Dans un grand
nombre de cas, la différence entre le calcul et l'expérience est com-
parable aux erreurs d'observation : elle est même quelquefois infé-
rieure à la différence qui existe entre les observations faites dans un
même lieu par deux observateurs exercés. Gauss a appliqué ses for-
mules à la détermination du pôle nord magnétique, et il a trouvé
pour l'année i83o la position suivante : 73°35' de latitude nord, et
a 6 4*" 21' de longitude à Test du méridien de Greenwich. Le capi-
taine Ross avait trouvé par l'observation que ce pôle était situé à
1 degré au-dessous : on peut regarder cette approximation comme
très-satisfaisante. Le pôle sud a été trouvé pour la même époque à
7a°35' de latitude sud et i5a°3o' de longitude à l'est du méri-
dien de Greenwich : ce point est situé sur la terre Victoria.

Au pôle nord l'intensité serait 1,701; au pôle sud, a,a53.

355. Valeur du montent ntai^nétlque de 1» terre. — Les

mesures d'intensité absolue effectuées par Gauss lui ont permis de
calculer le moment magnéti(|ue de la terre. Il a trouvé qu'il est le
même que celui qu'on obtiendrait en prenant 8,5oo trillions de
barreaux d'acier aimantés pesant chacun 5 00 kilogrammes et ayant
5o centimètres de longueur. Il a calculé que si le magnétisme libre
était distribué uniformément dans le sein de lu terre, chaque mètre
cube devrait on contenir une quantité équivalente à huit de ces bar-
reaux. Comme nous savons que la croûte terrestre est bien loin
d'avoir une aussi grande puissance magnétique, on doit en conclure
que le magnétisme terrestre se trouve concentré vers le centre de la
terre. Gauss a encore trouvé que la direction de l'axe du moment
magnétique fait avec la droite qui joint les deux pôles un angle
de a" 5'.

\

THÉORIE DU MAGNÉTISME TERRESTRE. 603

356. Bl«<rllHttl«B active *m tnmgwiéttmmtK llhre « la «ir-

btce de lu terre équlTulente an masnétlMiie Intérieur. —

Enfin Gauss a cherché quelle serait la distribution des fluides à la
surface delà lerre dont feiïel pourrait équivaloir à l'action magné-
tique du globo. On sait que Poisson a démontré, en effet, que l'ac-
tion d'un corps magnétique peut lîlre remplacée par celle d'une sur-
face chargée de fluide magnétique. Gauss a trouvé que l'hémisphère
sud devrait être charjfé d'une couche de fluide austral, et l'hémis-
phère nord d'une couche de fluide boréal. La ligne de séparation
des deux fluides ne diffère pas beaucoup d'un grand cercle qui cou-
perait l'équiiteur sur les côtes de Guinée, à i 5 degrés de longitude
ouest de Greenwich. La densité de ces couches devrait être variable
d'un point à l'autre , et serait maximum en deux points de l'hémisphère
nord : l'un situé sur les côtes de la Sibérie, à 7 1 degrés de latitude
boréale et 1 16 degrés de longitude orientale; l'autre situé au sud
de la haie d'Hudson, à 55 degrés de latitude australe et 963 de-
grés de longitude orientale; elle serait maximum en un seul point;
de l'hémisphère sud peu différent du pôle unique, à 70 degrés de
latitude et i5& degrés de longitude.

357. Vérlfle«tl*iu ultirleurea. — Peu de temps après
Gauss. MM. Weber et Goldschmidt ont pu recommencer ces calculs
en employant io3 observations, ce qui leur a permis de tracer les

parallèles magnétiques et les li-
gnes isodynamiques. On admet-
tait que l'équaleur magnétique,
o'est-à-dire la ligne sans inclinai-
son, est aussi ta ligne d'intensité
minimum; mais les calculs du
MM. Weber et Goldschmidt ont
montré qu'il n'y a pas de ligne
d'intensité minimum. Les lignes
isodynamiques ne diffèrent pas
beaucoup des parallèles magné-
tiques à «ne cerlarne distance de
l'équateur; cependant, près de l'équateur, elles se partagent en deux

G04 Li:(;o.\S SUR Lli MAGNETISME TERRESTRE.

groupes de lignes fermées (fig. 987) s'enveloppant les unes les autres
de telle sorte qu'il n'y a que deux points d'intensité minimum. L'un
de ces points est situé près de l'île Sainte-Hélène, par i8**()' de lati-
tude australe et 35o*i 9' de longitude orientale : l'inlensité y est re-
présentée par 9,8981; l'autre est situé entre la Nouvelle-Guinée et
les Mes de la Sonde, par 5*^7' de latitude boréale et 1 78" 98' de longi-
tude orientale de Greenwich : l'intensité y est représentée par 3,9 /îS 1 .
L'intensité magnétique du globe est maximum en trois points.
L'un de ces points diffère peu du pôle magnétique sud; il est situé
par 70^9' de latitude australe et 1 60*^96' de longitude orientale de
Greenwich : l'intensité y est représentée par 7,8989. Les deux autres
sont situés dans l'hémisphère nord et diffèrent peu des deux points
où la distribution fictive indiquerait une inclinaison verticale : l'un
est situé par 5 4** 3 9' de latitude boréale et 961*97' de longitude
orientale de Greenwich : l'intensité y a pour valeur 6,1 61 4; l'autre
est situé par 71*90' de latitude et 1 19*57' de longitude orientale:
l'intensité y est représentée par 6,9 1 1 3. Il résulte de l'inspection des
cartes qui ont été construites que la distribution du magnétisme
terrestre est beaucoup plus régulière dans l'hémisphère sud que
dans l'hémisphère nord. Gauss a cherché si une partie du fluide
magnétique ne peut pas être extérieure à la terre, et il a reconnu
que, s'il y en a en dehors de la terre, la quantité en est très-faible;
s'il en était autrement, la composante verticale de l'intensité ma-
gnétique suivrait des lois très-différentes.

358. V»ri»tioiui des élémeiits du nuisBélinMe terrestre.
— Variatioiui réguliièwmm^ diuraee et ammellee. — Les nom-
breuses séries d'observations magnétiques régulières qui ont été
exécutées, soit par les soins de l'Association magnétique dirigée
par Gauss et Weber, soit dans les observatoires établis par le gou-
vernement britannique dans ses diverses colonies, ont permis au
P. Secchi ^^) de tenter la détermination des lois qui régissent les va-
riations diurnes et annuelles des divers éléments magnétiques. Les
variations diurnes de la déclinaison étaient jusqu'ici seules connues

^') // mtovo Chnenlo, U U ]>• 60. Le méoioirc du P. Seccbia clé analysé par Verdeldans
les Annales de chimie et dephyêique^ (3), t. XLIV^ p. 3/16 (1855)*

THEORIE DU MACJiSETISME TEHWESTHE. (iO:)

avec (|uelque certitude. Dans les nouveaux observatoires on observe,
en outre, les variations d'intensité de la composante horizontale et
de la conàposanto verticale du magnétisme terrestre; il est facile d'en
conclure les variations de l'inclinaison.

En discutant les nombreuses observations magnétiques, et prin-
cipalement les travaux des observatoires anglais publiés par M. le
colonel Sabine, le P. Secchi a reconnu les lois suivantes :

1** Les variations de l'aiguille aimantée suivent le temps local. On avait
remarqué depuis longtemps que les variations de l'aiguille aimantée
suivent la marche du soleil et n'ont, par conséquent, de rapport
qu'avec le temps solaire vrai du lieu de l'observation. On a reconnu
depuis qu'il en est de même dans toute Vétendue du globe terrestre ,
au moins pour les variations qu'on pourrait appeler les variations
ordinaires de l'aiguille. Il y a seulement quelque différence dans
les divers observatoires entre les heures vraies des maxima et des
minima. Les perturbations extraordinaires, les orages magnétiques
d'Arago ont semblé devoir être simultanés et sans aucun rapport
avec le temps local, tant qu'on n'a connu que les observations de
cinq ou six villes européennes fort peu éloignées les unes des autres.
En discutant l'ensemble des nouvelles observations, le P. Secchi
croit avoir reconnu que ces perturbations extraordinaires sont aussi
en rapport avec le temps local, et, par exemple, qu'elles sont surtout
frécpientes vers 9 heures du soir et vers 7 heures du matin.

*2° Le pâle magnétique de V aiguille qui est le moins éloigné du soleil
fait une double excursion diurne, de la manière suivante : son plus grand
écart occidental a lieu quatre à cinq heures avant le passage du soleil au
méridien astronomique; il marche ensuite vers Varient avec une vitesse crois-
sante qui atteint son maximum à Pinstant où le soleil traverse le méridien
magnétique; une ou deux heures après a lieu la plus grande excursion
orientale. Le pôle revient ensuite vers V occident jusqu'au coucher du soleil.
Pendant la ntUt, le soleil passant au méridien inférieur, la même oscillation
se répète, mais dans une moindre amplitude. Les heures limites varient avec
les saisons, avancent généralement en été et retardent en hiver. Les ampli-
tudes des excursions sont à peu près dans le rapport des arcs parcourus
par le soleil le jour et la nuit.

Pour éclaircir l'énoncé de cette loi, sur la ligne OE(fig. 338),

606 LEÇONS SUR LE MAGNÉTISME TERRESTRE,
dirigée de l'esl k l'onesl , indi(]iion.s les heures de 1» journée , zéro étant
l'heure du midi vrai, et. au-dessus el au-dessous de cette Ugne, re-
présentons les positions de l'aifruille uiiuiintée à diverses heures en
un lieu de l'hémisphèri' austral et en un lieu de l'héniisphère bo-
réal. Dans les lieux voisins de l'équateur, où le soleil passe dcii\ fois

\iar an au zénilli. les variations de l'aijpitlle changent de sens sui-
vant qut! le soleil se trouve dans l'homisphère boréal ou dans l'hé-
misphère austral. II est digne de remarque que ce changement de
sens n'ait pas lieu à l'instant oii le soleil passe au zénith du lieu d'ob-
servation, mais à l'instant oij il traverse l'équaleur.

Parmi les conséquences que l'on peut tirer de cette loi, nous si-

{[ualcrons In suivante : Si l'on construit à la manière ordinaire la
courbe des variations diurnes moveniies de la dt'clinaison en un

y^S

THÉORIE DU MAGNÉTISME TEitHESTRR. 6G7

lieu donné, en prenanl pour abscisses les heures et pour ordonnées
les écarts de l'aiguille par rapport au méridien magnétique, la forme
de ces courbes démontre avec évidence que les variations dont il
s'agit suivent une période semi-diurne, à l'inverse de la plupart des
variations météorologiques , dont la période est diurne. On reconnaît
toujours, en effet, dans ces courbes, deux maxima et deux niinima:
seulement, comme l'amplitude des oscillations dans les deux pé-

riodes n'est pas la même, on a généralement rapporté les phéno-
mènes à une période de vingt-quatre heures, et l'on a cru qu'il n'y
avait chaque jour qu'un seul maximum et un seul minimum.

Nous reproduisons ici deux de ces courbes, celle de Hobart-Town
(6g. aSg), et celle de Toronto (fig. a&o), qui montrent en même
temps l'opposition des variations diurnes dans les deux hémisphères.

3* La variation diurne de la décUnaiaon de l'aiguiUe aimantée cet la
totmne de deux variatùmê diatincle», dont time dépend aetJement de Van^
horaire, et l'autre de la déelmaiton du eaUil. Ce» deux otàUalions pro-
duisent, en te tuperpoiont, loua les phénomène» des variation» diurnes et
des varititions unnueltet.

L'observation journalière ne peut donner que la combinaison des
effets de l'angle horaire et de la déclinaison du soleil. Pour séparer
les effets de ces deux causes, il suQit de construire les coui4)Cs qui
ViipR, IV. — GonrérencM «le plijiiquc. 3y

SOS LEÇONS SUR LE MAGNETISME TERRESTRIJ.
se rapporlent à des déclinaisons opposées du soleil. Dans les régions
équaloriales ces courbes présentent leurs indexions en sens opposés,
de manière rjue l'influence de la dé-
clinaison du soleil est tout ù fait ma*
nifeste. On en |)eut juger par la fi-
gure ^hi, où la ligne pleine repré-
sente la courbe de la variation diurne
moyenne de la déclinaison pendant
'"*'■ l'été, à Sainte-Hélène, et la ligne

ponctuée représente la courbe de l'hiver. Dans les régions tempé-
rées, l'efTet est moins facile à discerner.

Il' Les variations de l'intensité magnétique horizontale sont sou-
mises à la loi suivante : L'intensité magnétique horizontale est su-
jette à une variation qu'on peut regarder comme la somme de deux
variations élémentaires dont l'une est à période diurne, l'autre k
période semi-diurne. L'amplitude de la variation à période semi-
diurne dépend de la latitude géographique et est nulle iTéquateur.
Les phases successives de la variation totale dépendent d'ailleurs de
la distance angulaire du soleil au méridien magnétique.

La con^posante verticale de l'intensité magnétique est également
soumise, dans ses variations, à une toi très-simple que l'on peut
énoncer comme il suit : Les variations de la composante verticale
ont les mêmes périodes que les variations de la composante horizon-
tale ; mais les maxima de l'une correspondent aux minima de l'autre,
et réciproquement. Ces dernières variations présentent quelques irré-
gularités qui ne se rencontrent pas dans les variations de la conqH>-
santc horizontale; cette circonstance paraît résulter de l'imperfection
du procédé par lequel on mesure la composante verticale.

En combinant les deux lois précédentes, on trouve l'énoncé sui-
vant : Les mriabons diumet de l'âiclinaison Buivetit une loi amUogue i
celle (lea variations diumet de la déclinaivm; mai» elles lont en avance dt
trois heures sur ces dernières.

5° Les lois des variations de l'intensité totale sont moins faciles
à reconnaître, faute d'observations suHIsantes, surtout au voisinage
(le l'équateur. On peut cependant distinguer dans ces variations deux
maxima et deux minima diurnes. En hiver, l'intensité totale est plus

, THÉORIE DU MAGNÉTISME TERRESTRE. .609

grande qu en été. D'ailleurs les circonstances locales paraissent exer-
cer une très-grande influence.

En résumé, on peut dire que toutes les variations diurnes magné-
tiques dépendent du soleil. Dans les latitudes moyennes elles ont
toutes une période de douze heures; mais, conmie l'interposition du
globe terrestre entre le soleil et l'aiguille aimantée diminue l'ampli-
tude de l'oscillation nocturne, la marche des phénomènes semble
indiquer l'existence simultanée de deux périodes, l'une de vingt-
quatre, l'autre de douze heures. La latitude géographique influe na-
turellement sur les phénomènes, et à l'équateur quelques variations
ne montrent plus qu'une période simple de douze heures, la période
de vingt-quatre heures ayant disparu.

359. Hypotliéfimi sur to MMUie des v»rtotloiui dMoniMi
iMasoétIsilie terrestre. — Le P. Secchi croit trouver l'ori-
gine de ces variations dans l'hypothèse qui fait du soleil un aimant
d'une grande puissance, agissant par influence sur le g^obe ter-
restre. Il est visible que, dans cette hypothèse, les phénomènes doi-
vent dépendre principalement de la distance du soleil au méridien
du lieu de l'observation, et, comme le soleil traverse deux fois par
jour ce méridien» il est évident que la période principale des varia-
tions magnétiques ne doit pas être de vingt-quatre, mais de douze
heures. D'ailleurs l'influence du soleil doit être plus grande lors de
son passage au méridien supérieur que lors de son passage au mé-
ridien inférieur ; la période secondaire de vingt-quatre heures trou-
verait ainsi son explication.

Faraday attribuait les variations diurnes aux changements de tem-
pérature de l'atmosphère. Ayant démontré que l'oxygène de l'air est
magnétique, il fut naturellement conduit à admettre que l'atmos-
phère terrestre agit sur l'aiguille aimantée; mais cette action doit né-
cessairement varier avec la température , car l'oxygène , comme tous
les corps magnétiques, perd une partie de son intensité magnétique
à mesure que sa température s'élève. Le matin, l'atmosphère est
plus chaude et moins magnétique à l'est; par conséquent l'aiguille
doit se porter vers l'ouest, et la déviation est maximum lorsque la
différence de température des régions est et ouest de l'atmosphère

39.

610 LEÇONS SUR LE MAGNÉTISME TERRESTRE.

est la plus grande possible, c est-à-dire vers neuf heures du matin.
Le soir, c'est l'inverse qui a lieu; aussi l'aiguille se porte vers TesL
Il parait difficile d'expliquer dans cette hypothèse l'existence d'une
période de douze heures.

Du reste, ces deux hypothèses sont possibles, et il peut très-bien
se faire que les deux causes qu'elles assignent agissent simnlta-
nément.

360. Perturbatloiui iMasoétiques aceidenfelles. — Outre

les variations régulières dont nous venons de parler, on observe» à
des époques dont le retour n'a rien de régulier^ des agitations ou
perturbations extraordinaires de l'aiguille aimantée que l'on a appe-
lées perturbations accidentelles ou orages magnétiques. Arago avait re-
connu que ces phénomènes concordaient avec l'apparition d'aurores
boréales et s'observaient simultanément en divers points éloignés
du continent européen. Les travaux importants de l'Association ma-
gnétique allemande démontrèrent que ces orages magnétiques reve-
naient accidentellement et sans régularité; qu'ils avaient lieu en
même temps dans toute l'étendue du territoire des observations; que
la correspondance se soutenait de la manière la plus complète et la
plus surprenante, non-seulement dans les grandes oscillations, mais
dans presque toutes les plus petites, en sorte qu'il ne restait rien,
quant à l'existence et à la direction de la perturbation , qu'on pût lé-
gitimement attribuer à des causes locales. Il n'en était pas de même
pour la grandeur des perturbations, que l'on trouva généralement
plus faibles aux stations méridionales qu'aux stations septentrionales,
de sorte qu'en Europe l'énergie de la force perturbatrice devait être
regardée comme d'autant moindre qu'on avançait davantage vers le
sud. Mais la discussion des observations conduisait en même temps k
admettre l'existence d'autres actions probablement indépendantes les
unes des autres. Les observations faites dans les colonies anglaises et
discutées par M. le colonel Sabine ont donné plus de précision aux
connaissances antérieures ^^^ Ainsi le caractère simultané des per-

(>) Pivceedingit of the Royal Society of London de 1860 à 1860, et X, 6a 6 (1860);
Philos. Mag.^ (û), XXIV, 97 (186a), et Ann. de chim. et de phyt., (3), LXIV, 691
(i8Ca).

BIBLIOGRAPHIE. 611

turbations a été encore manifeste lorsqu'on a comparé les observa-
tions faites simultanément à Prague et à Breslau, en Europe; à To-
ronto et à Philadelphie, dans l'Amérique du Nord. L'occurrence de
ces orages magnétiques a toujours semblé fortuite, mais ils se sont
caractérisés par des affections conununes au globe entier et simulta-
nément manifestés dans les stations les plus distantes.

Un autre résultat annoncé par M. le colonel Sabine, c'est que les
perturbations, quelque irrégulières qu'elles paraissent quand on les
considère individuellement, seraient néanmoins, dans leurs effets
moyens, des phénomènes strictement périodiques, qui suivent pour chaque
élément, avec chaque lieu, si on prend la moyenne d'un grand
nombre de jours, une loi dépendante de l'heure solaire vraie, et qui
constituent ainsi une variation moyenne diurne totalement distincte
de la variation diurne régulière. Cette relation des perturbations
avec une loi dépendante de l'heure solaire conduisit à les attribuer
à l'action du soleil. M. le colonel Sabine a été plus loin : il a trouvé
une variation périodique de la grandeur et de la fréquence des
orages magnétiques correspondant exactement pour la durée de la
période, et coïncidant pour les époques des maxima et des minima
avec la période décennale de la fréquence et du nombre des taches
du soleil que M. Schwabe a déduite de ses observations systématiques
commencées en 1896 et continuées pendant les années suivantes.
Cette correspondance entre les orages magnétiques et les change-
ments physiques de l'atmosphère du soleil éliminerait toute hypo-
thèse qui assignerait à la cause des perturbations magnétiques une
origine locale, soit à la surface, soit dans l'atmosphère de notre
globe, soit dans le magnétisme terrestre lui-même, et obligerait à
les rapporter à l'influence solaire sans faire connaître cependant le
mode suivant lequel s'exerce cette influence.

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in the Philosoplncal Transactions i863, nith a note on the luiio-
diiu'nal an<l other lunar ineipialilies as deduced from observations
eitending from i8/i8to i863, Phil. Trans. f. 1869, 4i3.

LEC(>^S SIR i;()l»TIOlJK,

LEÇONS SUR L'OPTÏOl^K.

I.

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE.

361. Dlirers procédés de détermination. — La vitesse de
propagation de la lumière a été déterminée par des procédés variés
que Ton peut rattacher à deux classes distinctes :

i" La méthode directe, dans laquelle on a utilisé l'observation des
astres ou l'observation de |)hénomènes produits h la surface de la
terre;

fî" La méthode indirecte, dans laquelle on s'est servi du phéno-
mène de l'aberration.

l" DiÎTERMIÎSATION DE LA VITESSE DE LA LUMIERE PAR LES OBSERVATIONS

ASTRONOMIQUES ET TERRESTRES.

362. Premier «jatéme d'expérieneeo propcMié pur Cla-
iilée. — C'est Galilée qui a pour la première fois posé le problème
de savoir si la lumière met un certain temps à passer d'un point à
un autre ou si elle se propage instantanément. Avant lui, la pro-
pagation instantanée de la Imnière était considérée comme un fait
évident. Dans ses dialogues sur les sciences modernes, il indiqua,
pour résoudre la question, un procédé grossier qui permet seule-
ment de constater que, si la lumière ne se pro|)age pas instantané-
ment, elle a une vitesse beaucoup plus grande (jue les vitesses c(ue
nous sommes accoutumés à considérer.

Deux observateurs se placent à une certaine distance l'un de
l'autre; ils sont munis tous deux d'une lumière et d'un écran, et ils

()5Û LE(.:itNS Slill I.OI'TrQIlK.

(■nnvi<;imriil i|iin rliafuii ilf^iiiiisqncra sa liimi^rr j\ l'inslnnl oi

vi'iTii ([lin la lumière de l'aulre i>si di^couvprto.

Avant (le procéder aux expériences, les oi)servateiirs se plat
dans une chambre otl la durée de la propa^'atlon de la luiniArc <
iilre évidemment insensible, et ils s'e\ercent à découvrir leurs
iiiières au inâme inslaiit. Quand ils sont arrivés à ce résultat,
s'installent de nuit à une jjrande distance l'un de l'autre, après s'i
munis de lunettes <jui perniellraienl de faire les observations jiisq
une distance de i5 à 18 kilomiMres. Si la lumière met un leii
appréciable à parcourir la distance qui les sépare, il y aura un :
lervalle de temps sensible entre le nionient où un observateur 1
couvre sa lumière et celui où il aperçoit l'autre lumière découvei

(ialilée fit l'expéi-ieiice pour une distance de aoo mètres; p
lard les académiciens del Clmeiitii la répétèrent pour une dîstai
|ilus grande, a kilomètres envirfni : dans les deux cas les i-èsiiJt
furent négatifs.

3G3. Idées de Deacartea eonduiwknl n une prapac»Hi

Inacantanée. — Descnrtes fut conduit par ses idées théoriqiiei
considérer la vitesse de [nopa(fation de la lumière comme infin
Eu elTet, il regardait la lumière comme résultant non pas d'u
oiidulatian. mais d'une pression transmise du cor|>s lumineux jusqi
l'œil, et, comme il supposait le plein absolu, il eu concluait que
projiagation de cette pression devait être instantanée. Descarics n'i
ilonc ])as , comme ou l'a dit (pielquefois. le créateur de la th«oi
<les ondulations: tout l'Iiouneur de celle décoiiverle revient
lluvgbens et è Hnoke,

35/1. Découverte de Hoenier. — Irrésiilftrtié des écllpai
des Mttelllte« de JiipKer. — lie fut dans la seconde moilii^ 1
wpi' siècle (de ifi^i à i(»7())'" ipie l'astronome danois Rrem
mesura pour hi jn'en)ière fois la vitesse de la lumière.

tlet nstrononie avait été amené en Trance par Picard, à la su;
d'un voyage (|ue ce savant avait entrepris pour déterminer la 11

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 655
sition exacte de l'observatoire de Tycho-Brahé. Il fut attaché h l'Ob-
servatoire de Paris oîi , sous la direction Je Gassini , il s'occupa de
l'observation des satellites de Jupiter.

On sait que ces satellites pénètrent à chaque révolution dans le
cène d'ombre de Jupiler, et il semble que ces éclipses fréquentes
doivent permettre de déterminer avec exactitude les mouvements de
ces astres ; mais en observant les immersions et les émersîons de ces
satellites dans le cine d'ombre, particulièrement celles du premier,
Rœmer reconnut que te phénomène était irrégulier. L'intervalle de
temps qui sépare deux immersions ou deux émcrsions n'est pas cons-
tant, et il est didlcile de se reconnaître au milieu des inégalités
qu'on observe.

La première idée qui se présente pour expliquer ces inégalités
consiste à supposer que le mouvement du satellite est irrégulier, ou
que les observations présentent quelques erreurs accidentelles; mais
dans ce cas les différences devraient disparaître lorsqu'on prend les
moyennes d'un grand nombre d'observations, et c'est ce qui n'a pas
lieu. Rœmer fut ainsi conduit à se demander si le phénomène n'était
pas dû à la propagation de la lumière.

Supposons, en effet, que, le soleil étant en S (fîg. 3&a), nou;
considérions Jupiter au moment où il est en quadrature avec la
terre; Jupiter étant en Jj, et la terre en Tj, le déplacement relatif
des deux planètes sera alors le plus considérable. Supposons qu'on
observe dans le voisinage de cette position deux immersions ou deux
émersions consécutives d'un satellite de
Jupiter, l'intervalle qui séparera ces deuK
phénomènes sera la durée 6 de la révo-
lution du satellite; cette durée peut être
appréciée avec une très-grande exactitude
en prenant le temps qui s'écoule entre
une émersion et une autre émersion sé-
parée de la première par plusieurs mil-
^■' *' liers d'émersions, car alors l'erreur que

l'on commet est sensiblement la même que s'il s'agissait d'une seule
observation, puisque les variations de la pério<le comprise entre
deux émersions ou deux immersions consécutives sont très-petites

VuMT, IV. — Conr«Knc«ide phjiHiae. ta

656 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

et aiternalivement de signes différents ; de plus , se trouvant divisée
par un nombre très-grand, elle devient négligeable.

Soit t l'instant réel de la première immersion , l'immersion sui-
vante aura lieu au temps t+9^ mais on apercevra le premier pht*-

nomène à Fépoque ( + y* D étant la distance de Jupiter k la twrs

et V la vitesse de ia lumière; quant à la deuxième immersion ».aBe

sera vue de la terre à l'époque t + O-] — y-» S étant la variation de

distance des deux planètes, considérée comme positive ou nëgatife
suivant que les deux astres s'éloignent ou se rapprochent.

Quand la dislance augmente, on observera donc un intervalle
plus long que la durée 6 de la révolution; quand elle diminue, on
trouvera un intervalle plus court. Comme c est à l'époque des qua-
dratures que S Si sa plus grande valeur, c'est alors que le phénomène
sera le plus sensible, et l'on devra ainsi mettre en évidence la durée
de la propagation de la lumière. Cependant, à l'époque où Rœmer
faisait ses recherches , les procédés d'observation n'étaient pas encore
assez perfectionnés pour que l'on pût déduire avec quelque exacti-
tude la vitesse V, connaissant la différence entre la durée 0 d'une
révolution du satellite et l'intervalle de deux immersions successives,

c'est-à-dire connaissant y et de plus les quantités D et ^ qui sont

données par la connaissance des mouvements de Jupiter.

Mais si l'on prend toutes les observations d'éclipsés qui se rap*
portent à l'intervalle compris entre la conjonction de Jupiter et Top-
position suivante, et toutes celles qui se rapportent à l'intervdle
compris entre cette opposition et une nouvelle conjonction, la somme
des effets de la durée de la propagation de la lumière devient très«
sensible et l'on peut en calculer la vitesse.

En effet, supposons d'abord la terre et Jupiter en conjonction en
J2 et T2 (fig. 13^3): au bout d'un certain temps Jupiter se trouve en
J3 en opposition avec la terre qui se trouve en T3. Pendant cette
période la terre s'est écartée de Jupiter d'une quantité égale au dia-
mètre de l'orbite terrestre. Donc les intervalles entre deux immer^
sions consécutives du satellite de Jupiter devront dans cette période
surpasser la durée de la révolution du satellite, et la somme des

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 657
excès devra être précisément égale au temps employé par la lumière
pour parcourir le diamètre de l'orbite terrestre. Si l'on désigne ce
temps par k et le nombre des éclipses par
n+i, l'intervalle entre la première et le
dernière immersion sera égal à nS + k-^ en
désignant cet intervalle par T, on aura

Depuis l'opposition jusqu'à la conjonc-
tion suivante, la terre se rapprochera de
fit- '^3- Jupiter d'une quantité égale au diamètre de

iWbite terrestre. Dans cette période, les intervalles observés entre
deux immersions consécutives seront donc moindres que la durée 6
de la révolution, et la somme des différences sera encore égale à k.
On aura

T'=«Ô-i,

d'où l'on conclut

Cette quantité k, temps que met la lumière À traverser ie diamètre
de l'orbite terrestre , a une valeur très-appréciable. Rœmcr l'a trouvée
^aleà 9 3 minutes, ce qui correspond à unevitesse de ^8,ooo lieues.
Ce nombre est doublement incertain à cau.'se de l'imperfection de.s
connaissances que l'on avait relativement au diamètre de l'orbite
terrestre.

365. DAUtcB 4e CssalBl. — Cassini fît aux observations de
Rcemer une objection qui semble d'abord péremploire : si les irré-
gularités observées pour le premier satellite tiennent à une cause
générale, comme la propagation de la lumière, ces irrégularités
doivent aussi s'observer pour les autres satellites. Mais, à l'époque
des travaux de Rœmer, les moyens d'observation n'étaient pas encore
assez perfectionnés pour permettre de reconnaître ces irrégularités
qui ont été parfaitement constatées plus tard.

Dans une seconde série d'observations, Rœmer trouva là minutes

658 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

pour la valeur de A* : la différence considérable qui existe entre ce
nombre et le premier indique toute Timperfection des moyens d'ob*
servation dont il disposait.

366. Imperfccilona de la méthode de Hcemer» — .
marques et ealeula de Delambre. — La méthode de Rcemer
a été pendant longtemps abandonnée pour deux raisons :

1** A cause du défaut de précision que présente l'observation
des éclipses ;

fi^ Par les inégalités des mouvements des satellites.

D'après Delambre, le défaut de précision peut aller jusqu'à 3 o se-
condes dans les observations du premier satellite ; il atteint i mi-
nute pour les observations du deuxième , 3 minutes pour celles da
troisième, et & minutes pour celles du quatrième; quelques éclipses
de ce dernier, où il ne reste dans le cône d'ombre que pendant un
petit nombre de minutes (i8 à lo), peuvent même échapper à cer-
tains observateurs.

Pour ce qui est des mouvements des satellites de Jupiter, ils ne
sont pas aussi simples que nous Tavons supposé précédemment :
leurs éclipses ne sont pas absolument périodiques et , tant que ces
perturbations n'étaient pas bien connues , on ne pouvait déduire des
observations une valeur exacte de la vitesse de la lumière.

Cependant Delambre utilisa les observations faites sur un millier
d'éclipsés, au voisinage des conjonctions et oppositions de Jupiter,
et embrassant une période de i lio années, principalement les obser-
vations que Bradley avait faites pendant le xviii' siècle, il conclut de
ses calculs que la lumière emploie 8 minutes 1 3 secondes à traver-
ser l'orbite terrestre, ce qui donne pour la vitesse de la lumière
71,000 lieues de a 5 au degré, à 9,000 lieues près.

MÉTHODE DE M. FIZEAU.

3 67. Expérienees de m* Fiseau en 1 949 ^\ — Les méthodes
que nous allons décrire sont destinées à rendre sensible le temps
employé par la lumière pour parcourir des distances peu considé-
rables à la surface de la terre.

<>) Comptée retiduê , XXIX , 90 , 1 8 ^1 y .

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 659

Les premières expériences de M. Fizcau remontent h 1869 : ^^
voici le principe. Devant une source lumineuse , on place une roue
dont le pourtour est muni d'un grand nombre de dents; les rayons
lumineux passent à travers les intervalles qui existent entre les dents
et vont se réfléchir sur un miroir placé à une grande distance, nor-
mal à leur direction , et qui les renvoie par conséquent dans leur
direction primitive.

Si la roue est immobile , les rayons repasseront par les intervalles
creux; mais si la roue tourne» elle se sera déplacée pendant le temps
que met la lumière à aller de la roue au miroir et à revenir du
miroir à la roue, et une partie des rayons lumineux réfléchis sera
interceptée par les dente opaques de la roue. Si en particulier on
suppose la largeur des intervalles creux égale à celle des dents et
la vitesse de rotation de la roue telle que, pendant le temps néces-
saire à la lumière pour parcourir le double trajet de la roue au
miroir, les intervalles viennent exactement prendre la place des
dents et réciproquement, les rayons réfléchis seront complètement
interceptés; si la vitesse de la roue vient à augmenter ou bien à di-
minuer un peu, une partie des rayons réfléchis passera de nouveau.

Nous allons faire voir que l'expérience est réalisable avec les vi-
tesses que Ton peut donner à une roue dentée et les distances aux-
quelles on peut opérer. En effet , soient d le nombre des dents de la
roue, n celui des tours quelle fait en une seconde, l la distance de
la roue au miroir, v la vitesse de la lumière : pendant le temps que
met la lumière à aller de la roue au miroir et à en revenir, c'est-

à-dire pendant le temps -? la roue devra tourner d'un arc égal

à —7; comme, dans l'unité de temps, la roue tourne d'un angle

ni

égal à 311^, pendant un temps égal à — elle tournera d'un angle
égal à 3«7r — ; on devra donc avoir

il ITT ,, X I J

V id

Si l'on suppose r=3oH,ooo kilomètres, /==5 kilomètres et
rf= 1,000, on aura

3o6, 000 = 90, ooon, d'où n= — ;

660 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

n serait donc égal environ à i5. Pour que Texpérience réussisse
entre deux stations distantes de 5 kilomètres, il faut donc, si la
roue a 1,000 dents, qu'elle ait une vitesse de rotation de 1 5 tours
par seconde, ce qui peut se réaliser facilement.

368. Dtllttcultés de eette méthode» — Les diflicultés que
présente cette méthode consistent dans l'ajustement exact de deux
appareils séparés par un intervalle de 5 kilomètres et qui doivent
être disposés de telle sorte que le miroir renvoie exactement les
rayons dans leur direction primitive. De plus, il faut que la roue
soit travaillée avec une grande perfection, de manière que la subs-
titution d'un intervalle transparent à un intervalle obscur se fasse
complètement et simultanément pour toutes les dents. On atténue
de la manière suivante la cause d'erreur résultant de ce que cette
condition n'est jamais remplie. Supposons que la roue prenne une
vitesse double de celle pour laquelle elle intercepte les rayons réflé-
chis; il est clair que, pendant que la lumière accomplira son double
trajet, un intervalle creux viendra prendre exactement la place de
l'intervalle creux précédent, et les rayons réfléchis passeront en tota-
lité. Si la vitesse de la roue devient triple de la première, un inter-
valle opaque viendra prendre la place d'un intervalle creux , et les
rayons réfléchis seront de nouveau interceptés complètement. On ver-
rait de même que, si la vitesse de la roue est égale à 5, 7,. . . fois
celle que nous avons supposée en premier lieu, jes rayons réfléchis
seront complètement interceptés. En donnant successivement à la
roue ces diverses vitesses, on pourra en déduire un certain nombre
de valeurs de la vitesse de la lumière et obtenir une valeur moyenne
affranchie, du moins en grande partie, des erreurs provenant des
irrégularités de la roue.

369. AJiMtement des appareils. — Voyons maintenant com-
ment on parvient h ajuster les appareils. Il est clair d'abord qu'on
ne pourra pas prendre pour source lumineuse une lumière ordi-
naire; car les rayons émanés de la source s'affaiblissent avec la dis-
tance à cause de leur divergence et, après leur réflexion sur le mi-
roir, ils n'auraient plus d'intensité appréciable. Il faut s'arranger de

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 661

telle sorte que les rayoDs lumineux conseryent une intensité cons-
tante. A cet effet, on place derrière la roue dentée une source lu-
mineuse quelconque, une lampe par exemple, et devant cette roue
on dispose une lentille achromatique convergente de telle sorte que
les intervalles des dents soient au foyer de la lentille. Les rayons ,
au sortir de la lentille, seront parallèles et se propageront sans s'af-
faiblir; et, si on les fait réfléchir sur un miroir normal à leur direc-
tion, ils reprendront leurs directions primitives, se réfracteront en
traversant la lentille et viendront converger à leur point de départ.

Mais il est facile de voir que, avec ce dispositif, on ne pourrait
jamais obtenir dans l'ajustement du miroir une précision suffisante,
car il suffira que la normale au miroir fasse un angle d'une minute ,
et même moins encore, pour que les rayons réfléchis cessent de
tomber sur la lentille.

On emploie alors l'artifice suivant : à la deuxième station, ^n
reçoit les rayons sur une lentille convergente dont onreiid Ta^e
exactement parallèle à celui de la lentille par un procédé que noms
indiquerons plus loin ; les rayons viennent converger au foyer prin-
cipal de cette lentille , où se trouve un miroir que ¥où rend aussi
normal que possible à l'axe de la lentille, sans qu'il soit nécessaire
de remplir cette condition avec autant d'exactitude que dan&la pre-
mière disposition. Les rayons réfléchis sortent parallèlement à Taxe
de la deuxième lentille, et, quoique chaque rayon suive individuel-
lement une route différente, les deux cylindres des rayons réfléchis
et incidents coïncident sensiblement; les rayons réfléchis tombent
sur la première lentille parallèlement à son axe et vont converger a
son foyer principal, c'est-à-dire au point de départ.

Telle est la disposition à laquelle s'est arrêté M. Fizeau. Elle
exige, comme on le voit, l'emploi de deux lentilles convergentes
dont les axes soient rigoureusement parallèles. Pour arriver à satis-
faire h cette condition, on se sert non de deux lentilles isolées, mais
des objectifs de deux lunettes astronomiques. Dans chacune de ces
lunettes, on place le point de croisement des fils du réticule au foyer
principal de l'objectif, puis on dirige chaque lunette de telle sorte
que le point de croisement des fils de son réticule coïncide avec le
point de croisement des fils de l'autre lunette; on est alors sAr que

-^

662 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

les axes des deux lunettes sont rigoureusement parallèles. Oa rem-
place le réticule d'une des lunettes par la roue dentée, celui de
l'autre par le miroir. On voit que, pour que cette substitution Mil
possible, il faut faire usage, non pas de lunettes ordinaires dont lei
verres sont supportés par des tuyaux, mais simplement d'un sy»-
tème d'objectifs et d'oculaires rendus solidaires.

Enfin, ii reste une dernière condition à remplir : il faut faire
arriver de la lumière sur la roue dentée, de manière qu'il soit fa-
cile de constater la difparition
des rayons réfléchis. La source
lumineuse est une lampe S
(fig. flii) placée derrière une
lentille convergente L; le fais-
ceau convei^ent est refu sur
une lume réfléchissante AB à
faces parallèles, et réfléchi de
manière que les rayons viennent
converger en un point C de la
circonférence de la roue den-
tée; une autre partie des rayons
traverse la lame dans ta direc-
tion BC. Les rayons réfléchia
sur le miroir de la deuxième
station reviennent traverser la
lentille L', tombent sur la lame
'*"'"■ AB, s'y réfléchissent en partie

et la traversent en partie daus les directions comprises entre BD et
AD'. Donc, si l'on n'aperçoit pas de lumière entre les directions BD,
AD', on conclura à la disparition des rayons réfléchis; c'est dans
cette direction qu'on place un oculaire.

M. Fizeau établit ses deux stations Tune à Montmartre, l'autre k
Suresnes, à une dislance de 8,633 mètres de la première. Les ob-
servations devaient nécessairement être faites de nuit; elles ne furent
pas très-multipliées , et les résultats auxquels elles conduisirent ne
présentèrent pas une netteté parfaite.

En effet, on n'arrive jamais, sans doute à cause des imperfections

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 663

de l'appareil, à observer une disparition complète des rayons réflé-
chis; on constate seulement un très-grand affaiblissement et, comme
on ne connaît pas exactement la vitesse de rotation de la roue dentée
au moment où l'on observe la réapparition de la source lumineuse,
on ne peut guère espérer de déterminer par cette méthode la vi-
tesse de la lumière avec plus de précision que par les observations
astronomiques.

M. Fizeau a donné comme résultat de ses expériences le nombre
71,000 lieues de q5 au degré comme représentant l'espace par-
couru par la lumière en une seconde; mais, comme les détails des
observations n'ont pas été publiés , il n'est pas possible de juger du
degré d'exactitude de ce nombre.

METHODE DE FOUCAULT.

370. Première Idée d'applIeAtloii de 1» métliede du nU-
rair tournant à 1» lumière par SI* HTlieatetone en 1 98 9« —

La méthode employée par Foucault est supérieure à la précédente ;
elle repose sur l'emploi des miroirs tournants dont M. Wheatstone
s'est servi pour mesurer la vitesse de l'électricité. M. Wheatstone
avait reconnu que ce procédé se prétait généralement à la mesure
des intervalles de temps très-petits et avait proposé de l'employer
pour évaluer la vitesse de la lumière. Il devait suffire de produire
une étincelle électrique , de la faire réfléchir par un miroir tournant
placé à une grande distance, et de déduire du déplacement de l'i-
mage le temps employé par la lumière pour aller jusqu'au mh*oir.

M. Wheatstone avait surtout pour but de chercher si la vitesse
de la lumière est plus grande dans les milieux plus réfringents,
comme l'indique la théorie de l'émission , ou plus petite , comme le
veut la théorie des ondulations , et de décider ainsi par expérience
d'une manière définitive entre ces deux théories.

Si Ton fait parcourir des chemins égaux dans l'air et dans l'eau à
des rayons partis d'une même source, avant de les faire réfléchir
sur le miroir tournant, les vitesses de propagation étant inégales dans
ces deux milieux, on aura deux images qui ne coïncideront pas. On
reconnaîtra facilement, à sa teinte et à son peu d'intensité, l'image
fournie par les rayons qui ont traversé l'eau, et, d'après la position

WîÀ LEil^Ni tC3 :. 'PTWCt

f^ i>fti» jiUBfp 3ar raooorr i l'iiur? . m /eira À la Imière se prtH
i9a^ iliu Tte 'ianift i*4ir hih iaa& l'^aa m iny^fsemait. IL Wbeil-
^rofip -myait iprp:^r» ie "^111* osumnrr aux ravon» fauBÎiKiu de
nH-':yruiitf>s 'tifitaacHrt tao» l'ur ^c Èan:» i'-^a: •:*'?st tx^ qui rempérlia
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^ r*»rimr!j»*r -1 4a*j!ff .ir)ir i 5*»s «toa -*\rn^té*. ^ 4w nroirs în-
*:inp:4 4 i.î rlefjr*^ <it>vii»?!i£ p^niiiHrr» im rayqo:» de jaitre le tube
'iaoA tnnt»^ «1 tompiiHir. Danif •^^^ 'roaiiitiocLf . fgptjrience est imafi*
«bte: M. Whiîsitatiiaii» ae pabiia po:» •:« prijet : 3 a*<ii parla «|iie dans

■5

reprit la i|ii«fti«>a et dierràa à se ptoiaiei des miroirs
toamant pti» vite «pe «refzi de N. Wlt^^atstoDe . ee qui devait per-
mettre de rédnire beaacoup La (&tdn*:e 4 parwarir par le rayon hi-
minent poar que feipérienee fut p3:^ï^îble. An Kea de miroirs Cûsant
^«^ulement ^00 à 3oo toor» par 5*?oKid«f . Arago fit construire par
ftr^et an méfanimie dliorio^rie qui mettait en monrement on
miroir f^iïiant 3.ooo tours par serroade. A Taide de re miroir on
A^vA pôOToir rendre sensible le temp^ nécessaire à la lumière pour
pt^r^Anrie i on S mètres et opérer par consétpient dans Tintërienr
^nn Uly>ntoire.

W;»U f'^peri^nce telle que la conceTait Arago ne peut être «é-
^nfM, \ '•;iiMe de romission étrange d^une précaution essentielle : en
'v^<^, ^ite n^essite remploi d*une lumière instantanée, conmie
r*%rr #»eil^ d'une étincelle électrique: or, au moment où la dé-
'•h^^ H lieu . le miroir tournant se trouve dans une position qu'on
AA p^nt d.^igner a priori, et. pour que l'obsenation soit possible, il
f^ot que Tobsenrateur soit placé dans la direction du rayon réfléchi,
^A qui n'aura lieu que par hasard. .Irago. pour augmenter les
^hs%nr0A de W-Mbilité du phénomène, proposait d'échelonner plusieurs
fAf%*fr99ê\jnnT% dans le laboratoire: mais il faudrait encore dans ce cas
faire un trè»-grand nombre d'expériences avant de tirer parti d'une
^Awle, \\. Wbeatstone. pour lever cette difficulté, a imaginé une dis-

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIERE. 665

position qui décharge la batterie lorsque le miroir se trouve dans
une position déterminée, de sorte qu'on peut assigner d'avance la
direction du rayon réfléchi.

372. Ululttplicatloii des miroirs tournants. — Arago a
pensé à substituer au miroir faisant 3,ooo tours par seconde et sujet
à s'user très-rapidement trois miroirs, faisant chacun 1,000 tours
par seconde, qui réfléchissent successivement le rayon lumineux et
qui produisent par conséquent le même effet. Mais on rencontre ici
les mêmes difficultés que précédemment, et l'on ne peut employer
de disposition mécanique simple pour lier la production de l'étin-
celle aux positions des miroirs.

373. Introduction de miroim Axes dans rapporeil, in-
diiiuée par BomioI, — Bessel avait proposé à Arago une modifi-
cation qui consiste à placer en face d'un miroir mobile un miroir fixe
pour renvoyer les rayons sur le miroir mobile; cette disposition a le
double avantage d'augmenter le trajet parcouru par les rayons lumi-
neux et de présenter la même sensibilité que si l'on employait un
deuxième miroir mobile tournant avec la même vitesse que le premier.

37 A. Perfectionnement eonsidémble introduit dans la

métiiode par Foucault, en t9AO. — Arago n'utilisa jamais les
miroirs qu'il avait fait construire. Foucault réalisa le premier l'ex-
périence en lui donnant une disposition qui permet à l'observateur
de se placer constamment dans la direction du rayon réfléchi. Soit
un miroir mobile AB (fig. â/i5), sur lequel tombe un faisceau de
rayons parallèles ; ces rayons sont réfléchis et viennent tomber sur
un miroir CD normal à leur direction, placé à une certaine dis-
lance, qui les renvoie dans leur direction primitive. Pendant que la
lumière fait ce double trajet, le miroir AB tournera d'un certain
angle et viendra en A'B', de sorte que les rayons qui reviennent
tomber sur ce miroir seront réfléchis dans une direction qui fait
avec la première un angle double de AOA', c'est-à-dire de l'angle
dont tourne le miroir pendant le temps nécessaire à la lumière pour
parcourir deux fois la distanco des deux miroirs.

666 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

Soient d cette distance , v la vitexse de ta lumière , n le nombre de
tours que fait le miroir en une seconde, on aura

3d_ a
V 3H-36o'

a étant l'angle des deui positions du miroir, et par suite 3a la dé-
viation de l'image, déviation que l'on peut rcconnattre lors mérae

qu'elle n'est égaie qu'à un petit nombre de minutes. Si l'on connaît
la valeur de a, on peut tirer de cette équation la valeur de v.

On peut aus-si remarquer, et c'est là le grand avantage que pré-
sente l'appareil de M. Foucault, que, si la direction des rayons inci-
dents est fixe, la direction des rayons réfléchis sera également fixe
pour une vitesse de rotation constante du miroir, quelle que soit la
position qu'il occupe.

De plus, il est inutile de faire usage d'une lumière instaotanée;
en effet, les rayons n'arrivent à l'œil dans la direction que nous avons
indiquée pour les rayons ntHéchis que lorsque, après avoir été ré-
fléchis sur le miroir fixe, ils iront rencontrer le miroir mobile dans
une position déterminée , ce qui n'arrivera que pendant un instant
très-court à chaque révolution du miroir. L'œil verra donc, s'il est

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 667

place dans la direction indiquée, les rayons réfléchis pendant un
instant très-court à chaque révolution; à cause de la persistance des
impressions lumineuses, il apercevra une image continue et dont le
déplacement par rapport aux rayons incidentes est constant. Soit a
l'angle des rayons réfléchis avec les rayons incidents, exprimé en
degrés, minutes et secondes; on a, comme précédemment,

ad-an-36o

v =

Cherchons la vitesse qu'il faut donner au miroir pour que a soit,

par exemple , égal à i o minutes , en supposant d égal à 5 mètres ; on

aura

n /> io«an*ai6oo

000 000 000 = 1

lO

d'où

3o6oooooo oo

n = 75 == 7000.

Le miroir doit donc faire 7,088 tours par seconde pour produire
une déviation de 1 0 minutes. Pour une déviation de 1 minute il
suffit de 708 tours par seconde; cette déviation de 1 minute est
parfaitement appréciable. Si la distance était de 5 kilomètres, on
aurait, avec une vitesse de 708 tours par seconde, une déviation
de 1,000 minutes ou i6°4o'.

375. Deftcrlption de l'appareil. — Il nous reste maintenant
à décrire avec détails l'appareil employé par Foucault pour réaliser
ses expériences. Les rayons du soleil sont introduits dans une chambre
noire par une ouverture, suivant une direction rendue constante h
l'aide d'un héliostat; ils sont reçus sur un premier diaphragme AB
((ig. Q&6) percé d'une ouverture rectangulaire au milieu de laquelle
est tendu horizontalement un fil D : c'est ce fil qui sert de point de
mire.

Au sortir de ce diaphragme les rayons rencontrent une lame de
verre L à faces parallèles, inclinée sur leur direction : une partie
du faisceau est réfléchie par cette lame et ne sert pas à l'expérience;
l'autre traverse la lame et vient rencontrer une lentille convergente

668 LEÇONS SU» L'OPTIQUE.

F) qui a pour elFet de diminuer la divergence (rop considérable des
rayons. Au delà se trouve une autre lentille convergente O à long
foyer, ocfaromatique et aussi bien travaillée que possible. Au foyer
conjugué du diaphragme on aura une image A'B', mais on ne
permet pas à cette imnge de .se former et. a quelque distance delà
lentille, on place un miroir m qui est précisément le miroir tour-

nant. Nous supposerons d'abord ce miroir immobile dans une cer-
taine position : les rayons lumineux, au lieu d'aller convei^er aux
différents points de A'fi', iront former alors une image A'B" qui sera
située, par rapport à l'image A'B' et au miroir m, comme l'est une
image formée par un miroir plan par rapport à l'objet qui la pro-
duit.

Au point oii vient se former l'image A'B*, on place, un miroir
destiné à faire rebrousser chemin aux rayons lumineux; c'est un
miroir concave dont le centre coïncide avec le milieu du miroir ré-
fléchissant m. Par suite de cette' disposition, tous les rayons qui,
réfléchis par le miroir en m, vont tomber sur le miroir concave,
iront converger après la réflexion aux différents points du miroir m,
mais dans un ordre inverse. L'emploi d'un miroir concave est préfé-
rable à celui d'un miroir plan : en effet, les rayons réfléchis par un
pareil miroir conserveraient après la réflexion la divergence qu'ils
ont en tombant sur le miroir m, de sorte qu'une partie seulement

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 669

de ces rayons tomberait de nouveau sur ce miroir; tandis que le
miroir concave ramène sur le miroir m tous les rayons qui s'y étaient
réfléchis une première fois. Les rayons qui sont ainsi renvoyés sur
le miroir m s'y réfléchissent et prennent absolument les mêmes di-
rections que s'ils émanaient des différents points de A'B'; donc,
après avoir traversé les lentilles 0, E et la lame L, ces rayons iront
converger aux différents points de AB. Ceux de ces rayons qui se
réfléchiront sur la lame L iront former une image ab disposée par
rapport à AB et à la lame L comme l'est une image par rapport à
Tobjet qui la produit. On aura donc en définitive en ab une image
du diaphragme de même grandeur que lui.

On commence par observer cette image à l'aide d'une loupe ou
d'un oculaire, lorsque le miroir m est immobile ou animé d'une
faible vitesse. Lorsque le miroir tourne, on apercevra une image en
ab, au moment où les rayons réfléchis par ce miroir iront tomber
sur le miroir concave , c'est-à-dire une fois par chaque révolution du
miroir si ce miroir n'est étamé que sur une face, une fois à chaque
demi-révolution si le miroir est étamé sur les deux faces, comme
c'était le cas dans les expériences de Foucault. Si le miroir tourne
lentement, on apercevra en ab une succession d'alternatives de lu-
mière et d'obscurité; mais si la vitesse dépasse /î à 5 tours par se-
conde, on aura, par suite de la persistance des impressions lumi-
neuses, une image continue en ab. Si la vitesse est peu considérable,
cette image ne sera pas déplacée d'une manière appréciable; mais,
si la vitesse de rotation continue à croître, l'image se déplacera
sensiblement, et de la mesure du déplacement on pourra dé-
duire le temps nécessaire à la lumière pour aller du miroir mobile
m au miroir concave , et revenir de ce dernier miroir au premier.
En effet, pendant que les rayons vont du miroir m en A'^B'^ et en
reviennent, le miroir m a tourné d'un certain angle et est venu en m';
les rayons, après s'être réfléchis sur le miroir m\ auront les mêmes
directions que s'ils provenaient, non plus des différents points de
A'B', mais des différents points de A"'B'^, symétrique de A"B'' par
rapport au miroir m'.

Ces rayons, après avoir traversé la lentille, iront donc converger,
non plus aux différents points de AB, mais aux différents points do

670 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

A^Bj ; les rayons partis du point D en particulier iront converger
au point D^, milieu de A^B^; les rayons réfléchis par la iame L
iront converger aux divers points de «lèj, symétrique de A,Bi par
rapport à la lame L , et Timage du point D sera en d^ , milieu de aiby
On aura évidemment , à cause de la symétrie ,

dih^m,.

376. Relation entre le déplaeement de rinuise et i'nni^le
de rotation du miroir. — Cherchons maintenant une relation
entre le déplacement x de l'image du point D, c'est-à-dire de Timage
de la mire, déplacement qu'on mesure directement, et l'angle a
dont tourne le miroir pendant le temps nécessaire pour que la lu-
mière parcoure le double trajet du centre G du miroir m en D*^ et
de D'^ en G.

Posons GO = J, GD''=^, 0D = J. Le déplacement angulaire du
miroir étant très-petit, DD^ et D'D'^ peuvent être considérés comme
des arcs de cercle décrits du point 0 comme centre; on a donc

DD^_ d

DDi = (/rf| = a;, GD' est symétrique de la direction du rayon ré-
fléchi quand le miroir est en m, GD'" est symétrique de la direction
du même rayon quand le miroir est en m', c'est-à-dire quand il a
tourné d'un angle a; donc

par suite,

.t: cl

iolS' S-^S'

d'où l'on tire

a est l'angle dont tourne le miroir pendant le temps nécessaire à
la lumière pour parcourir deux fois la distance GD\ c'est-à-dire
pour parcourir une distance égale à aS ,

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIERE. 671

Connaissant la vitesse de rotation du miroir, on peut trouver le
temps qu'il met à tourner d'un angle a, angle donne par l'ëquation
précédente, au moyen de x, S^^ et d que l'on mesure directement;
on connaîtra par suite le temps nécessaire à la lumière pour par-
courir la distance â^ et l'on pourra en déduire la vitesse de la
lumière.

377. BispiMiltloii du miroir tournant. — La principale
difficulté d'exécution que présente cette méthode consiste dans la
construction du miroir tournant. On ne peut employer une glace
étamée, cardans un pareil miroir la surface réfléchissante est formée
par du mercure presque liquide contenu entre le verre et une feuille
d'étain; lorsqu'on ferait tourner rapidement le miroir, le mercure se
porterait vers les bords par l'effet de la réaction centrifuge et le mi-
roir perdrait bientôt tout son pouvoir réfléchissant. Pour éviter cet
inconvénient, Foucault a fait usage de miroirs argentés à l'aide
d'une solution de sels d'argent et de corps organiques réducteurs.

378. Bleoure de lo vlteooc de rotation du miroir. — Le

miroir tournant était monté à l'extrémité d'un axe vertical qui portait
à sa partie inférieure le disque supérieur d'une sirène. On faisait
arriver dans le tambour de cet instrument un jet de vapeur produit
par une petite chaudière; on obtenait ainsi facilement un mouve-
ment rapide et régulier, et en réglant, au moyen d'un robinet, l'ar-
rivée de la vapeur, on pouvait à volonté augmenter ou diminuer la
vitesse de rotation.

M. Wheatstone a employé pour la première fois cette disposition
dans ses recherches sur la vitesse de l'électricité; seulement, comme
il n'avait pas besoin d'une vitesse de rotation aussi considérable que
celle qui est nécessaire dans les expériences dont nous parlons, il
mettait la sirène en mouvement à l'aide d'une soufflerie.

11 s'agit maintenant de connaître la vitesse de rotation de l'axe de
la sirène et par suite celle du miroir. Le jet de vapeur, étant pério-
diquement interrompu, produit un son; on peut en prendre l'unisson
sur le monocorde, déterminer le nombre de vibrations auquel il
correspond, et, comme on connaît le nombre de trous que porte

VEtDKT, IV. — Conférences de physique. &3

672 LEÇONS SUR LOPTIQUE.

le plateau, en déduire le nombre de tours qu'il fait par seconde.
Mais ce procédé manque d'exactitude , car le plateau de la sîràoe
tourne très-vite; le son produit est extrêmement aigu : roreille peut
à peine le percevoir, et il lui est difficile d'apprécier à cette hauteur
même une différence d'un ton.

Foucault a utilisé un autre son qui se produit dans la sirène, que
Ton désigne sous le nom de son d'axe et dont nous allons faire
connaître la nature. Si un corps solide a reçu un mouvement de
rotation autour d'un de ses axes principaux d'inertie, pourvu qu*on
lui restitue à l'aide d'une force extérieure perpendiculaire à l'axe la
quantité de mouvement qu'il perd à chaque instant par suite des
frottements et des résistances étrangères, il tournera indéfiniment
et d'un mouvement uniforme autour de son axe. Mais, lorsque l'axe
de rotation n'est pas un axe principal d'inertie, le coq)s ne peut
tourner sans avoir en même temps un mouvement d'oscillation,
mouvement qui devient très-sensible lorsque la vitesse de rotation
est considérable; il y a une oscillation complète à chaque révolution.
En vertu de ce mouvement, l'axe vient heurter deux fois à chaque
révolution les tourillons dans lesquels il repose; si la vitesse est suf-
fisamment grande, il en résulte un son continu qui correspond à
un nombre de vibrations, pendant l'unité de temps , égal au nombre
de tours de l'axe pendant le même temps. C'est de ce son, désigné
sous le nom de son d'axe, que Foucault s'est servi pour déterminer
la vitesse de rotation du miroir. On conçoit qu'il importe que l'axe
de rotation ne diffère pas trop d'un des axes principaux d'inertie,
sans quoi les oscillations seraient trop fortes et détruiraient bient6t
l'appareil.

Pour amener l'axe de rotation à différer peu d'un des axes prin-
cipaux d'inertie, on se sert d'un plateau triangulaire muni de trois
vis qu'on peut enfoncer plus ou moins et qu'on fixe à l'appareil;
pour achever de le régler on donne quelques coups de lime sur les
bords du plateau. Si l'opération est bien conduite, la rotation doit se
faire avec une vitesse constante, et par suite l'image réfléchie ab doit
être dans une position fixe et rie pas donner d'oscillations.

C'est ainsi que Foucault a pu rendre sensible le temps nécessaire
Il la lumière pour parcourir un espace de 5 à 6 mètres.

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 673

379. Rapport des vitoMies de la lumière dans Tair et
dans l'eau. — Il a aussi fait servir son appareil à la comparaison
(les vitesses de la lumière dans l'air et dans l'eau. A cet effet, à côté
du miroir concave A^'B'^, il en dispose un autre à la même distance
du miroir plan m; sur le trajet des rayons lumineux qui vont de m
à ce nouveau miroir, il interpose un tube de verre rempli d'eau
et fermé par des lames de verre à faces parallèles. La réfraction à
travers l'eau empêcherait les rayons de venir converger sur ce miroir
si l'on n'avait soin de corriger cet effet à l'aide d'une lentille. Les
deux faisceaux de rayons qui reviennent sur le miroir m ont par-
couru des chemins inégaux : l'un est resté constamment dans l'air et
l'autre a traversé une colonne d'eau ; ces deux faisceaux ne revien-
dront donc pas sur le miroir au même instant, par suite ils ne trou-
veront pas le miroir dans la même position , et les deux images a^^i
et a^b^ qu'ils produisent ne coïncideront pas ; si la vitesse de rota-
tion est assez grande, les deux images se sépareront. D'ailleurs on
reconnaît toujours l'image formée par les rayons qui ont traversé
l'eau: à sa couleur verte, si l'on se sert d'eau ordinaire; à sa cou-
leur bleue, si l'on emploie l'eau distillée, et à sa moindre intensité.
Si la vitesse de la lumière est plus faible dans l'eau que dans l'air,
les rayons qui ont traversé la colonne d'eau sont en retard sur les
autres; donc l'image qu'ils forment sera plus déviée par rapport à
la position qu'elle occupait lorsque le miroir était immobile que
l'image formée par les rayons qui n'ont traversé que l'air. Si au
contraire la vitesse est plus grande dans l'eau que dans l'air, l'image
due aux rayons qui ont traversé l'eau doit être moins déviée que
l'autre. Or, l'expérience montre que c'est l'image formée par les
rayons qui ont traversé la colonne d'eau qui est la plus déviée; il
en résulte donc que la vitesse de propagation de la lumière est plus
grande dans l'air que dans l'eau.

On peut aussi, pour faire l'expérience, se servir d'un tube à moi-
tié plein d'eau; on a alors une image verte à la partie inférieure,
blanche h la partie supérieure. Les deux parties de l'image coïn-
cident quand le miroir est en repos; mais celte coïncidence cesse
d avoir lieu quand lé miroir est animé d'une vitesse suffisante, et
Ton constate que la partie verte est plus déviée que la partie blanche^

67i LEÇOtNS SUR L'OFTIQUE.

Foucault n'a pas pris de mesures exactes; il s'est contenté de me-
surer approximativement les déplacements des deux images à l'aide
d'une échelle divisée placée au foyer de la loupe qui sert à observer
ces déplacements. Il a trouvé ainsi que la vitesse de la lumière daos
l'eau est sensiblement les ^ de la vitesse dans l'air, ce qui est con-
forme à la théorie des ondulations, puisque l'indice de réfraction de
l'eau, indice qui, dans cette théorie, représente le rapport des deux
vitesses, est égal' à 3.

380. liA méthode de Foiirault peut me prêter m des Hie-

Burea eiLaetes. — Nous venons de voir que Foucault a facilement

constaté; ù l'aide de son ap|)areil, la durée de la propagation de
la lumière; il est aisé de voir qu'on pourrait arriver par cette mé-
thode à une exactitude de beaucoup supérieure à celle que Ton
peut attendre de la méthode fondée sur les observations astrono-
miques.

Si l'on se propose de faire servir l'appareil de Foucault, non plus
à la démonstration, mais à la mesure de la vitesse de la lumière,
il faut augmenter beaucoup la distance du miroir concave au mi-
roir mobile et la prendre, par exemple, égale à 1 kilomètre. L'ajus-
tement du miroir devient alors très-difficile. De plus, si l'on em-
ployait sans rien y changer la disposition que nous avons décrite,
l'itnage formée au foyer conjugué du diaphragme aurait une très-
grande étendue et par suite ne conserverait qu'une intensité inap-
préciable. On remédie à cet inconvénient, mais d'une manière très-
imparfaite, en rendant les rayons parallèles, comme dans l'appareil
de M. Fizeau ; à cet effet , on place le diaphragme au foyer principal de
la lentille 0; les rayons sortant parallèles de cette lentille sont reçus
à la deuxième station sur une deuxième lentille convergente, dont
l'axe est rendu parallèle 5 l'axe de la première, comme nous l'avons
indiqué, et dont le foyer principal est au centre du miroir m. On
peut, sans erreur sensible, ne pas tenir compte des épaisseurs de
verre que traversent les rayons lumineux; on a encore, dans ce cas,

a == —

26

le-

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 675

Comme S est trè»-petit par rapport à ^, la formule se réduit sen-
siblement à

Cherchons entre quelles limites sera comprise l'approximation :
supposons (/=Q mètres; la vitesse de la lumière est d'environ
3o6,ooo kilomètres par seconde; elle parcourt donc a kilomètres
en ^53^ de seconde. Si le miroir effectue i,ooo tours par seconde,
pendant le temps que la lumière met à parcourir a kilomètres il
tournera d'un angle égal à j^ =5** ao' environ. On a donc

x = 4'" lang â'^ao'

ou environ ^ de mètre, c'est-à-dire 1 6 centimètres.

On peut mesurer le déplacement x k ^ de millimètre près; on
connaît donc ^ à ^ de sa valeur; si l'on a la même approximation
dans la valeur de a, c'est-à-dire dans la détermination de la vitesse
de rotation du miroir, on obtiendra la vitesse de la lumière avec

une approximation de ;^ ou ^ de sa valeur absolue, approxima-
tion de beaucoup supérieure à celle que pourraient donner les phé-
nomènes astronomiques.

Pour mesurer x à moins de ^ de millimètre , on pourrait tendre
sur l'ouverture du diaphragme, non pas un fil unique, mais une
série de fils parallèles et distants de i millimètre. On verra ces fils
dans l'image ab; de plus, on aura au foyer de la loupe une lame
divisée de telle manière que 5o divisions occupent /ig millimètres.
Cette division formera, avec la série des traits équidistants, un véri-
table vernier qui donnera le ^ de millimètre. On peut aussi faire
mouvoir la règle divisée à l'aide d'une vis micrométrique.

Voyons maintenant comment on pourra arriver à une certaine
précision dans la mesure de la vitesse de rotation du miroir. Sup-
posons que, à l'endroit où se forme l'image ab, on ait placé une
roue dentée , de telle sorte qu'une des extrémités de l'image se pro-
jette sur la circonférence de la roue; à chaque demi-révolution du
miroir, une portion de la circonférence de la roue sera éclairée pen-
dant un temps très-court. Supposons que la roue dentée soit ani-

676 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

mée d'une vitesse de rolation telle que, pendant que le nfiiroir fait
une demi-révolution, une dent vienne exactement se substitirer à
la précédente; alors, toutes les fois que le miroir sera éclairé, les
dents paraîtront occuper la même position, et la roue semblera im-
mobile. Il en sera encore de même si la vitesse de la roue dentée
est un multiple exact do celle que nous venons de définir; car alors,
si à un certain moment on voit une dent en un certain point, on
verra toujours une dent au même point lorsque la roue sera éclai-
rée, ce qui la fera paraître immobile. Mais si la vitesse de la roue a
une valeur différente de celles dont nous venons de parler, il n*en
sera plus de même: aux instants où la roue sera éclairée, on la verra
dans dos positions différentes, et elle semblera en mouvement. On
donnera à la roue dentée un mouvement régulier et continu de ro-
tation h l'aide d'un mécanisme d'horlogerie, puis au miroir une
vitesse de rotation telle que la roue dentée paraisse immobile : on
est sûr alors que, pendant le temps employé par le miroir pour
faire une demi-révolution, la roue dentée marche d'un nombre exact
de dents. On arrive ainsi à une vitesse telle que, le miroir faisant
une demi-révolution, la roue dentée marche d'une seule dent. La
vitesse de rotation de la roue dentée n'a pas besoin d'être considé-
rable; ainsi, lorsque le miroir fait 1,000 tours par seconde, si la
roue dentée a 1 ,000 dents, il suffit qu'elle fasse *2 tours par seconde;
si elle a fioo , aSo dents, elle devra faire 4,8,... tours par seconde.
La vitesse de rotation de la roue dentée est connue avec beaucoup
de précision; il en sera de même de la vitesse de rotation du miroir,
qui est un multiple de la première.

9.^ DÉTERMINATION DE LA VITESSE DE LA LIMIERE

PAR L'ABERRATION.

381 . Phénomène de l^aberrafion, déeDuvert par Ilrad-

lej. — Le phénomène de l'aberration, que l'on a utilisé pour dé-
terminer la vitesse de propagation de la lumière, fut découvert par
Bradley dans une série d'observations entreprises de 1726 à lya.S
en vue de déterminer la parallaxe annuelle des étoiles et par suite
leur distance à la terre en fonction du rayon dç Tçrbite terrestr^.

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 677

On ne peut espérer de déterminer cette parallaxe que pour les étoile«;
dont l'observation offre quelque précision, c'est-là-dirc pour les
étoiles qui passent près du zénith du lieu oii l'on observe; car c'est
seulement dans le voisinage du zénith que les observations ne pré-
sentent pas l'erreur due à la réfraction astronomique , erreur dont
il n'est pas facile de tenir compte exactement.

382. Recherches 4e Bloljiieux et Bradley à ralde du «ee-
téur Bénlthal de IUoItuciu* — Ces remarques, dues à l'astro-
nome anglais Molyneux , le conduisirent à construire un instrument
spécial nommé secteur zénithal, qui se composait d'une lunette trèd-
puissante mobile dans le plan méridien, mais seulement sur un arc
d'un très-petit nombre de degrés à partir du zénith. Munis de cet
instrument, Molyneux et Bradley commencèrent en 1726 une série
d'observations sur l'étoile y du Dragon qui passe très-près du zé-
nith d'Oxford, où ils observaient, et par un hasard heureux se trouve
près du pôle de l'écliptique. Ils mesurèrent chaque jour la décli-
naison de cette étoile en observant sa distance zénithale au moment
de son passage au méridien. La réfraction ne peut entacher ces me-
sures que d'une erreur constante qui provient de la détermination
de la distance zénithale du pôle; cette erreur disparaît en prenant
les différences. Ils reconnurent ainsi que l'étoile se dirigeait pen-
dant huit jours vers le sud du zénith; la variation observée était
trop grande pour qu'on pôt l'attribuer à la parallaxe, et de plus,
en vertu de la parallaxe, l'étoile aurait dû marcher vers le nord.
Molyneux étant mort pendant le cours de ces observations, Bradley
les poursuivit seul et reconnut que l'étoile, après s'être déplacée
vers le sud d'un angle de 19 à qo secondes, s'arrêtait, puis revenait
à sa première position, puis la dépassait, marchait de 19 à «20 se-
condes vers le nord, puis revenait vers le sud, et ainsi de suite, la
période de ce mouvement étant d'une année.

Le hasard avait voulu que, au moment où Bradley commença
ses observations, l'étoile fût dans sa position moyenne, c'est-à-dire
dans la position où la vitesse est maxima, de sorte qu'au bout d'un
petit nombre de jours le déplacement devint sensible.

e78 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

■ 383. V»rlaH«HeBdéclliialMnpr«partioBBeUeMial
de In IntltudeastroBomlquci épvque* dem rnsmlniK e*

mlBima de d6cliii«iM>ii. — Bradiey ne se fit d'abord au
idée de la rause du phénomène. Il observa une autre étoile s
dans une région tout opposée à la première et qui passait au
ridien environ douze heures après celle-ci. II constata un mouvei
en déclinaison s'accomph'ssant dans une période d'une année, co
celui de y du Dragon, mais d'une amplitude un peu moindre.
Il étudia ensuite les déplacements en déclinaison de tonte
étoiles qui ])assaient près du zénith, à l'aide d'un nouveau se<
zénithal qu'il fît construire et qui permettait les observations à 6
de part et d'autre du zénith. Tous ces astres présentent un mo
ment en déclinaison dont la période est d'une année, mais l'an
tude de cette oscillation varie quand on passe d'une étoile à
nutrc, et de plus, à un même instant, elles sont dans des phases
rérentes de leur mouvement. Bradiey reconnut qu'une étoili
dans sa position extrême lorsque le mouvement de la terre est
pendiculaire h la droite menée de la terre à l'étoile; dans sa |
lion moyenne, lorsque le mouvement de la terre est dirigé su!
la projection de la droite qui joint la terre et l'étoile sur le pla
l'écliptique. Il fut ainsi nécessairement conduit à chercher une
lion entre la grandeur du déplacement d'une étoile et ses coor
nées. En employant les coordonnées équatoriales , on ne trouvt
de relation; mais si l'on introduit les coordonnées écliptiques
reconnaît que le déplacement d'une étoile en déclinaison est si
blement proportionnel au sinus de la latitude.

38Â. Expllc»tlon et IsIs de l'»berr»»l0B. — Le ph

mène découvert par Bradiey et désigné par lui sous le nom d'
ration est évidemment en relation avec le mouvement de la terr
son orbite. Bradiey eut l'idée d'en chercher la cause dans la i
position de la vitesse de la lumière avec la vitesse de translatic
la terre dont est animé l'observateur <'\

Soient E (fig. sA^) la véritable position d'une étoile k un
tunt donné et 0 celle de l'observateur; pour déterminer la pos

('' l'kiloiopliitai Trainaeb'-'u (. c^ao , l. XX \V, p., 637.

y^

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 679

de l'étoile, <on se sert de deux points 0 et M entraînés par le mou-
vement de la terre; lorsque l'observateur aperçoit l'étoile sur la
même ligne droite que ces deux points, il la considère comme située
dans la direction OM. Mais supposons que l'étoile située en réalité
dans cette direction envoie un rayon EM qui arrive en M lorsque
l'observateur est en 0, il est évident que ce rayon n'arrivera pas à
l'observateur; car, pendant que la lumière va de M en 0, en vertu
du mouvement [de la terre le point 0 va en 0'. Joignons O'M

(fig. aâS) et considérons une étoile en E' située sur le prolonge-
ment de cette droite; pour un observateur placé en 0, la direction
véritable de cette étoile est OE' parallèle à O'E'; cependant il la
verra dans la direction OE. En effet, à un certain moment, un
rayon lumineui parti de E' arrive en M; pendant que la lumière
va de M en 0', l'observateur va de 0 en 0' et reçoit par consé-
quent ce rayon en 0'; donc pour lui ce rayon passera par tes points
M et 0 , et il verra dans la direction MO , non pas l'étoile E qui y est
réellement, mais une étoile E' située sur une direction OE' faisant
avec la première un certain angle. Pour avoir la direction apparente
de l'étoile E, il faut prendre 00' = 00' et joindre O'M. Pendant
que la lumière de Ë va de M en 0 , l'observateur va de 0" en 0
et la lumière lui semble passer par les points M et 0' et par l'é-
toile. Le mouvement de la terre a donc pour effet de produire un
déplacement apparent de l'étoile dans le sens E'ËE'. Il est facile
de trouver la grandeur du déplacement angulaire; en effet, soit a
l'angle de la direction réelle de l'étoile avec sa direction apparente.

680 LEÇONS SLR L'OPTIQUE.

fi'est-H-dire ce qu'on nomme l'aberration , on a ,

sin a sin MffO
00 ~ MO ■

Or les longueurs MO et 00' sont les longueurs parcourues dan
même temps par la lumière et par la terre; elles sont donc dan
rapport v et V des vitesses de la lumière et de la terre. Si l'on
signe par t l'angle MO'O, c'est-à-dire l'angle de la direction a|i
rente de l'étoile avec la direction du mouvement de la terre, o
pour la valeur de l'aberration

On voit de plus que l'aberration a toujours lieu dans le plan i
sant par la terre, l'étoile et la direction du mouvement de la tei

385. De là résultent les conséquences suivantes :

1° Si l'on prend une étoile située dans le plan de l'édiptiq
l'aberration se fera toujours dans ce plan; l'étoile paraîtra déci
dans ce plan une petite ligne droite et osciller autour d'une |
sition moyenne. Il y aura deux instants où l'aberration sera nul
quand on aura i= o, c'est-à-dire quand le mouvement de la te
sera dirigé vers l'étoile, ou dans la direction opposée. L'aberrat
sera maxima quand on aura t = go', c'esl-à-dire quand le mou
ment de la terre sera perpendiculaire au rayon qui joint la terre
l'étoile ; on a alors pour l'aberration sin a = n •

3° Supposons l'étoile au p6le del'écHptique, la direction du m^
veinent de la terre et celle du rayon vecteur font toujours un an
de 1)0 degrés; on a donc constamment sina= y et l'étoile parai
décrire autour de sa position moyenne un cercle dont le rayon
égal à la demi-amplitude de l'excursion totale d'une étoile siti
dans te plan de l'écliptique. A un instant donné, l'étoile se troi
sur le point de ce cercle qui est dans un plan passant par la pc
tion moyenne de l'étoile , la terre et la direction du mouvement
la terre à ce) instant.

3* Considérons uqe étoilç ayant une position quelconque, ni

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRR. 681

allons voir que la courbe qu'elle décrit diffère peu d'une ellipse. £n
effet, supposons l'orbite terrestre circulaire et prenons la terre dans
une position A (fig. 9^9) où son
mouvement est perpendiculaire au
rayon lumineux AE. Ce rayon se pro-
jettera sur l'écliptique suivant OA.
L'aberration a sa valeur maxima, car
on a 1 = 90°, et par suite sina = ^;
elle se fait dans le plan AIE. Suppo-
sons maintenant la terre en T : In
direction de son mouvement est TI;
l'ange ETI est égal à 1; l'abeiration
Fig. 'ig. se fait dans le plan ITE, et

sina^^sini.

Prolongeons les deux tangentes en A et en T jusqu'à leur ren-
contre en 1; les deux plans lAE, ITE se coupent suivant une droite
lE parallèle à AE. Par le point T menons une parallèle TP à OA;
TP est la projection de TE sur le plan de l'écliptique; donc l'angle
ETP est égal à la latitude > de l'étoile E.

Considérons l'angle trièdre avant pour sommet T et pour arêtes
TE, TPetTI;ona

cosETI = cosETPcosPTI + siiiETPsinPTIcosETPl.

L'angie dièdre ETPI est droit , car TP est la projection de TE sur te
plan de l'écliptique, et par suite le plan ETP est perpendiculaire à
ce plan; on a donc

cosETI = cosETPcosPTl
ou

cosi = rosXcosPTI;
or

PTI = PTO-9o" et PT0 = i8o'-A0T.
Posons AOT = ci>, il vient

ÇOS| — cosXsiQw.

682 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

Cherchons maintenant la position relative des plans dans lesquels
se produit l'aberration en T et en A : soit ^ Tangle de ces deux
plans. Considérons le trièdre ayant pour sommet le point I et pour
arêtes lE, lA et IT; en remarquant que l'angle EIA est droit, on a

cos AIT = — cosci) = — sin t cos (p.

Nous avons donc les trois équations

sina^ysint, cost = cosXsin&i, cos&i = sintcos^.

Pour trouver une relation entre a et ^, il faut éliminer t et a»;
on a alors

1— sîn^t = cos2X(i — cos^ci)) = cos^X(i— sin^tcos^(p),
d'où

et par suite

. „. sin*X

'''"•= 1-C0S»AC08'<P'

V sin X

sma = rr

^ y/'i— cos*Xcos*(p

Sur la sphère céleste, par la position vraie de l'étoile, faisons
passer un arc de grand cercle dont le plan soit celui dans lequel a
lieu l'aberration lorsque la terre est en A, c'est-à-dire quand on a
(p= o. Sur cet arc de grand cercle, à partir de la position de l'étoile,
portons une longueur dont le sinus soit proportionnel à la valeur de

sina quand on y fait ^ = o, c'est-à-dire à la valeur de y; comme

l'angle a est très-petit, on peut, sans erreur sensible, regarder la

longueur elle-même comme égale à -n •

Menons un autre arc de grand cercle passant par la position vraie
de l'étoile et faisant avec la première un angle ^, ; portons sur cet
arc, à partir de la position vraie de l'étoile, une longueur proportion-
nelle à la valeur de sinot quand ^=(Pi, nous aurons ainsi la position
apparente de l'étoile quand l'angle (^ aura la valeur ^|. On détermi-
nera de cette façon une série de points représentant les positions

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 688

apparentes de l'étoile et formant une courbe dont l'équation polaire

est

V sin X

^ ^ v/i-cos*Xcos*^

Cette relation est celle qui existe entre le rayon vecteur d'une
ellipse et l'angle que fait ce rayon avec le grand axe.

L'étoile parait donc décrire autour de sa position moyenne une
ellipse; le grand axe de cette ellipse est parallèle au plan de l'éclip-

tique et égal à y^ et par suite il a la même valeur pour toutes les

étoiles. Le petit axe a pour valeur -r^ sin X, valeur que prend p quand

on y fait (^=^0°; le petit axe de l'ellipse est donc proportionnel
au sinus de la latitude.

L'aberration fera donc varier d'une manière plus sensible la lati-
tude et aussi la déclinaison pour les étoiles situées près du pôle de
l'écliptique. C'est le cas dans lequel se trouve l'étoile y du Dragon
que Bradiey observa en premier lieu.

386. Déterminations diverses de la eonstante de Ta-
berration. — Bradiey trouva âo'',9 pour la valeur maxima de
l'aberration, c'est-à-dire pour l'arc dont le sinus est égal au rapport

y; ce rapport étant égal à ^^i on en conclut que la lumière tra-
verse l'orbite terrestre en 8' ta".

Voici les différentes valeurs trouvées pour le maximum de l'aber-
ration en commençant par la valeur déduite de la vitesse de la lu-
mière , vitesse calculée elle-même par les observations des satellites
de Jupiter :

OBSERVATIONS ANCIENNES.

Systèmes d observations des éclipses des satellites de Jupiter, cal-
culés par Deiambre 3o*,â55

Observations de Bradiey, calculées par M. Busch 3o%âi3

OBSERVATIONS MODERNES.

Observations de M. Lindenau sur la polaire âo^&Ag

Observations de MM. Struve et Reuss, exécutées à Dorpat de
i8ss à i838, sur les variations de la polaire en ascension
droite, calculées par M. Peters 3o',&a5

684 LEÇOjNS sur L'OPTIQUE.

Mêmes observations sur les variations de la polaire en déclinaison ,

calculées par M. Lundahl. âo%55i

Observations de M. Petei*s sur la polaire à Tobservatoire de Poul-

kova -^o'^SoS

On pourra donc prendre pour valeur de Taberration la moyenne
des nombres précédents, 9o",5; Terreur sera moindre que ^ de
seconde.

387. Dcs>*^ d'emaetitude de la valeur de la vlieMie de
la lumière déduite de Talierratioii. — On obtient ainsi le rap-
port de la vitesse de la lumière à celle de la terre. Cette dernière se
calcule à l'aide des dimensions de l'orbite terrestre; or ces dimen-
sions sont au nombre des éléments les moins bien connus de la
sphère céleste. Encke a calculé, d'après toutes les observations des
passages de Vénus en 1761 et 1769, la parallaxe du soleil, qu'il a
trouvée égale à S^oyi 16, nombre dont la précision n'est probable-
ment pas égale à celle du nombre qui représente l'aberration. En
admettant qu'il ait le même degré de précision, on trouve pour la
vitesse de propagation de la lumière 3o6,/io8 kilomètres par se*
conde, à ^ près : c'est environ 76,000 lieues modernes ou 70,000
lieues de a 5 au degré.

Mais la parallaxe solaire est imparfaitement connue; sa valeur,
déduite des observations faites sur les oppositions de Mars, serait
de g",! a 5. On ne peut donc espérer de déterminer par des observa-
tions astronomiques la vitesse de la lumière avec plus de précision «
tant que l'on ne connaîtra pas avec une approximation plus grande
la distance de la terre au soleil, c'est-à-dire jusqu'en 188/j, époque
du prochain passage de Vénus sur le soleil.

388. Dififteulté relative à l'aberration dans le •xatème
des ondée. — Nous allons maintenant passer en revue les consé-
quences que l'on doit tirer du phénomène de l'aberration relative-
ment à la liaison qui existe entre le mouvement de l'éther et celui
de la matière pondérable.

Dans le raisonnement que nous avons fait pour expliquer ce phé-

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 685

nomène, nous avons implicilement supposé que la lumière se pro-
page dans l'atmosphère comme si la terre était immobile. Gela se
conçoit dans le système de l'émission; mais pour se rendre compte
du phénomène dans la théorie des ondulations, il faut admettre que
Téther n'est pas entraîné par la terre : or, tl'un autre côté, l'exis-
tence de milieux inégalement réfringents montre bien que la matière
pondérable exerce une action sur l'éther; il faudrait donc admettre
que , les milieux pondérables exerçant une action sur l'éther, l'éther
contenu dans l'atmosphère n'est pas sensiblement entraîné par la
terre. Mais alors comment expliquer ce fait que le phénomène de
l'aberration n'est jamais modifié par l'épaisseur plus ou moins grande
des milieux réfringents qui se trouvent dans la lunette ? Car en ad-
mettant même que la colonne d'air contenue dans le tube de la
lunette n'entraîne pas l'éther avec elle, ce qui parait assez singulier,
du moins les milieux réfringents, comme le verre, devraient agir
sur l'éther et l'entraîner; donc l'épaisseur et la nature de ces milieux
devraient influer sur l'aberration; cependant l'expérience montre
qu'il n'en est rien.

Boscowich proposait, pour rendre le phénomène sensible, d'em-
ployer .une lunette dont le tube serait rempli d'eau; nous verrons
plus loin quels résultats donnerait cette expérience.

389. Expérlenee négative d'ArAff», déiiiontr»iit que la
w^lteMie de la terre est mmaàm inllueiiee sur l*lndlee de ré-
fraetien de la lumière venue des étoiles. — Arago a essayé
de lever toutes les diflicultés que nous venons de faire connaître
fSif l'observation d'étoiles situées dans des régions différentes du
plan de l'écliptique. En effet, considérons un prisme réfringent et
faisons tomber sur ce prisme des rayons émanés d'une étoile située
dans la région vers laquelle marche la terre : tout se passera comme
si la vitesse du prisme, c'est-à-dire la vitesse de la terre, s*ajoutait
à celle de la lumière. Si l'on observe au contraire une étoile située
à 180 degrés de la première, tout se passera comme si les rayons
arrivaient sur le prisme avec une vitesse égale à la différence des
vitesses de la lumière et de la terre : or l'indice de réfraction est
le rapport entre la vitesse de la lumière dans le prisme et dans le

688 LEÇONS SUR L'OPTIQUE,

s'étendre à ua temps Bni, d'où il résulte que tout se passe en réalité
comme si l'étber était animé d'une vitesse qui serait à celle du coq>s
pondérable dans le rapport de A à i + A.

393. ExpltMttttB de l'alwmiUaB dftns un mUlMi «Iflè-
vent du vide ou de l'air. — En nous fondant sur ce principe,
nous allons faire voir qu'on doit toujours trouver la même valeur
pour l'aberration, soit qu'on l'observe dans le vide, soit qu'on l'ob-
serve à l'aide d'une lunette contenant de l'eao
ou d'autres milieux réfringents.

Soit SI ((îg. s5o) un rayon venant d'un
astre S et tombant normalement sur une
couche d'un milieu homogène; si le milieu
est immobile, le rayon arrivera au point A.
Supposons le milieu animé d'une vitesse de
translation 6 perpendiculaire à la direction
Fi(. iBo. du rayon SI ; soit v la vitesse de la lumière :

ta vitesse de l'éther renfermé dans le milieu sera — r ■ Les vitesses
de la lumière dans les deux milieux sont en raison inverse des ra-
cines carrées des densités de l'éther dans ces deux milieux; on a
donc

i;,-„=^r:f:Â. n»-i=A, ^"7^*

ce qui donne, pour la vitesse de l'éther.

Si l'éther seul était en mouvement, le rayon n'irait pas au point
A, mais en un point B' tel. que ce point viendrait de B' en A «
vertu de la vitesse de l'éther, pendant que la lumière va de I en A;
si le milieu seulement était en mouvement, le rayon arriverait en on
point B" tel , que ce point viendrait de B" en A en vertu de la vitesse 9
du milieu pendant que le rayon vient de 1 en A. Les deux mouve-
ments existant simultanément, il en résulte que le rayon arrive en

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIERE. 689

un point B tel, que ce point va de B en A en vertu d'une vitesse
égaie à la différence des vitesses du milieu et de i'éther, c'est-à-
dire à

ô(n*-i) 6

6

n« n'

pendant que la lumière parcourt lA, et l'on voit l'astre dans la di-
rection BI. Si l'on pose AB = a?, IA = /, et si l'on remarque que la

vitesse de la lumière dans l'intérieur du milieu transparent est-i
on a

.r /

ou

X 6 I
/ V n

n* n

Or 7 représente la tangente de l'aberration , ou, si l'on veut, l'abcr-
ration eile-méme ,- est la valeur de l'aberration dans le vide: il

V

X 9 .

existe donc entre j et - la même relation qu'entre un angle d'in-
cidence dans un milieu dont l'indice de réfraction est n et l'angle
d'émergence correspondant; il en résulte que, si l'on observe le rayon

au sortir du milieu transparent, on trouvera pour valeur de l'aber-

B
ration - • Donc l'interposition des milieux réfringents n'influe en

rien sur la valeur de l'aberration.

393. Influeiiee ^gètàérwAt du m^meniMit de 1a terre
les phéneinéiiee d'optique. — Nous avons maintenant à
chercher quelle est l'influence du mouvement de la terre sur les
phénomènes optiques en général, à voir, par exemple, si les lois de
la réflexion et de la réfraction qui ont été trouvées, en supposant
immobiles les surfaces réfléchissantes ou réfringentes, ne sont pas
modifiées par suite de l'existence de ce mouvement. En effet, si
l'ëther était entraîné dans le mouvement commun avec la même
vitesse que les corps pondérables qui y participent » il est clair que
tout se passerait comme si le système entier était en repos ; mais il
n'en est rien. L'éther du vide ne participe en aucune façon à ce
mouvement, l'éther de l'air n'y participe que très-peu. Enfin, Téther

690 LEÇONS SUH L'OPTIQUE,

des corp.s pondt^rables est entraîné avec une vitesse qui vane avec la
nature du corps, mais qui est toujours plus petite que culle des
corps pondérables. Il y a lieu de rechercher quelle est l'influeDce de
cette inégalité de vitesse. Nous supposerons, dans ce qui va suivre,
que le milieu extérieur est le vide, et que par coiistSquent Téther
qui y est contenu n'est entraitié en aucune façon par le mouve-
ment de la terre. Si ce milieu était l'air, les résultats ne seraient
changés, d'après ce que nous avons dit plus haut, que d'une
quantité très-petite.

39â. BéOexl*!!. — i" Cas où la surface réféehiMante est paral-
lèle A la direction du mouvement de la terre. — Nous commencerons par
le phénomène de la réflexion et nous considérerons d'abord le cas
où la surface réfléchissante AC est placée de telle façon qu'elle glisse
parallèlement à la direction du mouvement de la terre. Oa prend à
chaque instant pour direction de ce mouvement la résultante du
mouvement de translation et du mouvement de rotation de la terre.
Considérons un faisceau de rayons parallèles tombant sur la sur-
face AG. Soient SA (flg. qSi) uu de ces rayons, AB la trace d'uo

plan normal à la direction du rayon passant par le point A, SB un
rayon tel , que pour venir du plan normal jusqu'à la surface réQéchis-
sante il mette un temps égal à l'unité. Si l'on prend pour unité de
longueur la vitesse de propagation du la lumière dans le vide, oo
aura BC=i. Pour avoir la direction du rayon réfléchi en A, il
faut, d'après une construction connue, décrire du point A comme

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 691

centre, avec un rayon égal à l'unité, une circonférence à laquelle
on mène une tangente par le point G, et joindre le point de contact
au point A. Cette construction se fera de la même manière, que la
surface réfléchissante soit immobile ou non, car l'éther extérieur
n'est pas entraîné. On a ainsi la direction absolue AK du rayon ré*
fléchi ; AK = t puisque K est le point de contact de la tangente.
Mais remarquons que le point physique, qui était en A lorsque le
rayon incident arrivait en ce point, n'y est plus lorsque le rayon
réfléchi arrive en K. En vertu du mouvement de translation de la
terre, pendant que la lumière va de A en K, c'est-à-dire pendant
l'unité de temps, le point A vient en Aj, et, si l'on représente par 0
la vitesse du mouvement de la terre, on aura AA^ = 0. L'observateur
placé en A, et qui, pour déterminer la direction du rayon réfléchi,
se sert de deux mires placées l'une en K, l'autre en A, verra donc
ce rayon dans la direction AjK; c'est ce que nous appellerons direc-
tion apparente du rayon réfléchi.

Soient t l'angle d'incidence , x l'angle apparent de réflexion , c'est-
à-dire l'angle de A^K avec la normale à la surface, dans le triangle
KAAi ; on a

AA, g sinAKA,
AK 1 sin AAjK *

Or on a

AKAi=KA,C~KAAi = ^-x-(J^i)=t-x,

' a

d'où

^ sin (i—x)

cosx

Donc l'angle apparent de réflexion n'est pas égal à l'angle absolu
d'incidence ; mais ce dernier angle n'est pas égal à l'angle apparent
d'incidence. En efl'et, prenons à gauche du point A une longueur
AA2 = Ô. Considérons le rayon SAg et prenons sur ce rayon, à partir
du point Aj, une longueur A2P= i. Pendant que la lumière va de
P en As, le point A2 va de A2 en A. Le rayon incident en A aura

892 LEÇONS SUR i;OPTIQtJE.

donc la direction apparente AP. Soit y l'angle apparent d'incidence:
par un calcul tout h fait semblable au précédent , on aura

COSJ '

d'autre part on a

on en tire if ^ x.

Dans ce cas, l'égalité subsiste donc rigoureusement entre lea an-
gles apparents de réflexion et d'incidence.

395, 2" Qis oïl la surface réfléchissante est entraînée par la tort
dam une direction parallèle à celle des rayons incidents. — Supposons
PII second lien que chaque point de la surface réfléchissante soit
animé d'une vitessi^ parallèle à la direction des* rayons incidents et

égale à $. Soit AB (fîg. sB-i) la surface réfléchissante : au bout de
l'unité de temps elle sera venue en AjBi, de manière qu'on ail
AA, = BB, = fl.

Considérons un rayon SB tel , que pour aller du plan normal à ta
direction des rayons incidents jusqu'à la surface réfléchissante, dans
sa position nouvelle au bout de l'unité de temps, la lumière mette
Dn temps égal à l'unité, c'esl-à-dira tel qu'on ait B|K= 1.

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 693

Pour avoir la direction absolue du rayon réfléchi , on trace du
point A comme centre, avec un rayon égal à Tunité, une circonfé-
rence à laquelle on mène une tangente par le point Bj, et Ton joint
le point de contact C au point A. En effet, les rayons SA et SBj sont
tels /qu'ils rencontrent la surface réfléchissante à des époques sépa-
rées par un intervalle de temps égal à Tunité. On a ainsi la direc-
tion absolue AG du rayon réfléchi. La direction apparente de ce
rayon sera A^G; quant à la direction apparente du rayon incident,
elle coïncide évidemment avec la direction absolue du même rayon,
puisque le point A se déplace parallèlement à cette dernière di-
rection.

Soient donc t l'angle d'incidence, r l'angle absolu de réflexion,
X l'angle apparent de réflexion. Dans le triangle AA^G, on a

0 sin ACAt^

1 sin CAjA'
or

ACAj = CAK -- CA^ A == w — (i + r) — [tt — ( i + x)] = j; - r.
et

GA]A =7r— (i \-x) ;

d'oL

et par suite

sin CAjA ==sin (i + x),

/j sin ^x—r)

U = -; — p : •

Prolongeons CBi jusqu'à sa rencontre avec AB en D. Dans le
triangle rectangle AGD on a

AG = 1 . AD sin GDA = AD sin r, AD « AB + BD.

Dans le triangle AKB on a

AB sin AKB
KB sinKAB'

d'où

694 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

Dans le triangle BB^U on n

BD sin BB,D

d'où

Oi

BB, sin BDB, '

BD sin BB,D
ô"""sinBDB/

BBiD = BiBA-BiDB = J-t-r

et

donc

BDBi = r;

sm r

et

AD = AB + BD = ^4-e^-^iii±î:l.

sm i sin r

L'équation
devient

1 =ADsinr

(i 4-ô)sinr

sin
D'autre part, on a

h6cos(t4-r).

/j sin(a:— r)
Sin (n-a-j

Mettons ces équations sous la forme

sin {x — r) = 0 sin (t + x) ,
( 1 + 6) sin r + ô cos (/ + r) sin t = sin t ;

éliminons r entre ces deux équations, et pour cela développons

sin {x —r) et cos (* + r),

il vient

— cos X sin r 4- sin x cos r = ô sin (i + x) ,

(i + 6 cos^ i) sin r 4- 6 cos i sin i cos r = sin i.
Eliminons cosr en multipliant la première équation par 0cosisini,

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 695
la deuxième par sin^^ et retranchons; nous aurons ainsi

[(i +ôcos^î)sin j? 4- ô cos a? sin i cost] sinr = sintsin x.
En éliminant de même sin r, il viendra

[(i +6 cos^i) Ànx+6 cosx sin i cos t] cosr=sin i cos x+Q sin {i+xY
Élevant au carré ces deux équations et ajoutant, on a
[(i +9 cos^ i) sin x+B cos i sin ! cos j?p=sin^ t-f- qô sin t cos x sin (i + x).

Nous pouvons négliger dans le calcul les termes en S^\ en effet,
la vitesse de la lumière étant prise pour unité, l'aberration est une

quantité très- petite; 6^ sera par conséquent de l'ordre des ^^
de l'aberration, c'est-à-dire tout à fait inappréciable. H viendra
ainsi successivement

sin^x-j- a ô cost sin 0? sin (t+a?)=sin't-|-Qdsintcosj?sin(t-Hx),

sin^ a; — a 9 sin (i -f- x) sin (t — a?) = sin^ t ,

sin^ x—^9 (sin^ x — sin^ i) = sin- 1 ,

(sin*a?--sin^i)(i — ad) = o,

1 =x.

Donc , dans ce cas encore , l'angle apparent d'incidence est égal à
l'angle apparent de réflexion; mais ce résultat n'est plus rigoureux ,
comme dans le cas précédent : il est seulement approché à moins
d'une quantité de l'ordre du carré de l'aberration, c'est-à-dire à

3^ de seconde près, quantité bien au-dessous des erreurs d'obser-
vation.

396. 3® Réflexion sur un miroir quelconque. — Si maintenant
nous supposons à la surface réfléchissante un mouvement quel-
conque, nous pourrons décomposer ce mouvement en deux autres
s'effectuant, l'un parallèlement au mouvement de la terre, l'autre
parallèlement à la direction du rayon incident. Chacun de ces mou-
vements élémentaires n'ayant, comme nous l'avons vu, aucune in-
fluence sensible sur la réflexion, il en sera de même du mouvement
résultant.

6% LEÇONS SUR I. OPTIQUE.

397. lléb««tl«B. — Nous allons maintenant considérer le eu
(le la réfraction. Nous supposerons successivement la surface réfrio-
jiente animée d'un mouvement parallèle ou perpendiculaire à la
direction des rayons lumineux incidents. Nous démontrerons que
dans chacun de ces deux cas la loi de Descartes se vérifie avec un
degré d'approximation égal à celui que nous avons trouvé pour les
lots de la réflexion : nous pourrons ensuite envisager le cas général.

398. 1° Cas où le mouvement de la terre eslparallèle à la dirtetim
des rayons incidents. — Supposons que la surface réfringente MN se
meuve parallèlement à la direction des rayons lumineux incidents,
avec une vitesse 9, et de plus que le milieu extérieur soit le vide:
prenons pour unité la vitesse de propagation de ta lumière dans le
vide et représentons par u la vitesse de propagation dans le milieu
réfringent. Considérons les rayons incidents dans le milieu réfrin-
gent et examinons les phénomènes à l'émergence. Soit AG (6g. a&3)
la position de la surface réfringente; au bout de l'unité de tenips
cette surface sera venue en A'C, de sorte que AA'= CC'= 6. Par le
point A menons un plan normal à )a direction des rayons incidents,
et soit SB le ravon qui met un temps égal à l'unité pour aller de ce

plan à la surface réfrin-
gente dans sa nouvelle po-
.<^ition au bout de l'unité de
temps. On voit que les deux
ravons SA et SB rencon-
trent la surface réfringente
à des époques séparées par
un intervalle de temps égal
à l'unité. Pour avoir la di-
rection du rayon réfracté
correspondant à SA, il faut
donc, du point A comme
centre, avec un rayon égal
à u, puisque le milieu extérieur est le vide, décrire une circonfé-
rence, mener par le point C une tangente à cette circonférence, et
joindre te point de contact D au point A; on a aijisi la direction

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 697

absolue AD du rayon réfracté; la direction apparente sera A'D;
l'angle apparent d'incidence est ici égal à l'angle absolu d'inci-
dence, puisque le mouvement s'effectue parallèlement à la direc-
tion des rayons incidents. Soit r cet angle ; désignons par I l'angle
absolu de réfraction et par x l'angle apparent : nous aurons dans le
triangle DAA'

f. sin A'DA

^~sinDA'A'

or

A'nA = x-I, DA'A = a?-r,

donc

/. sin(j?— I)

sm [x—P]

Pour éliminer I, cherchons une deuxième relation; à cet effet,
prolongeons DC jusqu'à sa rencontre avec AC en E. On a, dans le
triangle rectangle ADE,

AD-i = AEsinI, AE = AC + CE;

dans le triangle CG'E , on a

CE CE sin CC E
ce e ""sinCEC'

or

CEC=1, ~r+CC'E + I«7r,

d'où

donc

CC'E = î + r-I;

CE-?^^iIf^, AC--^.

sm I sm r

La longueur BC, plus la longueur CC qui est égale à 9, sont
parcourues par la lumière pendant l'unité de temps. Pour exprimer
BG en fonction de la vitesse de la lumière , il faut faire intervenir
le principe de Fresnel. La vitesse de propagation de la lumière dans
je miliçii QÙ se trouvent les points B et C çst u; mais l'éther est

698 LEÇONS SUR l.'OPTIQUt:.

entratnë avec une certaine vitesse qui vient s'ajouter à la vite»
Or, la densité de l'éther dans le vide étant i , sa densité dai
milieu réfringent sera -j. et la vitesse avec laquelle l'éther sera

traîné aura pour valeur = 6(1 —a'}; la lumière ma:

donc avec une vitesse égale à u + d[i — «'), et, comme elle
un temps égal à l'unité pour aller de B en C, on a

d'où

B(;-ii(.

[)ar suite.

AC-ïi

donc

AE.

.AC+CE-2i=

On a donc les deux équations

sin(x — I) =flsin {x~r),
Il (1 — ôu)sinI + 9cos(l — r) sinr = sin r.

Pour éliminer 1 , développons les premiers membres des deuï et
tioDS, nous aurons

— cos ;r sin l + sin a; cos 1 = ô sin (x ~ r) ,
[w{i — ffiiJ + Ssin'r] sin 1 + 6 sin r cos r rosi = sinr.

Éliminons successivement cos 1. puis sin I, nous trouverons
deux équations

[11 ( 1 — flu) s\ax+6 sin^ r sin a; + fl sin r cos r cos x] sin l ■= sin r si
[w(i —Su) sin j" + 5sin'rsinaT+Ssin r cos r cos a:] cosI-=sinrc

-|-Ôttsin(x-

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 699
Élevons au carré ces deux dtguations, ajoutons-les membre h
membre, et remarquons que ie multiplicateur de sin I etcos 1 peut
s'écrire

M (i — 9u) siax+dain r cos [x — r),
nous aurons
[u(i — 9K)sin:F + Ôsinrcos{:c — r)]^=sin^r4-a^8inrcosj;sin(x— r).

Si maintenant nous négligeons les termes en ^, dont la valeur
est extrêmement petite, comme nous l'avons vu plus haut, il viendra
successivement

u'(i — atfw) sin^z+ aflwsinrsin j!cos(j:— r)
="sin' r+ affu sin /■ cos x sin {x — r),
ou

tt*(i — 9Su)8in^3; = sin'r— a ou sin* r,
et enfin

u^8in*x = sin'r.

Donc, la loi de Descarles se vérifie avec une approximation ex-
trêmement grande entre l'angle apparent de réfraction et l'angle
apparent d'incidence, qui est ici égal à l'angle absolu.

399. a* Cas oit le mouvetnent de la terre e»t perpendieulaire à la
direcbon de» rayon». — Con-
sidérons le cas où la sur-
face réfringente MIV est ani-
mée d'un mouvement per-
pendiculaire à la direction
des rayons incidents, mou-
vement dont la vitesse est $.
Nous supposerons encore
que les rayons incidents
traversent un milieu ré-
fringent oîk la vitesse de
propagation est u, et nous considérerons le phénomène à l'émer-
gence; nous conserverons les mêmes notations que précédemment.
Soit AC {fig. aôA) la position de la surface réfringente à un cer-

700 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

tain instant : au bout de Tunité de temps, cette surface est venue
en A'C, de sorte qu'on a AA' = CC'=d. Soit SB un rayon tel,
que, pour aller du plan normal à la direction des rayons incidents
jusqu'à la surface réfringente dans la position quelle occupe au
bout de l'unité de temps, il mette un temps égal à l'unité; les deux
rayons SA, SB rencontrent la surface réfringente, l'un en A, l'autre
en D, à des époques séparées par un intervalle de temps égal à
l'unité. Donc, pour avoir la position du rayon réfracté, il faut, du
point A comme centre, avec un rayon égal à u, décrire une circon-
férence, mener par le point D une tangente à cette circonférence et
joindre le point de contact E au point A. On aura ainsi la direction
absolue AE du rayon réfracté; A'E sera sa direction apparente.
Dan« le triangle AA'E on a

^ sin AEA\

sin A A F/

or

AEA'-J-I + r-(~-^j: + r)=j;-I;

donc

^ sin (x — I)

cos(j:— r)

Prolongeons EU jusqu'à sa rencontre avec AC en K, nous aurons,
dans le triangle AEK ,

i=AKsinI et AK = AC + CK;

or

CK sinCDK ^^x rr^i, /i sin r nvi\ i

CD^slïïCKD' CD-CCtangr-ôj^, CKD-I,

d'oii

donc

ensuite

CDK + --r + I-7r,

CDK==J-(I-r):

Pj^^^gsinr cos(I-r)
cosr sin I '

AC = ^^^, BC = BD-CD,

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 701

Pour trouver BD, remarquons qu'en vertu du déplacement du

corps Téther est entraîné, avec une vitesse égale à -zi dans une

direction perpendiculaire à celle des rayons incidents. Cette vitesse
n'influe en rien sur la vitesse de propagation de la lumière dans la
direction de ces rayons, et, par suite, comme la longueur BD est
parcouinie par la lumière dans le milieu réfringent pendant Tunité

de temps, on a BD = a. D'ailleurs , CD = 6 zzrz\ donc

* cos r

^sinr
4/^ cosr ucosr — CFsmr

Ali = : = ; •

sm r sm r cos r

En mettant pour AC et CK leurs valeurs dans l'équation

1 = AK sin I ,
\\ vient

1 ==

a cos r — 6 sin r . , . /» sin r

sm r cos r

sinl + ô-- — cos (I — r).
cosr V

On a donc les deux équations

sin (a? — I) = ô cos {x — r),
(u cos r — ô sin r) sin I + 9 ûv? r cos (I — r) = sin r cos r.

En développant, il vient

— cos 0? sin I + sin a; cos I =« 6 cos (x — r),
(u cos r — ô sin r cos^r) sin I + 6 sin^ r cos r cos I =» sin r cos r.

Divisons cette dernière équation par cos r, nous aurons
(u — 6 sin r cosr) sin I -h fl sin^r cos I = sin r.

Eliminons successivement cos I et sin I , nous aurons

[u sin a: — ô sin r cos r sin a? + 6 cos x sin^ r] sin I = sin r sin j:>

ou , en simplifiant ,

[tt sin ^ — 0 sin r sin {x — r )] sin I « sin r sin a?>

702 LEÇONS SUR L'OPTIQUE,

et de même

[tt sinx — O sin r sin (x — r)] cos I = sin r cos x-huO cos (jc — r).

Elevant au carré et ajoutant, il vient

[ttsina? — flsinrsin (^ — r)p=sin^r+ sudsinrcos^cos (x — r).

Développons le premier membre et supjirimons les termes en ^,
comme nous l'avons fait plus haut, nous aurons successivement

u^sin^x— QMÔsinrsinxsin(a;— r) = sin^r+îîMÔsinrcosa:cos(a:— r).

tt^sin^d? = sin^r + 9m9 sin r cos r,

. „ sin*r , ^sinr sin*r / , 2Ôucosr\.

sm-^x^ — r + 3v cosr = — r- * H ' ) ^

u* u tt* \ smr /

d'où Ton tire, en extrayant la racine carrée au même degré d'ap-
proximation ,

/ V . sin r / , 6iivosr\ sin r , ^

(1 ) smx= 1 H : = hOcosr.

V / tt \ sni /• / tt

r est Tangle absolu d'incidence, mais cet angle n'est pas égal h
l'angle apparent d'incidence. En effet, pendant que la lumière va de
B en D, c'est-à-dire pendant l'unité de temps, l'éther se déplace dans
la direction BA d'une quantité égale à ô (i — w^); si donc on prend
BB'=6(i — tt^), ce sera le rayon SB' qui viendra passer par le
point D; de plus, quand la lumière sera arrivée en D, le point B',
en vertu du mouvement du corps, sera venu en un point B*' tel,
qu'on ait B'B"==Ô; B"D sera donc la direction apparente du rayon
incident.

Soit y l'angle apparent d'incidence, on a

BB"=B'B"^BB'=Ô-ô(i-u2)=Ôm2,
BB"=BDtangBDB"=utang(y-r)=eu^;

d'où

tang(y — r)«=6M.

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 703
L'angle y — r étant très-petit, on peut écrire

d'où

et

sin y = sin (r -f- ou) = sin r -+- Su cos r,

en prenant s\n0u=6u et cosdu=i, ce qui est permis puisqu'on
néglige les quantités de l'ordre de 6*^. Or l'équation (i) donne

u sin X == sîn r+6u cos r ;

un a donc

tisinx^siny.

Donc , dans ce cas encore , la loi de Descartes est vraie très-ap-
proximativement entre les angles apparents d'incidence et de ré-
fraction.

il 0 0 . Démonstratioii expérimentale direete du prlneipe

de Freenel par M. FiaeiMi. — L'hypothèse de Fresncl explique,
comme nous l'avons vu, un grand nombre de phénomènes; cepen-
dant elle parut d'abord étrange à la plupart des physiciens, qui
continuèrent à supposer l'éther complètement entraîné dans le mou-
vement des milieux pondérables, de sorte que le phénomène de
l'aberration fut longtemps regardé comme ne pouvant s'expliquer
complètement dans la théorie des ondulations.

C'est à M. Fizeau que l'on doit d'avoir démontré, par une expé-
rience décisive, l'exactitude du principe posé par Fresnel. Cette ex-
périence consiste à observer le déplacement des franges d'interfé-
rence produites par deux faisceaux lumineux dont un traverse un
milieu pondérable animé d'un mouvement dans la direction du
rayon. Le déplacement peut se calculer soit en supposant la vitesse
de l'éther égale à celle du milieu pondérable, soit en lui donnant
la valeur qu'assigne le principe de Fresnel. En comparant le résultat
du calcul avec le déplacement observé, on pourra prononcer entre
les deux hypothèses. Pour rendre le phénomène plus sensible, on
est conduit naturellement à prendre deux corps identiques animés

Vmmt, ]V. — GoDférencefl de physique. âf»

704 LEÇONS SUil LOPTIOLE.

de iiiouvcmpiils de sens contraires et traversés chacun {)ar ud des
faisceaux lumineux; comme il faut de plus employer des corps trans-
parents d'une grande épaisseur pour avoir un déplacement appré-
ciable, il était naturel d'avoir recours à des r^lonnes liquides : c'est
ce qu'a fait M. Kizeau.

llOl. Appareil 4'Arac« pour étauUvr l'UUlNMMe «m

•ouelini d'atr d'Inéc»!* dcBsiié. — L'appareil dont s*est serri

M. Fizeau est une modilicalion de celui qu'a employé Arago ponr
étudier les franges d'interférence de deni
faisceaux lumineux qui traversaient deoi
colonnes de gaz d'une grande longueur.
On ne peut évidemment employer dans ce
ras ni les miroirs de Fresncl ni le bïprime.
Arago s'était orrclté au dispositif suïvaiiL. La
source de lumière est une fente ëlnilB^S
(tig. 253) perpendiirulaire au plan da li
figurt^: à quelque distance est plae^ÔM
lentille achromatii^ue L dont la fenteo^
cupe le foyer principal. Les rayons ■
di! la lentille parallèlement à son axe et 1
tomber sur un écran MN percé de deux i
vertures larges séparées par un intc
opaque de quelques centimètres. On a ainii
deux faisceaux un peu éloignés, ce qui est
nécessaire pour qu'on puisse disposer sur
leur passage les deux tubes AB, A'B', rem-
f'f'y^- plis de gaz, qu'ils doivent traverser; ces

deu\ tubes sont fermés par des plaques de verre tout à fait iden-
tiques. A cet effet on coupe en deux une plaque de verre parfaitement
homogène et qui a en tous ses points la même épaisseur, comme
on s'en est assuré au sphéroniètre , et l'on se sert des deux moitiés
pour fermer les extrémités correspondantes des deux tubes. Derrière
les deux tubes se trouve une deuxième lentille achromatique L'
dont l'axe est exactement parallèle à celui de la première; les rayons
des deux faisceaux sont rendus convergents vers le foyer en S'; le

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 705

passage des rayons à travers cette lentille ne leur donne, comme
on sait, aucune différence de marche, et l'on pourra observer les
franges dans le plan focal de la lentille. Les franges sont très-resser-
rëes à cause de la distance des deui faisceaux qui interfèrent, dis-
tance considérable par suite de la largeur de l'intervalle opaque:
mais elles sont très-brillantes, et l'on peut les grossir beaucoup à
l'aide d'une loupe et même d'un microscope, sans qu'elles cessent
d'être nettes.

402. Appareil de IM. Flseau. — M. Fizeau a introduit dans
cet appareil un perfectionnement important, qui consiste à augmen-
ter la largeur des franges, malgré la grande distance des deux ou-
vertures 0 et 0', sans diminuer leur
intensité, et à rendre ainsi le phéno-
mène plus sensible. A cet effet, entre
les deux tubes et la lentille L, on dis-
pose sur le trajet des faisceaux lu-
mineux deux laïues de verre à faces -
parallèles HS, R'S'(fig. 956), obte-
nues en coupant en deux une lame
bien homogène et ayant partout la
môme épais$eur : ces lames sont éga-
lement inclinées sur tes deux fais-
. ceauv , qui les traversent sans prendre
aucune différence de marche, mais qui
sortent suivant ST, ST, parallèlement à leur direction primitive , en
se rapprochant l'un de l'autre; il en résulte que les franges d'inter-
férence que produisent les deux faisceaux lumineux auront la même
largeur que si l'intervalle 00' était plus petit. En employant des
lames de verre suffisamment épaisses et fortement inclinées sur les
directions des rayons, on peut rapprocher beaucoup les deux fais-
ceaux et par suite augmenter notablement la largeur des franges
sans pour cela diminuer leur intensité.

Pour réaliser l'expérience imaginée par M. Fiseau, ii suffirait de
remplir les tubes AB, A'B' d'eau courante circulant en sens con-
traires dans les deux lubes; le déplacement obsi-rvé des franges d'in-

706 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

terférence permettra de calculer le rapport de la vitesse de i'éther
à celle de l'eau. En effet, soient t' la vitesse de propagation de la lu-
mière dans le vide , u cette vitesse dans l'eau , 0 la vitesse de l'eau,
/ la longueur de chacun des tubes AB, A'B', 6x la vitesse de l'éther.
Dans le tube où Teau marche dans le sens de la propagation des
rayons lumineux, la vitesse de propagation de la lumière est ti + 9x;

le temps que met la lumière à parcourir ce tube est ^' Dans

l'autre tube, Teau marche en sens contraire des rayons lumineux;
la vitesse de propagation de la lumière est u — Ox; le temps eni-

ployé par la lumière pour parcourir ce tube sera — r- • Eln sorliot

des tubes, les deux faisceaux ont donc une différence de màrdbe
égale à l'épaisseur du vide que la lumière traverserait dans le-tMOc

/ / .

i-

(/ — O.r u -h 6d' -**•

Si l'on représente cette différence de marche par y, on aura diMÉl

Y

^' a — 6x a-^6x f^ .

Or cette différence de marche y peut se déduire du déplacemeilt4plH
serve des franges d'interférence : on connaît v, u, 6^ l; on peutdùie
de l'équation précédente déduire la valeur de x et voir si rrttn qwÉ
tité est égale à l'unité, comme le veut l'hypothèse qui suppose Télher

complètement entraîné par la matière pondérable , ou bien à — -r—

comme le veut la théorie de Fresnel.

M. Fizeau a encore introduit quelques perfectionnements dans
l'appareil que nous venons de décrire ; il a renoncé à employer deux
tubes séparés, car, malgré toutes les précautions, l'eau pouvait y
être à des températures différentes et avoir par conséquent des den-
sités et des indices de réfraction différents, ce qui devait produire
entre les deux faisceaux une différence de marche et rendre par
suite l'expérience tout à fait inexacte. 11 s'est servi d'un tube unique
(|u'une cloison incomplète sépare en deux moitiés dans lesquelles
l'eau circule en sens contraires; elle arrive en A et sort en A'. Enfin»

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 707
pour être bien sf^r que les différences qui peuvent exister entre les
deux colonnes liquides ne donnent pas aux deux faisceaux une dif-
férence de marche indépendante du mouvement de l'eau, M. Fizeau
a disposé l'appareil de manière que chacun des faisceaux traverse
les deux tubes en sens contraires.

On prend pour source lumineuse un point S (fij;. 357) placé
sur le c4té; les rayons qui en émanent tombent sur une lame de verre
réfléchissante MN et reacontrent ensuite la
lentille achromatique L, disposée de telle
sorte que son foyer principal coïncide avec
l'image S' du point S donnée par lu surface
MN. Les rayons, après s'être réfractés à
travers la lentille , en sortent parallèlement
à son axe, traversent les deux ouvertures 0
et 0' de l'écran , puis les deux tubes AB et
A'B', et vont tomber sur la lentille achroma-
tique L' dont l'axe est parallèle à celui de
la lentille L et qui les fait convei^er à son
foyer principal. En ce point se trouve un
petit miroir plan M' perpendiculaire à l'axe
de la lentille; les rayons réfléchis vont tom-
ber de nouveau sur la lentille L', mats les
rayons qui ont traversé la partie inférieure
de la lentille vont après la réflexion traver-
ser la partie supérieure; donc les rayons
qui ont traversé AB dans le sens du mouve-
ment de l'eau vont traverser le tube A'B'
aussi dans le sens de ce mouvement, et les
'^"■' rayons qui ont traversé A'B' en sens con-

traire du mouvement de l'eau traverseront encore le tube AB en sens
contraire de ce mouvement. Au sortir du tube, les rayons vont tom-
ber sur la lentille L, qui les fait converger en son foyer principal S';
c'est en ce dernier point qu'on observe le système des franges d'in-
terférence. On se sert dans cet appareil de deux lames de verre
obliques B et R', destinées , comme nous l'avons vu , à rapprocher les
faisceaux el à élargir les franges.

708 LEÇONS SIR I.OPTIQUE.

àdS. ■«mUtet de« cxpèricnoe» de M. Vtmtmm. — Ë

riant à l'eau une vitesse de -j mètres par seronde, M. Fizeai
tenu des résultats sensibles; mais il a fallu porter la vitesse
7 mètres par seconde pour avoir des effets mesurables. M. F
obtenu un déplacement égal à o,/|6 d'une largeur de frai
théorie de Fresnel donne o,4o; l'hypothèse qui supposerait
animé de la même vîlesse que l'eau donne o,(}9. Comme
guère à choisir qu'entre ces deux hypothèses, on peut rega:
principe de Fresnel comme vérifié par l'expérience.

En opérant avec de l'air animé d'une vitesse de aS mèti
seconde, M. Pizeau n'a pas trouvé d'effet sensible.

3° VITESSE DE PROPAr.ATION DES RAYOTtS DE DIVERSES COOLB

àOà. Andenne Idée de Newton, reprise plua «ar
Helvll et CvurUvron, et cnflii par Armg». — Depui:

temps les [ihysiciens se sont demandé si, dans le vide, les
de différentes couleurs se propagent avec la même vitesse, i
d'autres termes, s'il y a ou non dispersion dans le vide. Ni
dans une lettre à Flamsteed, l'engage déjà à observer al(eDti\
l'immersion ou l'émersion des satellites de Jupiter et à voir
phénomènes ne sont pas accompagnés de coloration. En effet
vitesse de propagation n'était pas la même dans le vide pt
rayons de différentes couleurs, les rayons rouges se propageai
vite que les rayons violets, à l'immersion les rayons rouges
raient de nous arriver avant les rayons «oletset le satellite (
se colorer en bleu ou en violet: de même, à l'émersion, les i
rouges devraient nous arriver en premier lieu, et le satellite
une teinte rouge. Flamsteed n'observa rien de semblable el le:
de Newton furent oubliées jusiju'au milieu du xviii' siècle, oi
membres de la Société Royale de Londres, Melvil et Court
appelèrent l'atlenlion des astronomes sur cette question. Les
lats de l'observation furent négatifs.

Arago eut l'idée de substituer à l'observation de l'immersi
de l'émersion des satellites de Jupiter, observation qui ne pei
très-eiiqcte à cause du peu d'éclat d^ ces satellites el de |a i

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUxMIÈRE. 709

durée du phénomène, robservation des éclipses de soleil produites à
la surface de Jupiter par les satellites. D'après ce que nous avons dit
plus haut, les points que vient d'atteindre le cône d'ombre devraient
disparaître colorés en violet; ceux qu'il vient de quitter seraient
rouges. Dans cette méthode, au lieu de déterminer les changements
d'un astre d'un éclat très-faible, on compare la teinte d'un petit
disque à la teinte du reste de la planète, teinte qui est invariable.
Les conditions sont donc beaucoup plus favorables; cependant Arago
n'obtint aucun résultat.

405. nétli^iie d'Aniffo fomilée sur l'obserratloii des
étoiles eliaiiipe«iitea« — Il eut alors l'idée de recourir à des
étoiles changeantes. Il y a certaines de ces étoiles dont l'intensité se
réduit presque à zéro; parmi les étoiles visibles à Paris, il faut citer
Algol qui, en quelques heures, passe de la 3* à la 6* grandeur.
Supposons qu'une étoile s'éteigne complètement, ou nous soit cachée
par un écran opaque, ou tourne vers nous une partie non lumi-
neuse; si les rayons différemment colorés se propagent dans le vide
avec des vitesses inégales, comme la lumière met plusieurs années
pour venir jusqu'à la terre, même des étoiles les plus rapprochées, si
petite que soit la différence de vitesse de ces divers rayons, il pourra
en résulter une différence d'un quart d'heure ou même d'une demi-
heure entre les temps qu'ils emploient pour venir de l'étoile à la
terre. Donc, si l'étoile s'éteint par une cause quelconque, les rayons
rouges cesseront d'arriver un quart d'heure ou une demi-heure avant
les rayons violets, et, pendant ce temps, l'étoile paraîtra colorée des
teintes les plus réfrangibles du spectre. De même, lorsque l'étoile
reparaîtra, les rayons rouges nous arriveront un quart d'heure ou
une demi-heure avant les rayons violets, et, pendant ce temps, l'é-
toile paraîtra colorée des teintes les moins réfrangibles du spectre.

Si les changements d'intensité des étoiles ne sont pas accompa-
gnés de changements de teintes ou si ces changements de teintes ne
se font pas d'après les lois que nous venons d'indiquer, il faudra en
conclure qu'il n'existe aucune différence sensible entre les vitesses
de propagation des rayons de différentes couleurs dans le vide : lef
changements irrégulieri^ de couleur qu'on pourrait observer devraient

710 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

être attribues à des phénomènes physiques s'opérant à la surface de
rétoile. Les observations faites sur Algol ont démontré de la ma-
nière la plus nette que les changements de teintes qui résulteraient
d'une inégalité de vitesse entre les rayons de différentes couleurs ne
se produisent pas.

Remarquons que, pour qu'on puisse tirer de là une conclusion
légitime» il est nécessaire de répéter l'observation à des époques où
la terre a des vitesses différentes; sans quoi il pourrait arriver que,
par une coïncidence fortuite, les rayons violets envoyés par Tétoile
avant sa disparition arrivent en même temps que les rayons rouges
envoyés avant la réapparition suivante, ce qui, malgré l'inégalité
de vitesse des deux espèces de rayons, fait disparaître la colora-
tion ; mais cette coïncidence ne pourrait exister que pour une po-
sition particulière de la terre, et la coloration reparaîtrait pour toute
autre position.

Il est donc nettement démontré que les temps nécessaires aux
rayons rouges et aux rayons violets pour venir d'une étoile dont la
lumière met plusieurs années à arriver jusqu'à nous ne diflfèrent pas
de cinq minutes. Donc les vitesses de propagation des rayons de
différentes couleurs dans le vide ne diffèrent pas de '^^— de leur
valeur, c'est-à-dire que, si cette différence existe, elle est bien au-
dessous des quantités que nous pouvons mesurer.

A 06. Coloratloii produite |Nir le aiauveHieBf ûmm

lieiix pondéraMes. — Il nous reste à parler des changements
de couleur que peut produire le mouvement des milieux pondérables.
C'est là un point que Fresnel avait négligé d'examiner. Considérons
un prisme entraîné par le mouvement de la terre et recevant les
rayons venant d'une étoile; supposons ce prisme animé d'une vitesse
dirigée vers l'étoile et égnleàd; soient v la vitesse de propagation de
la lumière dans le vide, T la durée d'une vibration de l'éther dans
le vide : à un certain instant les molécules d'éther qui se trouvent à
la surface du prisme sont dans une certaine période de leur mouve-
ment; les points de l'éther qui sont à une distance X=vT de cette
surface sont dans la même période de leur mouvement. Si le prisme
était immobile, il faudrait un temps T pour que ce mouvement

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 711

arrivât à la surface du prisme, et la durée de la vibration sur cette
surface serait T; mais le prisme vient au-devant du rayon lumineux
avec une vitesse 0; donc le mouvement parti des points situés à une
distance X de la portion initiale du prisme rencontrera ce prisme après
avoir parcouru une longueur y donnée par Téquation

d'où

A ce moment la surface du prisme sera dans la même phase de vi-
bration qu'à l'instant initial.

La durée d'une vibration à la surface du prisme est donc le
temps nécessaire à la lumière pour parcourir la distance y, temps

égal à — z; si le prisme était immobile, la durée d'une vibration

serait - : ce temps est donc réduit dans le rapport de v à y-f-fl. On

verrait de même que , si le prisme s'éloignait de l'étoile avec une
vitesse 0, la durée d'une vibration serait augmentée dans le rapport
de v—O h V. De ces changements dans la durée des vibrations
résulte un changement de coloration ; mais les effets dont il s'agit
sont très-petits. En effet, la longueur d'ondulation se trouve altérée
d'environ -j^ de sa valeur, changement qui pourrait être appré-
ciable par l'observation du déplacement des raies du spectre donné
par l'étoile. Mais l'expérience présente de grandes difficultés et n'a
pas encore été réalisée.

/i07. Idée de lH. Doppler sur respHeation des eouleurs
complémentaire* de eertoimes étoiles doiiMee. — C'est
M. Chrislian Doppler qui a le premier appelé Tattenlion des physi-
ciens sur les changements de coloration que peut produire le mou-
vement des corps pondérables. Il a appliqué ces idées à l'explication
du phénomène si singulier de la couleur complémentaire, que pré-
sentent assez fréquemment les étoiles d'un même système double.

On sait que ces étoiles ont des masses comparables, et qu'elles

112 LEjÇONS SUR L'OPTIQUE.

ournent, non pas l'une autour de l'autre, mais autour de
entre de gravité commun; on peut donc les supposer anima
néme instant de vitesses sensiblement égales et de sens contrE

Pour la lumière venant de l'étoile qui se rapproche de la t<
a durée de vibration est diminuée, et, par suite, si elle était d'à
ilanche, elle se colorera en bleu ou en violet. Pour la lun
enant de l'étoile qui s'éloigne de la terre , la durée de vibratio
ugmentée d'une quantité égale à celle dont elle est diminuée
autre; cette lumière se colorera donc d'une teinte complémen
le la première.

Mais dans cette théorie , pour que les colorations fussent sensil
I faudrait qne la vitesse des étoiles dont il s'agit fût comparai
a vitesse de propagation de la lumière, ce qui est difficile à.
netlre.

Il est facile de voir que ce phénomène de coloration n'a pas
lour les sources lumineuses qu'on observe à ta surface de la t<
)ans ce cas la source est entraînée par le mouvement de la i
ussi bien que l'observateur, et il y a compensation. En effet, <
idérons un mouvement vibratoire partant de ta source: au boo
emps T d'une vibration , ce mouvement a parcouru une longueo
nais la source a marché de 6T en sens contraire; donc la distanc
leux points qui sont dans la même phase de leur mouvemen'
iratoire, ou la longueur d'ondulation, sera X-f ST. Mais l'observa
narcbant vers la source avec une vitesse 6, on verrait comme
laut que le temps d'une ondulation serait réduit dans le rappor
à f+d,etque, par suite, la longueur de l'ondulation serait réd
lans le rapport de vT à vT-i-ffT ou de X à X + ^. Donc tout sep
lour l'observateur comme si la longueur d'ondulation était X.

àdS. VériflMtloB directe 4ea Idée* de H. Itopplm di
e «w dn ••», p«r nn. BeaCt Ruwiell et Bii7»-B»U*t.

1. Doppler a fait remarquer que des phénomènes du même gi
loivent se manifester dans le cas du son , lorsqu'on se rapprodie «
orps sonore : la durée d'une vibration doit diminuer et le
Qonter à l'aigu; si, au contraire, on s'éloigne du corps sonore
lurée d'une vibration augmentera et le son deviendra plus grav

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 713

Ces conséquences de la tliéorie ont été vérifiées expérimentale-
ment par deux observateurs, MM. Scott Russeli et Buys-Ballot. Ce
dernier opéra sur le chemin de fer d'Utreclit Èi Amsterdam; il fit
placer à des distances d'un kilomètre des personnes munies d'ins-
trumenls à vent ou à cordes, parfaitement accordés de manière à
donner la même note; il se pla^a sur une locomotive lancée à toute
vitesse et reconnut que l'acuité du son augmentait è mesure qu'il se
rapprochait de l'un de ces instruments et diminuait quand il s'en
éloignait: la différence était d'environ un demi-ton.

&09. Expérl«Bee de H. nmeau. — M. Fizeau a opéré d'une
façon plus simple: il employait deux roues concentriques (fîg. 3 58);
la roue extérieure portait un certain nombre de dents aux extrémités
d'un même diamètre, la roue intérieure ne portait qu'une dent.
Supposons que cette dernière roue reçoive un mouvement rapide de
rotation dans le sens de la flèche, la roue
extérieure restant fixe et l'observateur étant
placé en 0; lorsque la dent de la roue in-
térieure rencontre les dents su[>érieures de
la roue extérieure, on a un corps sonore qui
se rapproche de l'observateur; lorsqu'elle
rencontre les dents inférieures, on a un
corps sonore qui s'éloigne de l'observateur.
'^' '" ' On doit donc , d'après ce que nous avons

dit, avoir une succession de deux sons, l'un plus aigu, l'autre plus
grave ; c'est effectivement ce que l'on observe.

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konigl, Bôhm. Gesellsch., III.
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der Doppelsterne betreffend, Pogg. Ann,, LXXXV, 871.

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parallaxe du soleil. Comptes rendus, LV, 5oi et 799.

II.

MÉTÉOROLOGIE OPTIQUE.

410. Division du sujet. — La météorologie optique comprend
non-seulement l'explication des apparences lumineuses rares qui se
présentent dans latmosphère, mais aussi l'étude des modifications
permanentes que les rayons de lumière y éprouvent soit dans leur
nature, soit dans leur couleur, soit aussi dans leur direction : nous
la diviserons en trois parties.

Dans la première partie, nous étudierons la propagation des
rayons lumineux dans les couches de l'atmosphère quand il n'y a
au milieu d'elles aucun corps accidentel en suspension dans une
proportion plus grande que l'ordinaire, et les propriétés de la lu-
mière atmosphérique.

Nous parlerons, dans la seconde partie, des phénomènes produits
par la réfraction, la réflexion et la diffraction de la lumière à la
rencontre de gouttelettes d'eau en suspension dans l'atmosphère.

La troisième partie comprendra Tétude des phénomènes, d'ap-
parences et de causes très-variées , dus au passage de la lumière à
travers des particules de glace.

I. PROPAGATION ET PROPHIETÉS DES RAYONS LLMIISELX
QUI SE PROPAGENT DANS L'ATMOSPHERE.

1** RÉFRACTIONS ASTRONOMIQUES.

lill. Réiiraction des rayons lumineux par l'atmospliè

— Nous parlerons d'abord de la réfraction des rayons lumineux à
travers les couches d'air qui constituent l'atmosphère terrestre. La
question comprend deux parties, suivant que l'on considère la lu-
mière comme venant d'un astre, c'est-à-dire d'un point situé hors
de l'atmosphère, ou bien comme émanant d'un point de l'atmos-
phère elle-même.

La première question est la plus simple : en effet , les rayons se
réfractent dans ce cas graduellement » assez faiblement et d'une ma-

>

MÉTÉOROLOGIE OPTIQUE. 717

iiière régulière. Dans le second cas, au contraire, les rayons tra-
versent les couches voisines de la terre, dans lesquelles la densité de
l'air varie fort irrégulièrement. On ne peut résoudre complètement
ces deux problèmes, même le premier, parce qu'on manque de don-
nées sur la constitution de Talmosphère.

AI 2. Réfraetioii Mitroiioiiili|ue« — Connaissant les indica-
tions du thermomètre et du baromètre, on cherche une relation
théorique entre la direction des rayons qui arrivent à l'œil et la di-
rection qu'avaient ces rayons avant la réfraction. Cette relation
contient des constantes qu'il faut déterminer empiriquement.

Pour trouver cette relation, on suppose que la constitution de
l'atmosphère est symétrique autour de la verticale. Ce cas se ren-
contre souvent, c'est à peu près l'état moyen de l'atmosphère. Il ar-
rive cependant quelquefois que cet état est loin d'être réalisé; mais
alors les observations astronomiques n'offrent plus rien de certain.
Admettons donc que tout soit symétrique autour de la verticale , ou,
ce qui revient au même, par rapport au centre de la terre, c'est-
à-dire que l'atmosphère soit composée de couches sphériques con-
centriques. Cette hypothèse n'est pas absolument exacte, car les
différentes parties de chaque couche sont très-inégalement échauf-
fées par le soleil; mais si l'on imagine une calotte atmosphérique
limitée par l'horizon sensible, on y pourra considérer l'hypothèse
précédente comme suffisamment exacte. D'ailleurs la réfraction est
nulle au zénith et va toujours en croissant à mesure qu'on s'en
écarte, et cela pour deux raisons : d'abord, le rayon lumineux ren-
contre des couches de plus en plus denses en se dirigeant vers la
surface de la terre; il se rapproche donc constamment de la nor-
male; de plus, le rayon traverse une épaisseur de chaque couche
d'autant plus grande qu'il se présente plus obliquement; la somme
totale des réfractions augmente donc de plus en plus.

Soient M (fig. nSg) un point de la surface de la terre, MN la
verticale , S'MN ^ z la distance zénithale apparente d'un astre
dont les rayons arrivent suivant la direction SM ; la distance zéni*
thaïe vraie est sensiblement l'angle SKN = Z. Rigoureusement, c'est
l'angle SiMX; mais si Tastrc est assez éloigné, MS peut être considéré

718 LEÇONS SUR L'OPirQUE.

comme parallèle à KS. La différence Z — z entre la distance zénï-
tliale vraie et la distance lénitbale apparente mesure l'effet de h
réfraction. On pourra poser Z~2= Az=/(î), la fonction /(z) dé-
pendant de plusieurs paramètres qui varient eux-mêmes avec i'élil
de l'atmosphère qu'il faut déterminer et qui dépendent aussi de cef-
laines constantes. Pour évalu<?r ces consliinles, on mesure la hauteur
méridienne d'un astre circompolaire en observant ses calminatioDs
inférieure et supérieure, et l'on prend la demi-somme des deux ob-

servations. S'il n'y avait pas de réfraction, on aurait ainsi fa hau-
teur du pôle, et l'on devrait trouver la même valeur en opérant de la
même manière avec toutes les étoiles circumpolaires. Or l'eipérience
prouve que toutes les valeurs trouvées sont dîlTérenles les unes des
autres : c'est un effet des réfractions' diverses. Les distances zéni-
thales vraies sont donc, pour une étoile, à ses deux culminalions,
z + àz, z' + ^'z; la demi-somme est ^ (î-^;')-|- '- {Az + Ù,'z). qui
représente la distance zénithale du pôle. Mais on peut trouver cette
distance en remarquant que, plus les étoiles se rapprochent du pôle,
plus les différences de cuimination , et par suite celles de réfraction ,
diminuent; pour l'étoile polaire, par exemple, elles sont presque
nulles: on peut donc avoir ainsi la vraie distance zénithale du pôle.
On observe alors la demi-somme des réfractions pour des points

MÉTÉOROLOGIE OPTIQUE. 719

également éloignés du pôle et on les compare avec les hauteui*s
théoriques, ce qui permet de déterminer les constantes entrant
dans la formule. Nous allons voir qu'il n y en a en réalité qu'une
seule, qui porte le nom particulier de constante de la réfraction.

il 3. Équatloii de la trajectoire du rayon lumineux. —

Cherchons d'abord l'équation de la trajectoire du rayon lumineux
qui traverse l'atmosphère. Soit I (fig. 960) un point quelconque
de cette courbe : supposons la terre exactement sphérique et
joignons son centre 0 au point I; posons 01 = R, NOI=V. Consi-
dérons un point F très-voisin du point I et décrivons du point 0
comme centre, avec 10 pour rayon, une circonférence qui coupe OF
en P. Nous aurons IP=— lUV, et, d'autre part, dans le triangle
IPr, IP = rP tang r. Or rP = - JR; donc IP = -(/R tang F. Mais
l'angle en F est formé par la direction du rayon lumineux avec
la normale à la surface limite d'une couche de densité uniforme;
cet angle peut être considéré comme égal à l'angle en I ou t;
donc IP = -rfRtangt= -RrfV, d'où

tang* = R;^^.

On ne peut admettre l'égalité des angles en I et en F qu'autant
que ces deux points sont infiniment voisins; mais supposons que
l'atmosphère soit composée de couches d'inégales densités et d'é-
paisseurs finies, alors la ligne IF sera une ligne droite dont la di-
mension no sera plus infiniment petite, et il faudra tenir compte
des quantités que nous avons négligées.

Soient UL^ et a les inverses de la vitesse de la lumière dans
la n*^* et la (n+ t)**"' couche, il est facile d'établir la relation à la-
quelle l'angle t doit satisfaire. On a sint,//. = sinr.fA , relation
dans laquelle r, = FIO; d'autre part, le triangle IFO donne

sinr, ^ sint,^,
R-4.1 *^"

On déduit de là la valeur de sin r.; on aura, en la substituant dans

Verdit, IV. — Conféreiirps de physique. ^6

7i() i.in.ioss si:r i;npTiguK.

r(-i|iiatiniJ |)r(.'fi'ili>iil<>,

M.H„^„ = - jç ^

ou

lt,,fj, sin(,,^= H n^ siiii

Si celle rolntiftii psI vraie en {lassaiit de la h'™* à la [ii 4
elle a lioi) eiilro deiiv cotirlips i|uelc(iiii|iieN; donc le
distance de la surface d'une couche au rentre de la l
verse de la vitesse de la lumière dam celte couche el
de l'angle d'inridencc est conslani; on a donc Rftsini
l'indice de réfraclion de la couche par rapport ou vi
minalion df a ne pr<^'senle aucune dilEculfat; en effet
( = :: R est le rayon a de la terre; [i est une donnée
robscrvalioii : nous la désignerons par fi„: elle dépend do la pres-
sion el de la lei)i|)éralui'o. el elle est connue par les expërieacps de
Biot et d'Ai-dgo. On a donc ff;i„sin:»-a; d'ailleurs, de RfAsinî'<^a

on lire tanfit == ,;?; -v=^;' el. ("n remplaçant a »ar sa valeur, on a

rtu. siii:
lani! I ; , -:

donc IVipialioii de la Irajecloiie csl

'V"'

Si l'on siivail coninient t* dépend rie R. eu evprlnianl ^ en fonc-
tion de R. ou |>ourrait intégrer: mais cette intégration ofTre peu
d'intérêt, puisque la (pianlité (pi'il fi'a|{il de déterminer est l« diffé-
rence Z — r.

& 1 A . Hecherclte de la ««leur dv la réfraction. — Pour la

trouver, prolongeons la Iiingenteau point I (fig. a 6 i) jusqu'au point
Q. oîi elle rencontre la normale en M: l'anfjle IQN^Ç est relut
qu'il s'agit de déterminer: or, dans le triangle \()0. nn a C= V + i',

METKOKOLOdlK OI>TK'l K. "21

(l'oi'i l'on di'iluil dZ = -(l\ + (li. Il s'îipit i\o livniior \mv ux pression
di,' dl^, car la sommo des diffi'ivii-
tielius d^ est |irécis(;[iii>iit égale
à 'A — z dont nous cherchons la
vuleur. A ret nlTct, revenons A
ré(|uation Rf/sini = a. Différon-
liuns cei(c écjualion et divisons
(ont par R^sint, nous aurons

M fi ''"tongi"" "•
d'nuire |>art, nous avons
H;^j^^tDng.:
iloiif-

<l'0ll l'.UI lil'l>

f "
et, cil i'i-iii|ilii[-,'iiil (/\ I //; I ;ir r.'ll.' valeur.

,/ï^ -h,,,;/'''

OU encore

r/Ç.

Si l'on connaissait fx en fonction do K, t/ft seniit connu on fonction
di' dH et Ijin pourrait ralcuh'r l'inléyrale | rfÇ. ipii est la correction
clierchée Z- r.

("est ici que la solution du prohlt'-me commence ù devenir hypo-

lli<'-li(|ue. Ij' rapport „ est assez peu différent de l'unité: on peut

/i2 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

le désigner par i — s, s étant petit et positif. Il vient alors

Nous pouvons écrire le dénominateur de la manière suivante :

i^i^oV/— — sin2z + (2» — #^)sin*z,

et, en ne considérant que la partie qui est sous le radical « on peat
lui ajouter cos^c+ sin'^z — i ; elle deviendra alors

et Ton aura

(i —s) sin 2 dfx

<fK =

fi 1 /ros^ : — f 1 — — j j + (2.V — .ç*) sin* z

Pour établir une relation entre fx et R, il est commode de passer
par l'intermédiaire de la densité; or, on sait par l'hypothèse de
Newton et les expériences de Biot et Arago qu'on a |u*— i=cp,
p étant la densité; donc

par suite.

udfÀ = - dpj --'=—, — - — T'

Comme on le voit, on n'introduit encore jusqu'ici rien d'hypo-
thétique, et l'on aura

— (i —s) sin : ^-

rfç= ' ^'p

i /cos* : — ( 1 — ) + ( 'i-v— -^M sin* :

V \ i-»-''pJ

— (i — .ïjsin * -"^ -

1 -hCÛ
2 '-

n-^p»

\J'^^''-{''^Jf)+^^'--'')^^^''-

xMÉTÉOROLOOIE OPTIQUE. 723

Posons, pour abréger,

il vient alors

I

dK

— ai (\ — s) sin z -*^

Po

i-aa, (» — -) i /cos*z — 2a, f i — ^j .|.(25_5«)sin*^

dl5. Restriction du problème au eas de hauteurs
au-dessus de l'horison supérieures à iO degrés* — Ici

commence l'hypothèse que Ton introduit pour établir une relation
entre p et s. Nous nous bornerons à considérer des hauteurs au«
dessus de Fhorizon supérieures à lo degrés; on peut, dans ce cas,
opérer d'une manière très-simple; la question serait plus complexe
pour des hauteurs plus petites.

La relation théorique qui lie la densité de l'air à la hauteur
n'est pas connue, mais, quelle que soit celle que l'on en déduirait
entre « et p, on pourrait toujours la développer en série; i —s peut
donc se développer suivant les puissances de la densité en série
convergente. Si la série était assez convergente pour qu'on pût se
borner au premier terme , i — « pourrait se représenter par un poly-
nôme algébri([ue. Ces considérations conduisent à poser hypothéti-
quement l'équation

.-.,=^-[. -.«.(. -£)]■",

ce qui revient à poser

Cette hypothèse ne représente pas rigoureusement la constitution
de l'atmosphère, mais on peut en faire usage si elle reproduit ap-
proximativement les nombres que l'on déduit de l'observation des
phénomènes. On aura donc

--«.sinz[.-..,(.-e)]™^

d^=

1 — aa, M— £j i /cos'r — aa, (i — ^) +(a5— ^'isin^r

724 LKflONS SUI\ LOPTIQUE.

KxHiiiinoiis il |)ar( la ({iiantih' sons Ir radical, nous avons

•>.V s" -.<(•> A)

•»a, ( I

I •»«, i^i

1 îai i

- ?:)]

p,7 ,

On aura cinni* sons Ir racliral

ro\- :

'»a, ^

P

P-

•»

'>ï, \ I

-j-sin- :

[,-■„,(, -ni-" ,iu=.

P»

(

I

•.a.f. P

n' pj

et, rn su|)prinianl 1rs fadcnrs connnuns au numérateur el au déiio-
niinatrnr.

rfp

'/,'

' ' '^ p../ I P..

\

. I —

I - -îa. I

-::)]'

•JJM - I • ^

MU" :

On |)eut maintenant inté{;rer farilemenl cette éi|ualion; en effet.
bi Ton pose

•J»M - 1

IV

I •>«, l 1

(J J

•»

sin : ,

j'cquation précédente devient

KdiV

\ I — »r

Pour déterniiner la constanlr k, on a

tliv

[

sMi : I -îa,

(■ :)

•J«* :j

•j " •!/;/— I -ja,

rroù il résulte ([ue

'K

Iw

MÉTÉOROLOGIE OPTIQUE. 725

L'intégrale de cette^ expression est

^=^— - arcsin «r + c.
^ un— I

La \aleur de la conslanle c b'obhent par rintégralion enlfe le?
limites p=--- o et p^ p„.
On a, pour p - o.

2»«- I

»r ( I — jfl, ) " sin :,

d, pour p-^c.,.,

w = sin :.

(iomnie la différentielle (tZ est toujours négative, nous prendrons
en sens inverse la différence des deux valeurs de l'intégrale pour avoir
une expression positive, et nous aurons finalement

|</Ç- Z- :--A: -^^^y^l? -arcsin [^^^ •?«,) ' sinrjj-

416. Formule de ttimpiioii. — On peut donner une autre
forme à cette expression, car on a successivement

arcsin f 1 - !>a,J ' sine --=: -- (-îiw — j ) A: f i - -«a,) " sinr

-sin z — {*\m i ) A: •

En ne tenant pas compte de l'origine, on pourra écrire

M sin :■ = sin (z — \Az).

Cette formule, donnée par Simpson, peut servir d'une manière
suiiisamment exacte jusqu'à 8o degrés, c'est-à-dire tant qu'on est
au delà de i q degrés au-dessus de l'horizon. Introduisons la réfrac-
lion horizontale h; pour cela faisons 2=90 degrés. Nous aurons

M = cos N/i ,
donc

cos iN7î sin : -^ sin- (z — i\ At).

7-26 LEÇOÎNS SUR L'OPTIQUE.

Comme on ne peut obtenir directemimt la réfraction horizontale A.
celle dernière formule renferme en réalité deux constantes à dëter-

mmer.

âl7. Formule de Bradley. — Brndley a aussi donné une
formule qui peut se déduire de celle (pie nous venons d'indiquer,

M sin z = sin (z — NA:).
Ajoutons et retranchons sin:; départ et d'autre, nous aurons

(i +M)sin:= a sin (z Az) cos- Ac,

( i - - M ) sin z=*2 cos (- — - A: j sin - Az ,

et, en divisant ces deux équations membre à membre.

En introduisant des constantes qui n'ont aucun rapport avec M
et N, on peut donner à cette formule la forme suivante :

tang aAz = (3 tang (2; — a A:).

Telle est la formule do Bradloy; si a Ai est très-petit, on peut
poser aA2 = jS tang (c — a A:) et obtenir la valeur de A: par approxi-
mations successives. On néglige d'abord aAz par rapport à z dans le
second membre: on a ainsi une première valeur de Az,

A: = ^tangc;

on substitue cette valeur approchée dans le second membre, [>our
en avoir une plus exacte. Cette formule ne peut servir que jusqu'à
l'incidence de 60 degrés environ; mais, comme les distances zéni-
thales comprises dans ces limites sont celhîs que l'on observe le plus
fréquemment, on fait souvent usage de cette formule.

h\S. Formule de Ii»pliiee« — Passons maintenant aux for-

N

MÉTÉOROLOGIE OPTIQUE. 727

mules de Laplace et Bessel. Nous avons trouvé (Â14) l'équation

r/Ç =

— a, 1 — .Osin 2 -i-

1 — 2a, [ I — — ) i /cos*r — aa, {» — -) -»-(a5— **)5in*z
dans laquelle nous avons posé

2a,-- — - — et \—s=n

i-+-<^po

H

Nous allons exprimer toutes ces quantités au moyen d'une des
variables; or les variables sont de deux sortes. Si l'on avait la rela-
tion entre p et la distance R au centre de la terre, on pourrait ré-
soudre le problème en intégr^int soit d'une manière finie, soit par
un développement en série. On ne connaît pas cette relation; mais
supposons que la température soit invariable, la relation entre p
et s est alors facile à établir.

Considérons une colonne d'air cylindrique et verticale, ayant
)our base l'unité de surface. L'air de cette colonne sera en équi-
ibre dans les mêmes conditions qu'une masse fluide, lorsqu'une
tranche quelconque sera en équilibre sous l'action -des forces qui
sollicitent ses deux faces. Or une tranche supporte de bas en haut la
pression atmosphérique —p, de haut en bas la pression p+dp (i^
étant négatif). Soient p la densité de la tranche, g-^ l'intensité de la
pesanteur à la surface de la terre, R la distance de la base inférieure
de la tranche considérée au centre de la terre, on a une troisième
force agissant de haut en bas sur la base inférieure : c'est le poids

de la couche d'air d'épaisseur rfR, lequel est égal à g^^ j^p^R. Dans

le cas de ré([uilibre, on aura donc

~-p+p + dp+go\^ipdR=o.
d'où

Or on a, d'après la loi de Mariotte,

728 LEÇO.VS Slilï r.OmQlE.

d'où l'on dfidnil

En substituant, on Irouvi

,/p
P

-'■S.

Î:''k^

pur coiiséqueiil, t-

Il illlé};i'iilll

i,p

<

i+u..

p

Si Ton

lall H -

■tl. 011

obtif

•m

P.

-Ct

'ai-

d'oii

-«./.p.

(J-

■p.'

p- .

et enfin

P-

-p.'

^(n-

ï.li.p''«- "«''li

p -C. P-'n.

Posuns ^„ '^ll^J' f '-'tail 1*"'' *.')n(ié(|uent la liauteur d'uue col
alniospliériqup l'M'rçaiit I» piv.ssion p^: la frirmule se simplifie
p| l'on a

p-p.' "'.

(iette forniulv est inevactc. car lit lenipéintui-u n'est pas la u
à toute hnutenr. Laplace el surlout Biol nul cherché des rela
entre la trnipéi'atiire et la hauteur: ils ont utilisé pour cela lei
servalions faites par Gay-Lussac dan^ son ascension aéroslatîqi
par de Hnmboldl dans ses voyages »ur di- hautes montagnes;
ii n'y a pas (-rand avantage à eniploypi- les Torinules parabuli

y^

MÉTEOROLOCilE OPTIQUE. 729

qu'on déduil de ces observations, et on est toujours conduit, en
définitive, à des inodiiications de constantes.

f{\{), Vormule de BeMiel. — Il est plus simple d'opérer
comme Ta fait Bessel , et de déterminer les constantes qui compcn-
s*»nl les erreurs provenant de la théorie. Posons en conséquence

[| (Ml

dp r "^^ I . 9 " ^'^

p.. p..

>— •

En faisant ces substitutions dans la formule, il vient

-/S.V

ly *i { » — * ' jS*' si n : ds

rtw - — ' " :_ :. — '— — ^ "'iz^

I — e j V cos- : — u a, V I — *' / -h ('«« — s^ ] si n- :

Le facteur e^- aa, f » — — j est toujours assez petit, car i — ^ est

\ p© / p©

toujours moindre que l'unité: il varie de i à i — *mj; or, on peut
toujours remplacer dans !me intégration un facteur (|ui varie peu
par la moyenne de ses valeurs extrêmes, (/expression différentielle
cessera d'être exacte, mais cela ne fait rien pour l'inté^jration.

Comme on ne peut intégrer J^ sous forme finie, nous allons
développer en série; nous ordonnerons le radical suivant les puis-
sances de «, qui (îst une quantité très-pctit<» puisque jt diffère peu
de l'unité et que l'on a ît = i /»; et, si nous remarquons que .^ sin^-^c

peut être considéré comme très-petit \mr ra|)port aux autres termes,
nous auroi^

icf _ a,j8c sin :ds

(i — e) Lcos'x — 2a,\i— c /-h^ssïn^zy

a^pe iiinzsds a,pc sin*:jf*(/.v

_l 1 ,

■ -e) I f (•

730 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

Réduisons les deux derniers termes au même dénominateur et
nous aurons dans le développement pour second terme

a-i^' ' ^ r « ( -^') • * 1

(i— e) L^^os*-: — 2a, Vi-fî J -\- 2s sïn* z y

Ce second terme contient la première» et la deuxième puissance
de s au numérateur: on peut le négliger; en effet, pour c = qo.
ce qui lui donne la plus grande valeur possible, il devient

-/S. r ( -/SA]

(i-e) [2s-2a^ \i-e jy

8 étant très-j)etit, (i — e"""^ j développé en série se réduira sensi-
blement à son premier terme -—(Ss, et du reste il est dans tous les
cas plus petit cpie (3s. L'expression devient donc

a,/5<^ sds\s—'2a^fis) _ a^l3\/se ds\l—2a^|3r

r.

Si l'on intègre entre zéro et Tinfini, on aura un terme beaucoup
lus grand que celui que Ton cherche. La constante a^ est connue;
a constante j8 est également connue, c'est-à-dire qu'en supposant
les réfractions représentées par le premier terme de la formule on

détermine la constante j3; on trouve alors — pour l'intégration entre

0 et oo. (le terme étant tout à fait négligeable, nous nous borne-
rons au premier terme de la valeur de rfÇ qu'il faut intégrer entre
8=0 et la valeur de s cpii correspond aux dernières linvtes de l'at-
mosphère. Mais il est beaucoup plus commode d'intégrer depuis
8 = 0 jusqu'à .î=œ, seulement il faudra retrancher de l'intégrale
ainsi obtenue la valeur de l'intégrale prise entre la valeur de s qui
correspond à la limite supérieure de l'atmosphère et l'infini. Cette
correction pourra s'effectuer par la détermination de la constante j8,
sur laquelle portent toutes les erreurs.

MÉTÉOROLOGIE OPTiQLE. 7;M

Pour simplifier le dénominateur, posons 8=8 r^- :

la (juantité sous le radical devient alors cos^z+a^'sin^z; le numé-
rateur peut s'écrire —a^sinzde^^^ ^ et on peut développer «""'
suivant les puissances de 8, et par suite suivant celles de s'. En
substituant dans la valeur de ^, on arrive à lu formule suivante:

(i —e) (cos*z-h2ssin*zj

X I e +-r I ^« — ^

sinr \
i.2.sm*:* '

Il faut maintenant intégrer chacune de ces expressions entre les
limites de 8\ o etoo; il est facile de voir que toutes ces intégrales

e it. En* effet, les intégrales sont de la forme

se
suivante :

/

oo ,, .. -"iS.

J.'sin : e

" (cos*:-i-25'sin':y

que Ton peut représenter généralement par i/*?/3 — p-» >f'(w) étant

une fonction inconnue. On pourra exprimer la valeur totale de la
réfraction au moyen de 4'( m), car on a

c'est ainsi que Ton a construit des tables pour la réfraction.

On met pour jS la valeur convenable; en considérant les étoiles

liH LKÇONS SIJIl i;OPÏIOI K.

<*iironi|)olairos, on ohtiont In voloiir de ^ qui correspond à un étnt

atmosphérique donné. BevSsel a posé iS = ^ri «• / et j8 dépendant

de l'élat des couches atmosphériques dans les parties inférieures de
Tatraosphère. Ceci est encore tout à fait empirique; mais par cer-
taines hypothèses sur j8 on parvient à représenter assez bien l'en-
semble des observations.

9." RKFRACTIONS \TM0SPI1KRIQI:ES.

ÂâO. Phénomène 4u mlraffe. — Théorie 4e Moni^^. —

Lorsque le point d'où émanent les rayons lumineux est situé dans
l'atmosphère elle-même et que les couches qui composent celle
atmosphère présentent une loi de distribution différente de la loi
ordinaire, on observe un phénomène coniui sous le nom de mirnno
et dont nous allons donner Texplication.

\ous supposerons l'atmosphère composée découches dont la den-
sité croît ou décroît à mesure qu'on s'élève, mais reste la nièuif'
pour un<» étendue considérable d'un même plan liorixontal: cotl<*
hypothèse suffit pour les couches peu éloi}{nées du sol. Cette dispo-
sition par couches horizontales d'une densité uniforme donne lieu l\
une particularité remarquable quand se présente en un certain point
une variation de température dans toute l'étendue du plan hori-
zontal ([ui pass<» |)ar ce point. C'est cette particularité que nous
allons étudier.

Prenons pour axe des .r Thorizontale menée dans le plan de la
courbe suivie par Ja lumière et passant par le point te plus bas de
cette courbe, et pour axe des : une lifjne verticale; désignons par i
l'angle de la tangente en un point quelconque avec Taxe des.r : nous

aurons lang/= r • Substituons à / sa valeur en fonction de l'indice

de réfraction. Pour cela, désignons par ^, {x\ (jl\. . . les indices de
réfraction des diverses couches consécutives par rapport au vide,
et par i . /', /'. . . . les angles des éléments de la trajectoire compris
dans ces couches avec les normales aux points où ces éléments
rencontrent les surfaces de séparation des couches; on a

SU)/ suw ,

u

k

MKTKOKOIJXÎIK OPT[OLK. 7;J3

J'oii 1*011 (l<Mliii(

fxsini =-=|ùt suit =fx sini

relation qui exprima que, pour toutes los couches d'épaisseur finie,
fxsint est constant. II est évident <pie la ni^me relation subsiste lors
même que la deiuMté du milieu ou Tindice de réfraction varierait
d'une manière continue : on a donc d*une manière gifoënilp fxsint =C
et, si yi^ et 4 Mnt les valeurs de ^ et de t k lorigtiie, relation pré-
cédente devient

fisinr«^8int.;

or, si les coodies succesiiives ont des densités qui «varient, infiniment
peu lorsqu^on passe de Tune belles à la couche voisine, tes éléments
consécutifs de la trajectoire sont très-petîls, Tangle / que fait un des
éléments avec la normale h la couche devient l'angle de la tangente
à la trajectoire avec c<»tte normale qui est Taxe des c, et Ton a

tnngt^-j:; en combinant cette équation avec la première, on aura

ré(|uation de la trajecioîri».
On tire de la première

d'oii

et par suite

«^mi —=!=:: , ro«i= ■ ■

ii»sini, ér

Telle est ré(|uation différentielle de la Irajecloin» : il ne reste plu**
qu'à intégrer: mais l'intégration est inutile pour le but que nous
nous proposons.

Dans le cas des réfractions astronomiques, [i est une fonction
de z qui décroît à mesure que z augmente; dans des circonstances
particulières il pourra se faire que, pour certaines valeurs de z.
jEx décroisse en même temps que zx le phénomène du mirage aura
lieu si la trajectoire du rayon de lumière a une tangente horizontale:
dans ce cas, le rayon, après s'être rapproché de l'horizon suivant SI
(fig. *î()9) par exomple, |K)urra se reWer suivant 10 et montrer à

73a LE(;ONS SUR LOPTIQUE.

l'obseiviilpur. dans une direction OS', l'image S' d'un objet S placé

à une L-crtainc hauteur au-<le!<sus de cette surface.

Concevons que la dciiijilé de l'air aille en croissant à mesure qu'on
se rapproclic du sol et jus<|u'à unctrès-petîte distance de l'horizon:

la trajectoire d'un rayon lumineux arrivant de S (Cig. 963) jusqa*i
cette distance sera une courbe concave vers l'horizon, et si, » |>artir

- rig. .63.

de la hauteur dont it s'iifjit jusqu'au sol , la densité de l'ulr va en dé-
croissant, il arrivera, pour un grand nombre de rayons, que la
courbe restera toujoui's concave: mais pour d'autres plus inclines il
pourra se faire (|ue le sens de la courbure clianf'c: il y aura alom
un point d'inl1e\ion et. dans ce cas, si le rayon n'est pas arrêté à la
surface de la terre et si la couche limite est sullisamment élevée, la
trajectoire se relèvera vers l'œil 0 d'un observateur et lui dnnneiv
une image S' de l'objet: mais une seconde image S* sera visible:
c'est celle que produisent les rayons envoyés directement par l'obiet
a l'observateur et qui lui sont parvenus sans avoir traversé les couches
d'air inférieures. Ainsi l'observateur croira voir les objets tels que S

MÉTÉOllOLOr.lE OPTIQI È. 73o

et leur image S' renversée et telle que la produirait un miroir; si
parmi ces objets se trouve l'atmosphère bleue, il apercevra vers le
bas l'image bleue du ciel, ce qui complétera l'illusion et fera croire
à la présence d'une nappe réfléchissanle.

A21. Cendittoiis ûwt iihéneniéne. — Pour que ces phéno-
mènes se manifestent, il faut que la trajectoire lumineuse ait um*

tangente horizontale, c'est-à-dire que Ton «it^=o: l'équation
différentielle de la courbe devient alors

fi^- fx^sm^>„;

or, comme sini^ est toujours plus petit que l'unité, > est toujours
plus petit que (â^; il faut donc que la densité de l'air oii se trouve
la portion de la courbe à tangente horizontale soit inférieure à la
densité de l'air à une certaine hauteur. L'air doit donc être plus
échauffé nu contact du sol; cette condition se trouve remplie toutes
les fois qu'une plaine a reçu la chaleur des rayons solaires et que
les couches d'air en contact avec le sol ont pris une disposition dif-
férente de l'état d'équilibre ordinaire.

Ce phénomène se présente assez rarement dans les climats du
nord , car le sol n'est pas fréquemment dépourvu de végétation sur
une grande étendue. Cependant on l'observe sur les grandes routes
qui présentent un développement assez considérable dans le sens
rectiligne, dans les Landes et les plaines sableuses de la Provence,
enfin en Kgypte , où on l'étudia pour la première fois.

i!22. rnirafe latéral et mirage supérieur. — Puisqu'une
simple distribution inverse de couches d'inégale densité suivant la
verticale donne lieu au mirage, on doit l'observer dans des circons-
tances diverses : ainsi, il y a quelques années, on pouvait voir des
effets de mirage latéral sur un mur du jardin du Louvre détruit ac-
tuellement. Des phénomènes de ce genre ont été fréquemment ob-
servés sur les côtes de Normandie et de Picardie , car souvent la mer
est plus chaude que la terre, et, si l'on regarde un objet, on en voit
l'image latérale. Sur les cAtes sablonneuses de Dunkerque, Biot et

Veabst, IV. — Confi ronces de ptiysique. k'j

"N

736 LE(;0.\S SLR L'OPTIQIK.

iM. Mathieu oiU eu plusieurs fois l'ocrasion de Tobserver lors «le
leurs opérations pour la mesure de la méridienne.

Il arrive même quelquefois une chose assez curieuse : à mesure
que Ton abaisse le point lumineux vers la couche avant le minimuin
de densité, l'objet finit par ne plus être aperçu. Il résulte aussi de
là qu'une personne peut être vue seulement en partie, car il pourra
se faire que, parmi les rayons qui partent de certains poinis de
l'objet, les uns, qui se redressent, passent au-dessus de l'œil, les
autres, qui s'infléchissent vers l'horizon, passent en dessous.

Dans les mers polaires, il arrive souvent que l'on observe une
image supérieure et renversée des objets; le mirage est alors supé-
rieur. L'air étant extrêmement froid à la surface du sol , le décrois-
sement de densité dans le sens vertical y est beaucoup plus rapide
.que dans nos climats; on conçoit donc que le mirage supérieur s'y
produise fréquemment. Du reste, on peut dire que le mirage supé-
rieur existe toujours, car, d'après ce ([uc nous venons de voir, le mirage
se manifeste quand les rayons lumineux traversent sous de grandes
incidences des couches de densités décroissantes: or, dans l'air sup-
posé calme et dans les états ordinaires du sol, la densité des couches
diminue à mesure que Ton s'élève: il doit donc se produire un mi-
rage supérieur; mais, dans les climats tempérés, la loi de décroisse-
ment est lente, les rayons partis d'un objet sont réfléchis de manière
à ne pouvoir aller de nouveau rencontrer la surface delà terre qu'à
une très-grande distance. On peut, grâce à ce phénomène, voir
quelquefois des objets situés au delà de fhorizon, mais c'est extrê-
mement rare. Dans les cas ordinaires, cette sorte de mirage échappe
à l'observation pour les objets voisins, parce (|ue les rayons vont ren-
contrer la surface de la terre trop loin, et pour les objets éloignés
parce que la lumière esttro|» atriiiblio par son long |)arcoui*s.

/i!23. Objectlenii feite» à la tiaéorle 4e M^wkgm. — La théorie
(|ue nous venons d'exposer n'est (|ue le développement de Texplica-
tion suivante donnée» [)ar Monge : lorsque le sol est très-échauffé ,
l'atmosphère se dispose* inx couches dont la densité va en décrois-
sant: outre les rayons qui arrivent directement à l'œil, il en arrive
d'autres qui sont déviés et réfléchis totalement.

. •

MKTÉOROL()(;iK OPTIQIÎK. 7;^

On a fait » cette explication diverses objections; ainsi on a dit
qu'il n*y «ivait pas réflexion, car, pour qu'il y ait réflexion, il faut que
le rayon incident fasse un angle avec la surface; or il finira par élre
langent à une couche d'air, il ne pourra donc pas se réfléchir.

En réalité ce n'est pas là une objection ; il est vrai que le rayon
une fois horizontal ne peut plus se réfléchir; mais, si l'on démonti*e
par les lois générales qu'il doit se relever, c'est comme si Ton dé-
montrait qu il se réfléchit : c'est donc une difliculté de mots qu'il
faut faire disparaître complètement par la théorie.

Nous avons trouvé f4us haut réqnatioo delà trajectoire du rayon
lumineux, mais on a objecté à ee calcul que la formule

fisiiiff = /ii^8ioto9

qui sert de point de départ, n'a de seos qu'autant qu'il y a réfrac-
tion, et que par coasëquent eUe ue convient que jusqu'au point où
le rayon est devenu horizontal. Au delà cW un résultat analytique
dont la signification physique aeêt pas du tout déoiontrée. C'est là
que se trouve la ilîfteuiié : on y a répondu de deux manières. Dans
la théorie de l'émission, on a dit que le rayon lumineux produisant
le phénomène rencontrait dans les couches atmosphériques une
puissance réfringente successivement décroissante, se trouvait attiré
sans cesse par les couches supérieures et plié vers elles, et, si l'incli-
naison est convenable, cette attraction pouvait aller jusqu'à le
courber et l'obliger à revenir vers le haut de manière à traverser de
nouveau les mêmes couches en sens contraire et à remonter \ ers le
point où arrive le rayon direct.

h^à. Théorie de Bmvais* — La théorie des ondulations a
conduit Bravais au même résultat. Considérons une série de couches
parallèles entre elles, de densité variant d'une manière continue, (le
que nous avons appelé trajectoire du rayon lumineux est une courbe
normale aux surfaces des ondes, c'est-à-dire aux lieux des points
animés à chaque instant d'un mouvement concordant. Le problème
à résoudre est donc celui-ci : étant donnée à un instant quelconque
la forme de la surface de l'onde, chercher comment elle est altérée.

Comme tout est symétrique autour de la verticale, toutes les sur-

'•7.

IS» t.E(;ONS SUK i.OI'TllJ[îl-:.

faces dp l'onde .sont de révolution autour de cette droite; il suffit

donc de savoir ce qui se passe dans wn ))lan méridien.

Considf^rons donc, dans le |ilan méridien, an rayon de lumiérp
SI ((ip, -iB/i) qui rencontre en I la ronche II', menons la normale
IP à rc rayon: soient SI' un antre rayon incident «^mnnant de la
m^mc source cl l'I* sa normale. Le rayon SI se réfracte (générale-
ment et les deux rayons sont tels qu'ils arrivent en même tcin|is,
l'un en 1'. et l'autre en 1"; la droite \T sera donc, d'aprfts la pr«t-

prictr de lu trajectoire, la nouvelle normale au rayon réfracté, el
ir nn élément infiniment petit de la Irajecloire du rayon; le lemus
employé à le parcourir est fith, en désignant par (i l'inverse de la \i-
tesse de la lumière dans la couclic d'air et par ttn l'élément II'. Lp
rayon SK , qui arrive en K en ni^nic temps (jue SI arrive en I, par-
court l'arc Kr=^//jt' de sa tnijertoire avec tine vitesse dont l'inverse
est [i; il emploie <l«nc le temps fiih' qrii est égal à /a A.

Il s'njjit de dél((i'niiner ft' et fis'-, or on a d'abord jM' = f/ + ((a;
puis les deux arcs th et tin' appartiennent à deux trajectoires infini-
ment voisines qu'on peul regarder comme ayant même normale et
mfime ccntR> de courbure 1*. de sorte que, p étant le ravon de cour-
bure de II" et p celui de Kl', on a

du p'

Or "Il a p- p rr. <'t, dans le triangle U'I', M'^rfutangl'H':
mais l'angle l''ir es! formé par le rayon incident avec |« surface

MÉTÉOROLOGIE OPTIQUE. 739

d'incidence, donc il est égal au compit^nicnt de i dunt la (an^^ente est
n^; donc on a Vl" ^^(is-j--^ et la proportion précédente devient

ils' " il: , '
0 — r as

d'où

ffit' ils ( ! }~ flx] '

\ p <u* '

En substituant s fx eA h ds' leurs valeurs, on trouve

' ^ il: p r/.i-

Le terme du dëveloppeuient qui viendrait ensuite serait du
troisième ordre; nous ne l'écrirons pas.

L'é(|uation ^lU = uih devient donc, en supprimant^ les termes
comnmns.

a: p (tv

c'est une équation différentielle du second ordre que nous pouvons
encore transformer. En effet, on en tire

i dpi 1 ds ^
fi (l: p r/.i" '

or on n

d*:

i —

ds I (/: ' \ * I r/.ï *

(h ' V '^ d.r' ) ' p ", ^

[' ^ J.I-

s

t \

et en substituant ces valeurs il vient

(t": d: , <l:

I (lu dj- du d.i d.t

fi d: . d:^ (à . dz^

d.i- d.L*

Le numérateur de la fraction du second membre est la moitié de
la différentielle du dénominateur; on a donc, en intégrant.

dy-

'•^^^'•(•-^sp) '^'-^^

7/iO LE(;o\S SLK L'OPTIQUE,

d'où l'on lire

Telle es! riiitégrale ])n»inière de l'é(|uatioii du second ordre, et
par suite IVquation différenlielle du premier ordre de la trajecloire.
La valeur de la constante (i n'est autre chose que /lAsiiii; aiusi la
théorie générale nous conduit à la même équation que le raisonne-
ment que nous avons lait précédf'mment ; nous en conclurons que
le raisonnement était exact.

3** RKKRACTIO> À LA SLRFACe DES PLA^ÈTKS.

Mo. Équations différentielles de la tn^eetoire d^n
rajon lumlneuiL. — Nous n'avons considéré dans ce qui prccMe
(pie rinllucnce de l'atmosphère terrestre sur la marche des rayons
lumineux. M. Kummer ^*^ a obtenu des résultats très-intéressants en
étudiant ce qui se passerait à la surface d'autres planètes.

(Considérons un milieu où l'indice de réfraction n est une fonction
continue des coordonnées .r, y. :; soity(x,y, r)=H cette fonction:
pour avoir les équations différentielles de la trajecloire d'un rayon
lumineux, il faut exprimer (pie le rayon lumineux se rend d'un
point à un autre dans le temps le plus court, c'est-à-dire que l'in-
tégrale itidit est minima.
«.^

Or on a

L'iiih'jjrale à rendre iniiiiina esl doue

Applicpions les principes du calcul des variations, nous aurons Ie5
équations

^' MoHfttHherivhle thr ikadrmù' :n bfilin^ iSCio, j). /loT). Verdct «i iloiim* iiik* aiiatis?
'lu iiiéiiioiiv (if? M. kiiiniiicr dans k>s inn. ffr vhim. et df ffhyk.^ (3), Ll, ài)!» [i86i|.

MÉTÉOROLOGIE OPTIQUE. 7ai

ou

et de mc^iiK'

du (I f lut \ _

dn d I iiy'

r/^ rf / nz' \

En remplaruiil dans ces trois (3(|uations vy"^+y'^+-' ^' p^r sa
valeur rf», on a |)our équations différentielles de la trajectoire d'un
rayon lumineux, dans un milieu ({ueiconque dont // est l'indice de

réfraction,

, d.i

, (tji -,-

(In as

d.r " ds

. r/v
, d.n ~
du ff,v

^v r/.v

■

d.„ -

dn ' ds
d: ds

et on prou\e aisément (|uc ces trois équations se réduisent réelle-
ment à deux, Tune quelconque d'entre elles étant une conséquence
des deux autres.

&!26. A|i|ilieati«ii à une atinos|iliére foraièe de eoueltee
e^neentrliiues avee la iiUméte. — Supposons ces équations ap-
|)liquées à une atmosphère planétaire disposée par couches d'égale
densité concentriques avec la planète: l'indice n sera simplement
fonction de la distance r du point ccmsidéré au centre de la planète,
et la trajectoire sera plane. Si l'on prend le plan de cette trajectoire
pour plan des x,y. la troisième équation différentielle sera satisfaite
d'elle-même, et on déduira aisément des deux premières

, d,i' , dy
tjaji -à — ,vdji -f =-= o,

lut LEÇONS SLR LOPTIQUE.

en ayant é|,'ard à la circonstance que, n étant simplement fonction

(In

(in

(\p \ x^-\-if''. IVxpression y > - .r-y , est nulle. Développant, on ob-

«

tient

/ . (I.v I (ly\ I I <l^ ''>'\

•' (Is (IsJ •' (Is tls '

^Vsl-à-din*

, / (h <Iy\ ( lit d\\ j

V' (h (hj •' (IS (IsJ

(Ir (h

ou. en posanl ,r * y . y;.

ndn • ikIh 0 .

doni rinff'jfralr osl

T I

"/'

C.

Si Ton passe des coordonnéps rertan^julaires au\ coordonnées
polaires, en faisant

cette éfjuation devient

\ dr^ k r-d^'
d'où

d(t - .-:: .

/•\ r n —{.

Soit R le rayon de la planète; posons r R + r, R^ - ii. On
pourra considérer u et r comme les coordonnées d'un point quelconque
de la trajectoire dans un système particulier, où les abscisses « seront
des arcs de grand cercle comptés à la surface de la planète* et les
ordonnées r des hauteurs verticales comptées à partir de la même
surface. L'équation différentielb» précédente deviendra

IU:(/r

du

(\\-hv)\{\\-hvyn'-C:

et si Ton place l'origine des coordonnées au point oh le rayon ren-
contre la surface de la planète, si de plus on désigne par m. et par •

MÉTÉOROLOGIE OPTIQUE. UZ

les valeurs en ce point d<» l'indice de réfraction el de Tangle de la
trajectoire avec la direction du rayon de la planète, on aura, en re-
marquant que i a pour sinus la valeur particulière de l'expression

_ ... ... »

pour // o. *• 0.

ou

o\

\ (///- 4-(/î'-

(i K//..sin/

('' U/i..snurtr

^37. Di««iiMiloii 4r réquatieii de la trajectoire. — On

admettra, pour dis<:uter cette e\pi*ession, que l'indice de réfraction,
toujours plus [jrand qur l'unité, est une fonction vontinue de la
seule hauteur v. <|ui tend vers une limite Unie lorsque v devient
intini,et dont les deux premières dérivées ne deviennent infinies
pour aucune valeur positive de v.

On supposera d'abord que pour toute valeur de r l'expression

\ (K--r)^,r K-//;;sin^'

garde une valeur positive ditt'érente de zéro. S'il en est ainsi, on
démontre aisément que l'intégrale qui donne la valeur de u, prise
entre les limites o et oo , conserve une valeur finie: en désignant
cette valeur parc, l'équation

M -r

rej)résente une asymptote dont la trajectoire lumineuse s'approche
indéfiniment à mesure qu'elle s'écarte delà planète. Réciproquement,
un point situé à une très-grande distance de la planète, sur la ver-
ticale dont Téquation est ii = c, envoie à l'origine des coordonnées

un rayon qui y parvient sous l'inclinaison /. L'excès de l'angle p
formé par les verlicale> de l'origine des coordonnées et du point

7/j/i LEÇONS SUR l/OPTKiLK.

n-^c sur l'anjjle / c^st ce (ju'ori appelle la réfraction astroMOfntque, dans
le cas restreint (|iie Ton considère ordinairement.

Supposons, au contraire, que \^ s'annule pour une ou plusieurs^
valeurs positives de t\ et soient h la plus j)etite de ces valeurs, a la
valeur d<' h correspondante, on aura

ff = I —■ •

.'o (H-hr)v\

On a d'ailleurs, en vertu du théorème de Taylor. en désignant
par V(/') la valeur de V (pil ré|)ond à une \aleur particulière I de la
variable plus petite ([U(» h,

I «Wanl compris iMitre zéro et h.

Donc, si \'[b) nVst [)as nul en in^^me temps que V(A), r*est-à-
dire si, lorstpie v passe par la valeur />, V s'annule en changeant de
signe, on poui*ra poser

V (/; r)\\.

W élanl une l'onction de /* <[ui demeure finie el dill'érenle de zéro
pour v=- b. On en conclura, ni applicpiant les règles relatives auv
intégrales définies singulières, que la valeur ci-dessus de <i est finie.
Au contraire, si \'(h) s'annule en même temps que V(6), on devra
j)oser

V\ étant une fonction de v qui ne devient pas infinie pour r:^=A,
et on en conclura que la valeur de* a est infinie.

Dans le premier cas, a étant fini, la trajectoire du rayon sVlcve
de Torigine jusqu'au point dont les coordonnées sont a ei h; comme

ensuite r ne peut dépasser la valeur b sans que V V devienne ima-
ginaire, on doit, lorsque cette \aleur est atteinte, considérer r
romme décroissant t»t allrihuer lo signe à dr. On détermine ainsi
une seconde partie de la trajectoire, exactement symétrique de la
première, qui par conséquent \a rencontrer la surface de la planète
au |M)int dont Tabseisse esl -ui. Il est évident cjue cette marche des

MÉTÉOROLOGIE OPTIQUE. 745

rayons lumineux constitue prérisénient le mirage supérieur dont il a
clé question précédemment (422).

Dans le second cas. a devenant infini lorsque v tend \ers la va-
leur Unie by la trajectoire lumineuse tourne indéfiniment autour de
la planète en s'approcbani du cercle asvmptote dont le rayon est

Il est important de considérer Tinfluence de l'incidence i Suppo-
sons que l'expression (R + tM^w' prenne sa plus petite valeur pour
v = l3^ et déterminons la valeur particulière 1 de i qui réduit V à zéro
pour «^ = j8. Cet angle étant aigu, nous aurons

il est clair que V ne pourra être nul que si / est compris entre les

limites I et -• Par conséquent, tous les rayons qui à l'origine feront

avec la normale un angle moindre que 1 s'écarteront à l'inlini de
la planète en se rapprochant d'asymptotes rectilignes. Ils offriront
donc tous les phénomènes de la réfraction astronomique plus ou
moins développés. Mais tous ceux dont l'incidence originaire sera
plus grande que I s'élèveront seulement à une hauteur b moindre
(pie jS et retourneront à la surface de la planète, a moins qu'ils ne
tournent indéfiniment autour de cette surface, en se rapprochant
d'un cercle asymptotes En particulier, les rayons pour lesquels
/ - I ont un cercle asymptote dont le rayon est R + jS, car la valeur
dt* V atteint vson minimum pour r---j8, et, comme elle est nulle si
on joint à cette hypothèse relie que /=^I. il en résulte que l'on a
simultanément V^=-=o, \' o.

/|28. Restpietloiis à Intr^ilulre dan» r»ppll<M»ttoii ans
planètes du «ystéme ••lalrc. — ConaéqueiieMi. -^ Pour ap-
pliquer ces considérations aux diverses planètes du système solaire,
on devra les supposer parfaitement sphériques et négliger la varia-
tion de la température de l'atmosphère qui dépend des coordonnées
géographiques. On pourra même, dans une première approximation,
négliger la variation (pii dépend de la hauteur, et représenter on
conséquence le ra|>port de la densité d'une couche atmosphérique

7à6 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

(le hauteur v à la densité de la couche superfirielle par l'expression
connu*'

où A dësi(|[ne |a hauteur d\iiie colonne axant partout la méiue den-
sité i\ue la couche superticielle, (|ui exerc«'rail une pression égale à
celle de Tatmosphère totale. Il suit de là <juVn appelant k In puis-
sance réfraclive de la couche superlicielh» on aura

!\c

--il

I À ■ Il - r I

II- I - h'v ' I -\- hc

en Faisant, pour ahréjjer,

\\v

/. n • ri

On conclu! de là

Il ( — î »

/d . :.'^ ( . I... ■ ^•^ o- /

\ iR-r/-y'(t ^Ir ■ ^) l^(i-rit)sin/.

> •) i ri--^c I r Ar . r .

/ V / A

\ r< -r- Âc

I -: : I

V étant toujours positil, on voit que \' est croissant et ne peut
s'annuler (|ue pour une valeur unicjue d(» v. Si V^' est négatif pour
r - o, cette valeur /S est positive, et réci[)roijueincnt. Mais si V est
positif pour «?= o, il est aussi positif pour toute valeur positive de p.
La fonctifui \ est donc constannnent croissante et ne se réduit jamais
à zéro, puis(|ue sa valeur initiale est positive. Ainsi on n'observera
que les phénomènes de la réfraction astronomi(|ue. et, à parler ri-
goureusement, aucun point de la surface ne sera visible d'un autre
point de la surface, sur tous les corps célestes pour lesquels on

aura

V*^o.

VIÉTÉOKOLOGIE OPTIQUE. IW

cest-à-dire

Tel est le cas de ia terre, pour laquelle

R-- 6366198"'. X^^797/i"'. A -=0.000689,

et par suite

Si au contraire on a

— 7: -^ •< y o 9 *i o o o

"-> k — '

ID

V sera nul pour une valeur positive j8 de t? qui se calculera numé-
riquement sans dlfTiculté. Soit I l'angle aigu qui réduit V h zéro ,
pour r-«]8, on aura

Sin i - ~~ rm-T: 1

et pour toute valeur de t comprise entre 1 et - l'équation aura deux

racines réelles et positives, puisque en supposant, dans V, r= S et

I compris entre I et -» Vest négatif. La plus petite h de ces racines

sera le maximum de hauteur où pourra s'élever un rayon dont l'in-
cidence initiale est plus (;rande que I. En appelant comme plus haut
aa la distance de l'origine au point où ce rayon vient couper une
seconde fois la surface du corps céleste, on voit facilement que 6 dé-
croît continûment de jS à zéro, et aa de l'infini îi zéro, si i croît de I

à—- Donc, en désignant par i\, i^, h-- - - la série des incidences

pour lesquelles aa a les valeurs Rtt, ^Rtf, SRtt, .. ., ces valeurs
forment une série décroissante dont le premier ternie est plus ou

moins voisin de ~ et le dernier terme est I. Il suit de là que d'un

point quelconque de la surface du corps céleste on verra cette sur-
ffice tout entière, et même qu'on en verra une infinité d'images,
constituant par leur ensemble une calotte concave, limitée par un

€*

1

7/i8 LKCjONS SLR l/OPTIODK.

ccrch» é\e\é (l(> 1 au-dessus de l'Iiorizon vrai, (luî sera Tiiorizon

appareuL La [)reniière image scTa comprise à rintérieiir liu corele

élevé de /, • la seconde formera un anneau compris entre les

cercles élevés de - — h et de - — /.,, et ainsi de suite. Il n'est iws

besoin de faire remarquer de cpielles étranges déformations ces
images seront affeclées; en particulier le point situé aux antipodes
aura pour images successives la série des cercles limites qui viennent
d'être délinis.

Si l'on suppose /conq)ris entre zéro et 1 , l'angle j^ est toujours |>a-
sitif et croissant avec/. D'ailleurs, comme, à la limite I. on a simulta-
nément \ -^ o. V -- o, on Noil, on remontant à l'expression de ^
que cet angle croft jusqu'à l'infini. Si Ton appelle /', /", T", ... les
valeurs particulières de i qui rendent tt successivement égal à w,

•>7r, Stt, . . ., ces angles formeront une série croissante ayant pour
limite I, et il est facile de voir que d'un point quelconque de la
surface de la planète on verra la sphère céleste tout entière, qu'on
en verra même une infinité d'images, limitées successivement par des

cercles élevés au-dessus de l'horizon de — T, T, Z^, • • • *

u •« rk

1. Les mêmes déformations (extraordinaires auront lieu dans

a

l'image de la surface de la planète : en particulier, les images suc-
cessives du nadir seront les cercles limites qui viennent d'être dé-
finis.

Enfin, il est à remar([uer qu'un observateur placé eu dehors de
la surface de la planète doit voir d'abord une image principale cir-
culaire de la surface totale de la planèt<\ et tout autour une infinité
d'images annulaires. Il voit même dans l'atmosphère de cette pla-
nète une infinité d'images de la sphère céleste. (]es deux conséquences
sont faciles à apercevoir en examinant avec un peu d'attention les
propriétés des trajectoires lumineuses qui viennent d'être exposées.
(Test en particulier ainsi que la pLinète sera vue par un astronome
placé sur la terre.

METKOROl.OGIE OPTIQUE. 7A9

/i^9. Cmm de la ptonéto Jupiter* — Supposons que l'at-
iiiosphère de Jupiter soit de méuie nature cjue l'atmosphère terrestre*.
Désignons par h la hauteur d'une colonne d'air, de densité égale à
la densité de l'air sur la surface de la terre, qui exercerait la même
pression (jue l'atmosphère de Jupiter: appelons Xj la valeur de X
relativement à la terre, gi et g l'intensité de la pesanteur à la sur-
face de la terre et à la surface de Jupiter, ^le rapport de la densité
de l'air à la surface de Jupiter à sa densité à la surface de la terre:
il est clair qu'on aura

Par suite, si A* et A, sont les puissances réfractives de l'air à la sur-
face de Jupiter et à la surface do la terre, on aura

/♦ - /il ^ ,
.7.^.

d'ailleurs. X se rapportant à Jupiter comme X, à la terre,

'' S 'il'

donc les réfractions extraordinaires précédemment décrites auront
lieu à la surfaco de Jupiter, si l'on a

H

nX(i +/,)

A-
c'est-à-din*

En adoptant io,86 pour le rapport des rayons de la terre et de
Jupiter, 338 pour le rapport de leurs masses, on trouve

•'- -^= .K8r>(i
.7.

et la condition ci-dessus se réduit à

A>389'".

11 suHirait donc que l'atmosphère de Jupiter eût la vingtième partie
de la' puissance de l'atmosphère terrestre.

750 LEÇONS SI K LOPTIQIK.

Si Ton admet que les masses des deux atmosphères sont dans le
même rapport que les masses des planètes respectives « h sera déter-
miné par Tf^qualion

R*^ 0 .) o ,

R et Rj étani les ravons de Jupitor el de la ferre. On trouve dans
celte hypothèse

et

â-^ I i:\i)fr\ I 8(^1 V .

ce qui donne 3''/i8' pour IVIévation de Thorizon apparent au-dessub
de l'horizon vrai.

Il est évident que les conclusions des calculs précédents ne s'ap-
pliquent en toute rigueur qu'au cas d'une atmosphère absolument
transparente. Dans la réalité, on ne verrait un peu distinctement h la
surface de Jupiter (ju'iino [lartie de la première image de la planète
et de la premièn» image du ciel. Tout au plus le soiril demeurerait-
il constamment visible. Quant aux images ultérieures, elles seraient
sans doute tellement aiFaiblics, que leur ensemble donnerait simple-
ment naissance à une bande bleue s'étendant des deux côtés de
l'horizon apparent à une distance plus ou moins grande.

V' COLORATION ET VISIBII.ITK DE L'ATMOSPHERE.

430. Couleur bleue du ciel. — L'atmosphère dans son état
normal donne lieu à des phénomènes que nous allons étudier : nous
voulons parler de sa coloration et de sa visibilité.

11 semble, à première vue, que l'atmosphère soit bleue: mais, eu
examinant les faits avec attention, on reconnaît que la couleur bleue
du (fiel se produit dans des circonstances très-variées. Il est à remar-
quer, d'abord, que cette couleur bleue nous vient de tous les points
de l'atmosphère et non pas seulement de ceux qui reçoivent directe-
ment les ravons solaires : la lumière revient donc colorée en bleu
vers notre œil, quel que soit le chemin qu'elle ait suivi. Ce phéno-
mène diffère totalement de ceux que présente un verre coloré : il v
a à expliquer la visibilité de toutes les parties d'une manière intense

MÉTÉOROLOGIE OPTIOliK. 751

dans toutes les directions, et la disparition de la couleur bleue par
l'interposition des nuages.

On peut faire l'hypothèse d'une leinte bleue inhérente aux mo-
lécules d'air; l'atmosphère serait bleue de même que l'eau est bleue
lorsqu'elle est pure, verte lorsqu'elle est impure. Mais on doit re-
garder l'atmosphère comme à peu près incolore. Si elle était bleue,
les objets éloignés devraient présenter cette teinte, ce que Ton
n'observe généralement pas; cependant un fait paraît confirmer
cette prévision, c'est que les montagnes éloignées paraissent bleues :
on attribue généralement ce phénomène à la masse d'air interposée.
Cette explication est renversée par la remarque suivante, due à
Saussure : les Alpes, couvertes de neige, paraissent blanches lors-
qu'elles sont vues de très-loin; au contraire, les montagnes qui
semblent bleues sont des montagnes de couleur très-foncée. Il faut
donc, pour expliquer la coloration des montagnes bleues, dire que
l'on voit une teinte bleue dans cette direction, comme on la voit
dans une direction quelconque, et que la lumière que l'on reçoit
est envoyée par l'atmosphère.

Si l'air atmosphérique avait une couleur propre, cette couleur
serait plutôt rouge ou rouge orangé , comme il résulte de l'observa-
tion des teintes crépusculaires qui se produisent lorsque la lumière
nous arrive après avoir traversé des couches d'air de plus en plus
épaisses : les objets éclairés dans ces circonstances sont dans les
conditions les plus propres à manifester la couleur de l'atmosphère.

11 y a donc là des phénomènes très-particuliers à expliquer, et
l'on ne peut songer à une couleur propre des molécules d'air.

Â31. TkéorlMi de Iiéosard de TlMei et de Mmrkotie. —

Les théories qui ont été proposées sont très-nombreuses; la plus an-
cienne est due à Léonard de Vinci. Il supposait que l'œil reçoit d'un
point de l'atmosphère la lumière diffusée par ce point et en même
temps le noir des espaces célestes. On croyait à cette époque que
le noir, au lieu d'être l'absence de lumière, était une qualité parti-
culière de la lumière, et l'on pouvait supposer que le bleu résultait
de la combinaison de la couleur noire avec celle de la lumière dif-
fusée.

Vbrdet, IV. — Conférences de physique. kïi

752 LEÇONS SUH i;OPTIQUE.

Mariette a donné plus tard une théorie que Bou^juer a <kWelo|ipé«
et qui a eu un certain succès. Il suppose que la lumière arrivant du
soleil se réfléchit sur les particules d'air elles-mêmes, (|ui aiiraienl
la propriété de ne réfléchir «jue de la lumière bleue; or on n'a pas
d'exemple d'un milieu dont les particules réfléchissent la lumière, et.
s'il s'agit des molécules d'air, on ne conçoit pas que les molécules
d'un milieu qui reste toujours le même puissent réfléchir la lu-

mière.

Du reste, on ne peut pas attribuer h' phénomène à une iiiégalilé
de densité, car dans ce cas, que la variation supposée soit lente ou
brusque, la réflexion totale ne se produira que dans certaines direc-
tions et à la surface de certaines couches; par exemple , à la surface
de couches sensiblement planes, parallèles à l'horizon, il y aurait
une direction déterminée suivant laquelle on recevrait de la lumière,
tandis que dans les autres directions on n'en recevrait pas : or, tous
les points de l'atmosphère agisvsent de la même manière.

>^32. Théorie de Fabri et de IVewioii. — Mais s'il faut re-
jeter l'hypothèse d'une réflexion sur les particules d'air ou sur des
couches de densités difl'érentes, il est impossible de se refu.ser à ad-
mettre qu'il y a en suspension dans l'air des particules étrangères
([ui produisent le phénomène, dette idée, proposée pour la première
fois par Fabri. pinsicien français du xvii' siècle, fut adoptée et com-
plétée par Newton.

Si Ton admet (|U(^ le phénomène est dû à des matières tenues eo
suspension dans l'atmosphère, on ne peut penser qu'aux particules
d'eau, car la poussière ne monte jamais assez haut pour donner lieu
aux apparences observées, et, d'un autre coté,reau à l'état de glace
ne produit que des phénomènes locaux.

Newton croyait à la présence dans l'air de gouttelettes d'eau ex-
trêmement petites, qui réfléchiraient la lumière des lames minces,
particulièrement le bleu du premier ordre. Du reste, les épaisseurs
des particules d'eau n'étant pas toujours les mêmes, les couleurs de
la lumière pourraient varier. (]ette théorie présente des inexacti-
tudes. D'abord la couleur rouge des nuages ne |)eut être expliquée
par la dimension des gouttelettes d'eau qui s'y trouvent, car les

METEOKOLOCilK OI^TlOl K. 753

nuages prennent toujours la couleur de la lumière (|u'ils reçoivent
et nous l'envoient sans la modifier. De plus, Tidée de globules sphé-
riques suspendus dans Tair présente des dillicultés; elle ne permet
pas de rendre compte des teintes observées au lever et au coucher
du soleil. L'explication de Wwton n'est donc pas admissible.

&33. 0k0erv»tl#iui de Worhmm* — Forbes a montré en i S/iT)
que l'eau répandue dans l'atmosphère possède toutes les propriétés
nécessaires pour colorer la lumière. Depuis, il a indiqué comment
le hasard l'avait conduit à ses découvertes sur ce sujet. Il se trouvait,
par une belle journée, placé sur une locomotive ayant le soleil op-
posé au tuyau d'échappement, et regardait cet astre à travers le jet
de vapeur : il l'aperçut coloré en jaune orangé à un endroit oii la
vapeur n'avait pas encore pris la forme de nuage blanc. Des signaux
lumineux observés le soir sur la route parurent avoir la même
teinte. Il fallait en conclure que la vapeur si l'état ga>eux et sec
passe, avant de prendre l'apparence de nuage, par un état intermé-
diaire sous lequel elle transmet une couleur rouge orangée. Si la
vapeur se trouve dans l'air à cet état particulier, elle doit trans-
mettre et réfléchir la lumière: elle transmettra le rouge orangé et
réfléchira la teinte complémentaire, c'est-à-dire le bleu. La lumière
transmise aura une teinte orangée, jaune ou rouge, suivant l'épais-
seur plus ou moins grande des particules d'eau , et tous les phéno-
mènes que présente la lumière à l'horizon se trouveront expliqués
par la combinaison des teintes fournies par réflexion et par trans-
mission.

434. Tkéorie de JÊÊ* Ctoueiue* — M. Clausius a prouvé que
l'état particulier sous lequel se trouve la vapeur d'eau dans l'air est
le commencement de l'état vésiculaire. Si l'eau forme une vésicule
aussi mince que possible, elle réfléchira vers l'œil la première teintr
lumineuse des anneaux de ^ewton,et, comme le premier anneau
obscur est sensiblement bleu , il est tout à fait évident que les pre-
mières vésicules qui se forment, étant extrêmement minces, doivent
réfléchir les rayons bleus et transmettre la teinte complémentaire.

Il faut ajouter que l'atmosphère nous transmet la lumière sans

754 LKÇONS SlfB L'OPTiylfE.

en alt(^*ror la propagation roctiligno : or il riVn serait pas ainsi dans
le cas où elle traverserait des globiilçs pleins et spheriqiies comme
le supposait Newton. En effet , un faisceau cylindrique serait alors
transforme^ en un faisceau conique ayant pour sommet ie foyer de
la lentille formi^e par le petit globule, et le phénomène se présente-
rait sous un tout autre aspect; les contours qui limitent les objets
observés à la surface de la terre ou les astres ne seraient plus nette-
ment déterminés. Il résulte de là que, puisqu'on admet rexisCenoe
et Faction de corpuscules étrangers, il faut les choisir de manière
(]ue la marche de la lumière ne soit pas contrariée. l>ne lame homo-
gène à faces parallèles peut seule satisfaire à cette condition : ta lame
peut étn» courbe, de forme quelconque et en particulier sphérique.
Des molécules de celte forme doivent exister dans l'atmosphère, car
la forme vésiculaire e.st celle sous laquelle s'y condense la vajieur.

Ainsi les vésicules d'eau disséminées dans l'atmosphère réfl^
chissenl la lumière qui se colore en bleu par interférence: elles nou.<i
transmettent des rayons colorés en jaune orangé aussi par interfé-
r.*nce. Ces idées sont d'accord avec l'ensemble des observations. Les
couleurs réfléchies doivent être plus marquées que les couleurs trans-
mises, et c'est en efi'et ce qui a lieu : la teinte rouge n'est sensible
que sur la lumière solaire qui a traversé les couches de l'atmosphère
les plus basses; ces couches contiennent vers le soir une plus grande
r|uantité de vapeur d'eau que dans la journée, à cause du refroidis-
sement de l'air au coucher du soleil.

Quand l'air est humide, la teinte bleue finit par passer au blanc:
cela se conq)rend facilement. Lorscjue l'atmosphère sera très-sèche,
elle lie contiendra qu'un très-petit nombre de vésicules; de plus.
ces vésicules auront une épaisseur" très-faible et par conséquent ré-
fléchiront le bleu du |)reinier anneau de Newton, et quelquefois
même ne réfléchiront aucune lumière; on observera alors le bleu
caractéristique des climats méridionaux. Si la vapeur d'eau e$i
plus abondante, les vésicules augmentent d'épaisseur, mais leurs
épaisseurs sont très-différentes les unes des autres: on doit donc re-
cevoir i>ar réflexion des rayons lumineux de toutes couleurs, doot
les efl*ets combinés donnent des rayons blancs. A mesure que les di-
mensions «les vésicules augmenteront, la proportion.de lumière

MÉTÉOROLOGIE OPTIQUE. 755

blanche augmentera; enfin un nuage ne diffusera plus vers notre
œil que de la lumière blanche.

A3 5. Réfutation des obJectloiM faites àeette tké#rie. —

Cette théorie a soulevé diverses objections. On a dit qu'il est impos-
sible d'admettre l'existence de vésicules dans l'atmosphère sèche.
Cela est incontestable, mais il y a incessamment dans l'atmosphère
des courants qui mélangent des couches de températures différentes;
de là de petites précipitations de vapeur d'eau à chaque instant.

On a aussi avancé que des sphères pleines liquides rempliraient
aussi bien le but que des vésicules creuses. Mais il faut remarquer
que la lumière réfléchie par une goutte d'eau sphérique se con)pose
de la lumière que réfléchit la première surface, plus la lumière ré-
fléchie par la seconde surface, La lumière reçue par la première
surface est renvoyée dans toutes les directions; mais sur la seconde
les rayons n'arrivent qu'après s'être réfractés, de sorte qu'un faisceau
cylindrique devient un cône quand il arrive à la seconde surface ,
et il n'y aura qu'un très-petit nombre de directions suivant les^
quelles la lumière se composera de deux rayons réfléchis par les
deux surfaces et capables d'interférer. L'objection n'a donc aucune va-
leur et l'on ne peut se refuser à accepter l'explication de M. Clausius.

d" polarisation atmosphérique.

436. Héeauverte d'Araso* — INreetioM dv plan de pala-
risatlon* — La réflexion de la lumière sur les vésicules d'eau donne
lieu à un autre phénomène, la polarisation atmosphérique, dont la
découverte est due à Arago. En regardant le ciel à travers une lame
de quartz et un analyseur, il observa une coloration ; il essaya alors
de r^arder de la même manière la lumière d'une lampe ou des
nuages ; il ne trouva rien de pareil; mais la même apparence se re-
produisait s'il plaçait dans ce cas devant la première lame une
tourmaline ou une lame de spath pour polariser la lumière; la po-
larisation atmosphérique était ainsi trouvée en même temps que la
polarisation chromatique.

La lumière du ciel est donc polarisée, et, si l'on reçoit sur un
polariscope à bandes de Savarl, placé dans une lunette, la lumière

756 LEÇONS SLR L'OPTIQUE.

qui émane d*' divers points du ciel, on reconnaît que le plan de po-
larisation contient le soleil , l'observateur et la direction du ravon
que reçoit Treil : c'est le caractère le plus marqué de la polarisiation
par réflexion.

La loi que nous venons d'indiquer est due à Arago: elle se ?é-
rifie très-e\actenienl si l'on considère des points qui ne soient ni
rapprochés ni très-éloipnés du soleil; mais la lumière que Ton re-
çoit sur l'analyseur est loin d'être complètement polarisée.

487. Horlose polaire de m* llTIieiitiitOMe. — La relation
qui existe entre le plan de polarisation de la lumière bleue du ciel
et la position du soleil a permis à M. Wheatstone de construire on
instrument curieux auquel il a donné le nom lYharloffe polaire et qvi
peut indiquer Theure à cinq minutes près. H se compose d'un tobe
incliné suivant la direction de Taxe du monde et qui reçoit les rayons
parallèles à cet axe : ces rayons sont polarisés dans le plan qui passe
par le soleil et par Taxe du monde: or ce plan n'est antre chose
qu'un plan horaire; si donc }'a])pareil permet do déterminer k chaque
instant ce plan, on aura par cela même la position du plan ho-
raire et par suite l'heure solaire. A cet effet , h l'une des extrémités
du tube est placée une lame mince cristallisée; l'épaisseur de celte
lame a été choisie de manière à développer des couleurs très-sen-
sibles; on la forme parla juxtaposition de parties d'épaisseurs diverses
figurant une fleur ou un papillon et qui prennent dans la lumière
polarisée des colorations différentes. On regarde h travers ranaly-
seur et l'on tourne la plaque jusqu'à ce que la coloration dispa-
raisse : la section principale de la lame mince est alors parallèle
au plan de polarisation de la lumière incidente. Comme la plaque
mise en mouvement déplace une aiguille qui parcourt un cadran,
on peut conclure l'heure de cette simple observation si Ton a dis-
posé le cadran per|)en(liculairement à l'axe du monde, ce que Ton
fait une fois pour toutes.

à*iii. Position dea pointa neutre». — Si le soleil est Irès-
élevé au-dessus de l'Iiorizon, les choses se |>assent comme nous ve-
nons de rindi(|uer: mais, s'il (»st voisin de l'horizon, le phénomène

METEOROLOGIE OPTIQUE. 757

chiinge. Au-ttestious de 3o def^r^s d'élëvation du soleil, la poUri-
Kalion atlcint son maximiiiu en un |ioiDl (|ui est tk ^o degrés du
soleil. Cette polfirisadon dlruiniie à partir de là jusqu'à un point
qji elle est nulle el que l'nn appelle point neutre. Le point neutre
s'élève de ifi ;■ ■).'> degrés au-dessus de l'horizon du rtHé opposé au
soleil; au-dessous de re point, le plan de polarisation est perpendi-
culaire au plan de réflexion.

Ce point neutre n'est pas le seul : il en est un autre qui a été dé-
couvert par iVI. Rabinet au voisinage dii soleil. (|uand il est voisin
de t'horizon. t^e point se trouve su-dessus du soleil, Au-des.sus de ce
point le plan de polarisation esl vertical, au-dessous il est horizontal.
M. Brewster en a indiqué un troisième un peu au-dessous du
soleil; au-dessous le plan de polarisation est horizontal, au-dessus
il est vertical.

Dans la ligure n 6 5 , les

points N, N', N' représenteot

les points neutres, M est le

point maximum. Les lettres V

et H représentent les portions

d'arc oii le plan de polarisation

''*"'*^' est vertical ou horizontal. Dans

tout autre plan vertical que celui qui passe par.lle soleil, il n'y a pas

de point neutre.

439. Explle»tloB de la polariMttiVD ntmvspliérlque. —

Ces phénomènes tiennent aux réflexions mulliples de la lumière sur
les vésicules de vapeur d'eau. Du cAté opposé au soleil, nous rece-
vons de la lumière qui a été réfléchie ; cette lumière est presque
exclusivement polarisée dans le plan vertical. C'est surtout dans les
régions inférieures de l'atmosphère que ces réflexions sont multiples;
la lumière y est généralement polarisée dans le plan horizontal : on
aura donc, dans lu région opposée au soleil, delà lumière polarisée
dans le plan vertical el de la lumière polarisée dans le plan hori-
zontal; il peut ainsi exister un point oij la compensation des deux
faisceaux polarisés soit complète: au-dessus et au-dessous de ce
point neutre, l'une ou l'autre |>olarisRtion dçniine.

758 LEÇONS SUH L'OPTIQUE.

Au voisinage du soleil , la lumière réfléchie une seule fois est
très-peu polarisée, parce que Tangle sous lequel tombe la lumière
n'est pas favorable à la polarisation. Donc, dans la direction do
soleil, la lumière n'est pas polarisée. A une certaine distance» la lu-
mière réfléchie une seule fois est beaucoup moins polarisée que celle
qui est réfléchie plusieurs fois; on comprend donc que la polarisa-
tion horizontale domine sur la verticale; au delà des deux points
neutres, la polarisation devient verticale.

Cette explication a été donnée pour la première fois par M. Ba-
binet; elle permet de concevoir comment il se fait que la lumière des
nuées ne soit pas polarisée. Un nuage est un système de vésicules
très-nombreuses ayant toutes les dimensions et toutes les épaisseurs
possibles; en un point donné la lumière est réfléchie dans toutes les
directions, et de la combinaison de tous ces rayons réfléchis résulte
la dis|)arition de toute espèce de polarisation. Un nuage est donc
analogue à un corps diiïringent; il renvoie de la lumière dans toutes
les directions sans la polariser. Quand un nuage est interposé entre
notre œil et le soleil, la lumière qui y pénètre est diffusée unifor-
mément dans toutes les directions. On voit donc qu'il ne peut v
avoir dans aucun cas dé polarisation appréciable dans les nuages.

II. PHÉINOMëNëS PRODllTS PAR L'ACTION UE LA LLMIÈHE SUR DE ?I01|-
BREUSES VÉSICULES DE VAPEUR D'EAU ET SUR D£S GOUTTELBTTIS
irKAU EN SUSPENSION DANS L'ATMOSPHERE.

l" COURONNES.

MiO. Deseriptloii du pliénoméne. — Lorsque les vésicules

de vapeur d'eau, plus abondamment répandues dans l'atmosphère
qu'à l'état normal, ne sont pas cependant en assez grand nombre
pour produire un nuafje et forment sur le ciel comme une gaxe trans-
parente , on voit se produire autour des astres le phénomène des caur
romws. Ce sont des cercles colorés que Ton observe souvent autour de
la lune et du soleil et qui paraissent immédiatement en contact avec
le disque de ces astres, présentant leurs couleurs dans Tordre ca-
ractéristique des phénomènes de diffraction, le rouge en dehors et le
violet en dedans. Pour les observer avec le soleil, il faut regarder cet

MÉTÉOROLOGIE OPTIQUE. 759

astre avec un verre noir ou par réflexion dans l'eau , afin d'atténuer
le trop grand éclat de la lumière solaire qui empêche d'apercevoir
toute lumière voisine dont l'intensité est beaucoup moindre ^^^

5" ARC-EIS-CIEL.

^àl. DMieriptloii du pliéii#méneé — Les gouttelettes d'eau
provenant de la condensation des nuages produisent, lorsqu'elles ré-
fléchissent les rayons solaires, un phénomène très-brillant que l'on
appelle arc-en-cie/. On l'observe à l'opposé du soleil, lorsque les
rayons solaires rencontrent de ce côté un nuage se résolvant en
pluie : il se présente sous la forme d'un arc de cercle dont le centre
est sur la ligne passant par le soleil et par l'œil de l'observateur, et
qui est formé de bandes concentriques offrant toutes les couleurs
du spectre, le rouge à l'extérieur et le violet à l'intérieur. Très-
souvent, en dehors de ce premier arc, on en distingue un second,
beaucoup plus pâle, qui présente la même série de couleurs que le
premier, mais dans un ordre inverse. Dans la région comprise
entre les deux arcs , le ciel paratt plus obscur que partout ailleurs.

La théorie de l'arc-en^ciel , entrevue depuis longtemps, a mis un
grand nombre de siècles à se compléter. Les premières idées exactes
sur l'explication de ce phénomène paraissent dues à Théodonch.
moine dominicain, qui en donna, au xiv* siècle, le vrai principe re-
produit plus tard par Antonio de Dominis, archevêque de Spalatro
en Dalm^tie. La théorie développée par Uescartes et reprise par
Newton, qui ne fit qu'expliquer la coloration, a été complétée dans
ces derniers temps par M. Airy : elle se trouve maintenant établie de
la manière la plus satisfaisante.

La description que nous avons donnée du météore indique déjà
qu'il est dû à une combinaison de réflexions et de réfractions de la
lumière solaire. Il y a réflexion, car on voit l'arc sur les nuages à
l'opposé du soleil ; il y a de plus réfraction , le phénomène de dis-
persion qu'on observe en est la preuve ; et comme l'arc-en-ciel n'ap-
paratt qu'au moment ou les nuages se résolvent en pluie, on peut

^') On n^a pas reproduit ici Pexplicalion complèlc du phénomène des couronnes parce
qu^ellc il été donnée (lar Verdet dans un mémoire inséré aux Annale* de chimie ei de
phyeique (3), XXXIV, p. 99, et réimprimé dans le tome l*' de sesoiuvres, p. 97.

760 LEÇONS SIJR L'OPTIQUE.

en conciiin* (|irii y a réflexion de la lumière sur les gouttelettes
d'eau et réfraction dans leur intérieur.

442. Prineipe de la tliéarle de Deaearte». — Considérons
une gouUe d'eau, à laquelle nous pouvons supposer la forme sphé-
rique, puisque c'est la forme d'une masse liquide abandonnée à
elle-même: supposons qu'elle soit rencontrée par un faisceau lumi-
neux composé de rayons parallèles et cherchons ce qui se passe dans
un plan de symétrie : une infinité de rayons parallèles situés tous
dans ce plan arrivent à la circonférence de grand cercle qui limite
la goutte d'eau; ils sont partiellement difl'usés à la surface extërieare
de la goutt<' et rendent visibles le nuage et la chute de la pluie:
parmi ceux de ces rayons qui pénètrent à l'intérieur de la goutte,
il en est qui, après s'être réfractés à la première surface, se réflë^
chissent à la seconde, sont renvoyés vers la première et sortent de
la goutte, soit immédiatement, soit après avoir subi un certain
nombre de réflexions intérieures.

Etudions en particulier ceux de ces rayons qui émergent après
une seule réflexion à l'intérieur : il est visible qu'ils n'éprouvent
pas tous le même changement de direction ; or, s'il en est un dont
la déviation soit un maximum ou un minimum , un rayon très-voisin
de celui-là, en dessus ou en dessous, émergera en faisant avec lui
un angle qui sera un infiniment petit du second ordre, tandis qu'ji
une certaine distance de ce rayon deux rayons incidents infiniment
voisins soiiiront de la goutte en faisant un angle qui sera un infini-
ment petit du premier ordre. Il résulte de là que les rayons émer-
gents ne seront pas renvoyés indifleremment dans toutes les direc-
tions et par suite ne seront pas distribués uniformément dans toutes
les portions de l'espace : il y aura accumulation de rayons dans le
voisinage de la dii*ection d'émergence du rayon qui correspondra au
maximum ou au minimum de la déviation, et il en résultera un
plus grand éclairement si l'on admet que les intensités des rayons
s'ajoutent toujours arithmétiquement.

Au lieu d'une goutte d'eau . si Ton considère un système de gouttes
frappées par les rayons du soleil , celles qui sont dans une position
telle que les rayons qui émergent dans la direction d'éclairement

XIÉTÉOROr.OUIE OPTIQUE. 761

I lombent dans l'œil de l'observateur paruitroiit plus bril-
lantes que les autres et se dessineront avec plus d'éclat sur le
nuage qui se résoiil en pluie; et, comme le phénomène est le même
dans touN les plans qui se coupent suivant la droite menée |Nir h
soleil et l'œil de l'observateur, l'ensemble des gouttes les plus éclai-
rées formera un arc de cercle dont le centre sera sur cette droite
et dont l'étendue varient aver la hauteur du soleil au-dessus de
l'horizon.

Telle est en résumé la théorie prnpnsée par Desrartes et que nous
allons développer.

â^3. ItoranB «nieacca. — Soit un ruuin lumineux SI (lig. a 66)
émanant d'un point de la surface du soleil et tombant sur une goutte
d'eau de forme sphérique. Par ce rayon et le centre 0 do la goutte
menons un plan qui détermine pour section un grand cercle. Li'

rayon incident SI se réfracte en se rapprochant du centre, et arrive
suivant U' fi la <leuxiémp surface; au point 1' une partie du rayon
émerge et «ne autre se réiléchit suivant l'I', arrive en 1' où se pro-
duit une autre réflexion partielle, et ainsi de suite justju'au point 1",
par exemple, où nous considérons le rayon émargent TR'. Ce
rayon a donc été réfléchi un nombre quelconque de fois et réfracté
deu\ fois. Pour déterminer sa direction, cherchonH l'angle dont
tourne le rayon à chaque rencontre avec la surface. Ces rotations
connues, si l'on en fait la somme arilhniélique on aura l'angle

762 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

dont il faut faire tourner le rayon incident pour avoir la direction
d'émergence. Cet angle, (|ue nous appellerons rotation totale, pourra
être de plusieurs circonférences. Il est un autre angle très-important
aussi à considérer, c'est celui que fait la direction du rayon émergent
tel ({ue Y^ dans le sens suivant lequel il se propage avec le rayon
incident IS compté du point d'incidence vers le soleil : on l'appelle
la déviation.

Pour trouver la valeur de ces angles, désignons par i l'angle d'in-
cidence, par r l'angle de réfraction; ? — r est la rotation du rayon
réfracté IT par rapport au rayon incident SI prolongé; l'angle dont
tourne ensuite le ravon est

Hrr^-TT-irr':

or iri"= ar, donc la rotation est égale à w — ar. Toute rotation ul-
térieure aura la même valeur; donc la rotation totale pour un
nombre de réflexions représenté par k est

k(it — fir).

A l'émorgence» l'angle de réfraction étant r, l'angle de la normale
avec le rayon émergent sera t, la rotation sera encore t — r, et l'on
aura, en désignant par p la rotation totale,

p= 3 (f — r) + /i(w— 9r).

La direction du rayon émergent se trouvera donc définie sans am-
biguïté quand on connaîtra l'angle d'incidence et le nombn^ de ré-
flexions.

Pour deux rayons du faisceau incident placés symétriquement
par rapport à la droite qui va du soleil au centre de la goutte, les
angles d'incidence ont la même valeur: il en est de même des rota-
tions : lesra>ons à l'émergence sont donc symétriques; de plus, si
l'on considère des rayons d'un même côté de l'axe de symétrie,
l'angle t a des valeurs qui croissent depuis zéro, et l'angle p prend
des valeurs correspondantes; il en résulte que le faisceau de rayons
parallèles qui tombe sur la goutte d'eau se transforme, après un
nombre quelcon(|ue de réflexions, en un faisceau divergent. Si l'on

MÉTÉOROLOCIB OPTIQUE. 763

reçoit ce faisceau sur un écran, réclairement, au lieu d'être indépen*
dant de la distance comme cela serait si Ton supprimait la goutte,
va en décroissant très-vite à mesure que Ton éloigne l'écran de la
goutte. De plus, si l'écran reste à une distance constante et que
Ton en considère différents points, Téclairement n'y sera pas uni-
forme; il sera d'autant plus grand que l'écart angulaire de deux
rayons émergents provenant de deux rayons incidents voisins sera
plus petit; et si cet écart est assez faible pour qu'il y ait presque
parallélisme, l'éclairement qui en résulte sera incomparablement
plus grand que dans le voisinage.

Il est clair a priori qu'il doit y avoir quelque chose de pareil pour
que l'arc-en-ciel se produise; en effet, si en aucune région l'inten-
sité de la lumière réfléchie n'était plus grande que dans les régions
voisines, le nuage qui se résout en pluie offrirait un éclairement à
peu près uniforme dans toute son étendue.

On arrive à la même conclusion par l'étude de la. fonction p.
Soit I la valeur de l'incidence qui correspond à un maximum ou à
un minimum de cette fonction, si elle en est susceptible; pour les
valeurs de i voisines de I, l'angle des rayons émergents provenant
de deux rayons incidents très -rapprochés sera extrêmement petit
par rapport à celui que formeraient à l'émergence deux rayons éga-
lement rapprochés l'un de l'autre, mais dont la rotation ne serait
pas voisine du maximum ou du minimum : en d'autres termes, une
variation infiniment petite de i produit en général une variation de
même ordre pour p, mais dans le cas du maximum ou du minimum
la variation de p est un infiniment petit de second ordre; les rayons
émergents, étant presque parallèles, produiront un éclairement plus
grand et dessineront sur le nuage une ligne brillante dont il s'agit
de chercher la position et la forme. On appelle rayons efficaces ces
rayons qui correspondent au maximum ou au minimum de la ro-
tation.

Le point important consistait à établir qu'après un nombre déter-
miné de réflexions il y a une direction unique pour ces rayons effi-
caces. C'est Descartes qui en a démontré l'existence et expliqué les
propriétés. Pour ce qui est de la coloration du phénomène, il la re-
produisit en exposant une boule de verre à un faisceau de rayons so-

704 LEÇONS SLK L'OPTIOIjE.

laires; ^e\\(on lit connaître ({uollc vn était la nature el couipléta
ainsi la théorie de Descaries.

fiàà. DireetioB des rayons efllc»mfi« — Les rayons eiljca-
ces ont pour angles crincidenre les valeurs de i qui rendent la ro-
tation maximum ou nn'nimum. c'est-à-dire celles (|iii annulent la
dérivée de p prise pai' rapport à /: on a donc

I (A-r- I )j.-^ o.
et comme, de ré({uation

• • •

MU /-- «SI 11 /',

on tire

il en résulte

lit

i'OSl ^- li COS r-r^

(Il

, COS /

1 ( /; 4- 1 ) — -—-- -^ o.
n COS r

Telle est l'équation qui donnera les valeurs de Tincidence de>
rayons efficaces. Pour faire disparaître r de cette équation, on peut
récrire

/r COS- /• ( /.• -f- I )- cos^ I.

D'ailleurs on a

/rsur/- sln'^^

et en ajoutant ces deux équations membre à membre il vient

;/- ( fi--\- \i.h'r- • ) <'os' / + I COS* i,
OU bien

U'^ — 1 ( /•- — •>/»• ) COS V,

et enfin

(t ) COS/ = 1/7. , .

c étant plus petit que 90 degrés, sa valeur est déterminée sans am-
biguité par cette équation, et il en est de même des valeurs de r
«t de p.

MKTÉOKOLOlilb; OPTIOLK. 765

On voit d'abord, parla valeur de cos ?, que. si n est pliis petit que
Tunité, il n'y a jamais de rayons efficaces. Ainsi, un nuage.de bulles
d'air, observé du fond d'une masse d'eau, ne donnerait pas d'arc-
en-ciel. De plus, cos i devant être plus petit que l'unité, on doit avoir

ou

Si l'indice n est compris entre i et îj , il y aura des rayons effi-
caces, quelle que soit la valeur de /r, qui est toujours au moins égale

a l'unité. L'indice de réfraction de l'eau étant d'environ J, on en

conclut que, lorsque les rayons solaires tombent sur des gouttes
d'eau, il y a des rayons efficaces pour tous les nombres possibles
de réflexions intérieures.

Si n est compris entre â et 3 , /; doit être au moins égal à a ; ainsi ,
dans un nuage de petites sphères de diamant, ou, ce qui est faci-
lement réalisable, dans un jet de sulfure de caFbone tenant du
phosphore en dissolution, le premier arc manque; celui qu'on voit
correspond à deux réflexions, aussi est-il très-pâle.

En général, l'indice étant compris entre deux nombres entiers
consécutifs, le nombre de réflexions k doit être au moins égal au plus
petit de ces nombres.

4â5. Explleatioii des ••«Icura. — L'arc-en-ciel n'est pas
seulement une ligne brillante; c'est de plus une ligne colorée.
Pour se rendre compte de cette coloration, il suffit de remarquer
qu'à chaque valeur de l'indice de réfraction n correspond une valeur
de p déterminée; il y aura donc autant de rayons efficaces diffé-
rents qu'il y a de rayons différents dans le spectre solaire; aussi le
phénomène sera-t-il formé de bandes diversement colorées. On
peut déterminer l'ordre dans lequel se présenteront les couleurs.
En effet, dan$ l'expression générale de la rotation,

si l'on convient de représenter par p la rotation minima pour un

766 LEÇONS SUR LOHTIQUE.

nombre k do niflexions, p ne dépendra plus que de la variable n, et,
par conséquent , on verra comment varie la rotation des rayons effi-
caces lorsqu'on passe du rouge au violet en cherchant le signe àe^:
à cet eflTpt, prenons la dérivée de p par rapport à n, nous aurons

-2= —— (b^ \ — .

du ' (Ifi ^ ' f du

Pour remplacer -T- et -T- par leurs valeurs, revenons à Tëquation (i);
il viendra, en prenant la dérivée des deux membres»

et comme

on a

r// '}Sk^~^^k)_

dn ^ ^ ■>'^]'(7.^ir--/ê-i '

D'un autre roté, on tire de l'équation sin i=n sinr

sini 1 (A-hi)* — n*
sni r = — = " 1 / — n ï —

ros
et

A-+- 1 / «- I

s r = i / y, r

dr \ f . di . A

d'où l'on déduit

dr 1 r n^(k^-\-ik) /(Ah-i1*-/iO

il j

et enfm, en portant les valeurs de r- et j- dans l'expression dn t^»

dp 2 y (A 4- ly — /i'
c/w 7t y n- — 1

MÉTÉOROLOGIE OPTIQUE. 767

Celte expression est toujours poj-itive. ci par suite la rotation des
rayons efficaces augmente d'une manière continue lorsqu'on passe
(les rayons rouges aux violets.

446. De« tkrwm visibles. — Cherchons maintenant quelles sont
les conditions de visibilttë du phénomène. Supposons qu'on mène
par l'œil de l'observateur 0(fig. 267) une parallèle SOS' aux rayons
tels que SG qui tombent sur la goutte, et faisons tourner la ligne

SCi d'un angle égal à la rotation des rayons elticaces, qui peut être
de plusieurs circonférences. Si la direction des rayons émergents
est telle qu'ils passent derrière le nuage, soît en s'élevant vers le
ciel, soit en s'abaissant vers le sol, qu'ils ne rencontrent qu'à une
grande distance, le phénomène n'est pas visible pour l'observateur;
mais si la direction des rayons efficaces se dirige vers la terre suivant
GO, par exemple, l'observateur qui tourne le dos au soleil a devant
lui une infinité de gouttes qui lui renvoient une lumière très-in-
tense. D'ailleurs le plan de la figure est un plan quelconque passant
par la parallèle OS' aux rayons lumineux: si on le fait tourner au-
tour de OS', la direction des rayons efficaces qui arrivent à l'œil
décrira un c6ne dont l'intersection avec la surface du nuage des-
sinera la ligne des gouttes d'eau brillantes, et, comme le phénomène
est projeté sur la sphère céleste, cette ligne d'intersection sera un
arc de cercle en général plus petit qu'une demi-circonférence, le
soleil se trouvant au-dessus de l'horizon presque toutes les fois que
l'on observe l'arc-en-ciel ; si le soleil est A l'horizon, on aperçoit une

VïiiDïT, IV. — Conrérencn) i\e {itijtltjLie. 't^

708 LliCONS SI l( LOPTIOUK.

(l(Mni-circoiilV*n*nn'; riiriii, s*il <'st au-dessous de riiorixon ef i|u*ou
observe le phénomène en ballon ou du haut d'un pic élevé, on verra
plus d'une demi-circonférence; ces dernières circonstances se pré-
sentent assez rarement.

Nous avons supposé jusqu'ici que le système des gouttes d'eau qui
produisent l'arc-en- ciel était immobile; en réalité, les gouttes d'eau
sont en mouvement, et le phénomène serait instantané si, en se
succédant assez rapidement à la même place, elles ne produisaient
sur la rétioe une impression persistante.

Du reste, on a souvent occasion d'observer les effets produits par
un systènie de gouttelettes d'eau immobiles, le matin, lorsque la
rosée forme des gouttes égales à la même hauteur sur Fherbe d'une
|)rairie. Dans ce cas, l'arc étant déterminé par rinteraection de la
surface conique dont nous avons parlé avec la nappe de gouttelettes
qui est à peu près plane et si peu de distance de Tobserrateur. l'in-
tersection peut être une des trois sections coniques; Fins lumineux
que l'on observe est le plus souvent un arc d'ellipse.

/|/i7. Premier are. — Considérons en particulier le cas où le
milieu réfringent est l'eau, el cherchons l'effet produit sur les
rayons lumineux par une seule réflexion. Pour cela, dans la for-
mule générale de la rotation,

nous ferons /•== i et nous substituerons h I el à r leurs valeurs dé-
duites de ré(|na(ion

'-"" - yj iPT-.iir

qui donne la direction des rayons ellicaces. (îes directions changent
avec l'indice de réfraction des rayons que Ton considère, et, si l'on

prend les valeurs - ou ^- el^--pour indices de réfraction de l'eau

relativement aux rayons rouges et violets, on en conclura pour les
rotations correspondantes

p„^ i37\^8'-?o".

*> ri / •> '
p, 1 ♦>() '10 -H) .

MKTKOIU)LO<;iK OPTIQIJK. 769

Un rayon de lumière blanche tombant sur la goutte (j dans la di-
rection S(i s'épanouira <lonc, après une réflexion dans rintérieur de
la goutte, en un faisceau divergent compris entre les rayons GRet GV,
et tous les rayons colorés effic«ices réfléchis une fois dans la goutte
se trouveront compris entre les deux surfaces coniques que l'on ob-
tiendrait en faisant tourner les droites GR et GV autour de GS'
comme axe. Par conséquent un observateur dont l'œil est placé en 0-
recevra dans la direction GO de la goutte G une lumière rouge
plus intense que celle qu'il reçoit des autres gouttes situées dans le
même plan, et, comme les choses se passent de la même manière
dans tous les plans menés par la h'gne SO, l'œil recevra des rayons
efficaces rouges de toutes les gouttes qui seront à l'intersection de
la surface du nuage avec la surface du cône engendré en faisant
tourner la droite OG autour de l'axe OS'. Quelle que soit la forme
du nuage, les rayons rouges ainsi reçus par l'œil se projetteront
suivant un arc de cercle qui sera l'intersection de la sphère céleste
avec la surface du cône dont nous venons de parler et dont la denii-
ou\erture angulaire, appelée la dévifition. est égale au supplément
di» p^, c'i'sl-îi-dire à

On vmra de même les autres couleurs du s|>ectre disM^minées sur
des arcs de cercles concentri(|ues produits par l'intersection de la
sphère céleste avec des surfaces coniques dont Taxe commun est la
ligne OS' et dont la demi-ouverture angulaire est comprise entn»
la déviation ROS' des rayons rouges et In déviation VOS' des rayons
violets, laquelle, étant égale au supplément de p,, a pour valeur

'io"t6'/io".

(i(\s arcs seront donc distribués à l'intérieur de l'arc rouge suivant
l'ordre des réfrangibilités croissantes. Il semble, d'après cela, qu(»
l'on doive observer une série d'arcs de couleurs diverses et très-
pures et présentant les raies de Frauenholer. En réalité, les teintes
se fondent les unes dans les autres, et l'on ne voit même pas d'une
laçon bien distincte l'orangé et l'indigo. On explique cette confusion
des couleurs en remarquant que cliacjue point du soleil donne lieu

770 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

à un arc prticulier, et , comn)i> rd astre a un diamètre appan^nl de
33 minulr>s, Insnn-fl se sufiorjiosent |iarllcllcment i^l on n'y voit pas
cIp raies pour la même raison qu'on n'en distingue pas lorsqu'un
fnî.srcau luiiiincux. qtii pénètre dans une chambre obscure par une
fente l'troile, tombe sur un prisme et ne traverse pas une lentille.
Du reste, si l'on tonsidèrc les rayons d'une rtJfrangtbilitë déter-
minée partis de loule la surface du soleil et tombant sur une même
«joutle, on voit ([u'ils forment un cône dont l'ouveriurc angulaire
est égale au diamètre angulaire du soleil, et, comme tous ce»
rayons éprouvent la même rotation, ds forment à l'émerarnce un
cône de même onverlure: on a donc le véritable arc en imaginant
que cbaque espèce de rayons donne lîeti >'i nue bande é^a\e au illa-
mèlre apparent du soleil , et il y a autant de bandes que de couleurs
diiïérenles: de lii le manijuc de pureté du |>bénomène résultant.

Parmi les rayons par;dlèles qui tnmbeni sur la goutte d'eau el
émergent après une seule réflexion. ceu\ qui éprouvent une rolatîon
minimum ne contribuent pas tous à former la partie visible de l'arc-
en-ciel; menons, en ell'et, par le centre 0 (fig. 'j68) de la (joulte
une parallèle 80 aux rayons
incidents : celte droite par-
tage, dans le plan de la fi-
gure, la goutte en dciii; par-
lies symétriques; deux ravons
SI et Sl|, pris à égale dis-
tance de SA el de part el
d'autre de celte ligne, subis-
sent la ménie rotation; mais
tandis que les rayons tels que
SI émergent en se dirigrani
vers la terre suivant l'R pour
produire, s'ils ont la position
^'«-■**- (jiii convient aux rayons efii-

caces , le |)remier arc-en-ciel , les autres se relèvent à l'émereion sui-
vant IJ'H, et ne [leuvcnt être reçus par un observateur placé A la
surface de la lerre, mais ils donnent un arc que l'on a quelque-
fois observé, soit dans les ascensions aérostaliques, soil au sommel

MÉTÉOROLOGIE OPTIQUE. 771

lU' hautes mi)iitafj[nes , en s'i^lcvant au-dea^us des nimbes. Dans ce
cas, on peut apercevoir un rcrcle complef lorsque le soleil est suf-
(ÎHaniinent voisin de l'horizon.

Vi8. DMnlAïae »rc. — Les rayons qui émergent après deux
n'*fle\ions donnent naissance à un arc-en-riel e.\lcriour an premier
que l'on appelle denxii^ine arc. Faisons en effet (t^--= ;> dans rcxjires-
sion de la rotation , nous aurons pour valeurs des rotations des rayons
cHiraces roupes et violets

p,- ■i3o"ô8'5o".
p, - -i^Ui" 9'3o'.

Ces rotations étant supérieures à i8n dcjjrés, il est aisé de \oir que
h's rayons ellicaces routes ou violets qui loiohent sur la j;out(e à sa
partie supérieure, c'esl-à-dire au-dessus du rayon qui passe par son

centre, se relèveront après deux réflexions de manière à émerger vers
le haut; au contraire, les rayons qui rencontrent la goutte h sa partie
inférieure en 1 (ftg. nfiy) sont, à l'émergence, dirigés vers le has
et peuvent être reçus par l'observateur.

Soient don<' GR(fig. a'yD)el GV les directions des rayons efficaces
rouges et violets obtenus en faisan! tourner le rayon incident, dans
le sens de la flèche, des angles p, et p.: l'observateur placé en 0
recevra plus de lumière rouge de la goutte G que de toutes les autres

ni 1,K(,;()\S SI It LOl'ïlyLK.

silui'-es dans le plan di' ia lijjurc, l'I les youtU-s <[iii lui L'iivoienl do

ravom cliicaces mugi's seront sitn''es sur iiii cône qui a pour ave OS'

l'I <loJit le demî-aiiglc au soiuim-l t-st é([al à p, — 1 80", c'esl-à-ciire à

'>o° j8'5o".

De inètiii-. lus ([uulti's i|tii entciront en 0 dits rayuns tiulcls <-Mît:accs
scTont dislnbui'CB sur iiu tôiie ajiiiil unSaie aw rjue le pn'rt-ûdeiit et
dfiiil 11! denii-iinf>;le au suiiiiuel a pour valeur p, — i8<r, T'ost-â-dirv

»'i"»('mi)".

(ici au);lii i!sl plus {'rand i|uu i-elui (|iii i-urrc(i|)oiHl iiiix raxms
rinryes; jiar cunsilquenf le second are-«n-ciel |)ré!i«ii(erii ses corileiini
dans l'ordre iiiver.sv du premier : le vtolel iiera À IV\lérivur et le
riiii|;e ù l'inléHeur. Les autres conleurs seront étalées sur lu miw
comprise sur la sphère céleste entre les deux cAnes dont les demi-
ouvertures angulaires sont &o°.>H'Jo'' et ôVj'so*.

La diiïéronce de ces deuv angles élfint 3° 1 o'3o*, si on la roni-
pare à la dillerence correspondanl an premier îirc <|ui est \"'iW, 011
voit ([ue les couleurs seront liien plus élaléi's dans le second arc «|Ue
dans le premier : elles seront donc moins intenses pour vvlle rai-
son, et aussi parce que la lumière se trouve répandue sur un arc a|>-
parteiiant à un cercle d'un plus grand diitiuèlre. Il est une autre
circunstance i|ui routriliue particulièrement à affaiblir l'éclat des
rayons qui ju-oduîstMit le second arc, c'est la double n>l1e\ion qu'iU
/■prouvent n l'intérieur de la goutte; an^si arrîvi'-l-îl soiixeiit iiuc cet
;mt est à peine visible.

MÉTÉOHOLOGIE OPTKjLE. 773

^^\). Arc0 d'ordres «upérleurM* — Les deux iU(\s dont nous
venons de parler sont les seuls qu'on aperçoive, bien que, d'après la
théorie, il |)uisse s'en produire une infinité. Il est vrai que le nombre
de ces arcs sera limité à cause des réflexions successives qui affai-
blissent l'intensité des rayons lumineux: cependant la différence du
premier arc au second n'est pas tellement grande (|u'on ne puisse
penser que le troisième arc sera visible. Nous allons voir que le troi-
sième et le quatrième ne pourraient être observés que dans des
circonstances tout à fait exceptionnelles, mais que le cinquième peul
être aperçu par un observateur placé entre le nuage et le soleil.

Considérons d'abord le cas de trois réflexions : faisons A* =3 dans
la formule qui donne la rotation des rayons efficaces; si nous ne con-
sidérons que les rayons rouges, nous trouverons

,•=. 76"3o' et p - 3i8°a/r = 36o" - 4i°3G'.

La direction des rayons efficaces passe donc derrière le nuage et.
pour recevoir ces rayons, il faudrait se trouver sur une montagne au
moment où le soleil à l'horizon serait masqué par un pic étroit el
où un image se résoudrait en pluie entre le soleil et l'observateur,
concours de circonstances qui se réalise rarement.
Si l'on suppose quatre réflexions, on trouve

La déviation difl^re peu de la précédente; les rayons efficaces qui
rencontrent la goutte à sa jiartie inférieure sont dirigés vers le haut:
c'est l'inverse pour ceux qui la rencontrent à sa partie supérieure.
Cet arc ne peut être observé avec la lumière solaire.

Pour le cinquième arc, t== Si^qG', p== 486°= 36()*'+ i*j6'*: la
déviation est de ^/i degrés. Cet arc est visible à l'extérieur du se-
cond , et on l'a quelquefois observé malgré sa faible intensité, surtout
dans les cascades où les gouttes sont assez rapprochées de l'œil.

Les arcs supérieurs au cinquième n'ont jamais été observés que
dans les laboratoires et grâce à des dispositions expérimentales par-
ticulières. M. Babinet en a vu davantage en se servant d'un jet
d'eau éclairé par une source lumineuse très -brillante. Le miné-
ralogiste anglais Miller a observé les douze premiers arcs en subs-

nu LEÇONS SUK L'OPTIQUE.

lituant au jel d'eau une lige de verre cylindrique dont la section
transversale peut être assimilée à celle d'une goutte d^eau.

Enfin M. Billet a observé les dix-neuf pi^emiei^s arcs en ëclaîrant,
à l'aide d'un faisceau de rayons solaires renvoyé par un héliostat,
une colonne cylindrique d'eau qui tombait verticalement au centre
d'un cercle de 3 mètres de diamètre : une lunette portée par une
alidade permettait d'observer les divers arcs qui se sont trouvés dans
les directions indiquées par la théorie.

/|50. Eelalrement des diverses résk^nm dM mi

Pendant la durée du météore, l'édairement des diverses régions du
nuage n'est pas uniforme; l'espace compris entre les deux premiers
arcs est relativement obscur, la partie supérieure au second arc est
plus éclairée, enfin la partie inférieure au premier est encore plus
brillante. Pour rendre com|)le de ces particularités, cherchons dans
quelles circonstances la déviation (;sl nu maximum ou un minimum :

il suffit pour cela de déterminer le signe de -77 • On a successivement

Le signe de 7.7 est donc contraire à celui que prend -j^ quand on

donne à i la valeur de l'incidence des rayons efficaces. Or, de Téqua-
tion sin / =- n sin r on déduit

(Ir cos /

(li n cos r "

. . . Hr

.^ - n cos r sm < + /i SI n /' cos 1 -p-

crr di

cli* n^ cos^ /'

Le signe de -7^ est donc celui de

. . . . dr

cos r sm 1 — cos t sin r -jr •

di

En remplaçant -.-par sa valeur, on a

. . cos- / sin r n cos* r sin 1 — cos* i sin r

eus r sin i -^

/i cos r II cos /*

MÉTÉOROLOGIE OPTIQUE. 775

L*angle r étant plus petit que 90 degrés, le numérateur est tou-
jours positif et l'expression prend le signe du numérateur, lequel a

pour valeur

. . sin^i sin I , sin^i . . sini

n sin t = H sin t »

Il a n n

si Ton suppose m = 5 ; n sin t est plus grand que 1 le numérateur

est toujours positif 9 et il en est de même de ^; la rotation des rayons

efficaces est donc toujours un minimum, quelle que soit la valeur
de k.

Il résulte de là que, si la déviation s'obtient en retranchant une
quantité fixe de la rotation, la déviation est aussi minimum; si c'est
la rotation qu'on retranche d'une quantité fixe, la déviation est un
maximum.

Le premier arc offre un exemple du second cas. Au-dessus de cet
arc, les rayons réfléchis une seule fois et qui sont les plus brillants
ne peuvent arriver à l'œil de l'observateur, parce que l'angle des
rayons incidents et des rayons émergents qui produisent le premier
arc a la plus grande valeur possible. Au contraire, les rayons qui
partent de la région intérieure à l'arc arrivent à l'observateur aus>i
bien que les rayons diffusés et produisent l'éclairement de cette ré-

Pour le second arc, on se trouve dans le cas d'une déviation mi-
nimum; par suite, l'espace qui le sépare du premier arc n'envoie
aucun rayon réfléchi deux fois; l'espace qui le surmonte en envoie
et paraît plus éclairé, mais il est moins brillant que la région infé-
rieure au premier arc. Entre les deux arcs le nuage n'est éclairé que
par les rayons qui ont subi plus de deux réflexions : de là son obs-
curité relative.

451. Arcs •urauiiiéralrc». — Théorie d'Younif» — On

voit que la théorie de Descartes, que nous venons d'exposer, rend
compte des faits d'une manière satisfaisante. On peut y ajouter une
particularité signalée par Arago, c'est que la lumière est polarisée
dans le plan de réflexion : en regardant le sommet de l'nrc avec un
prisme de Nicol dont la section principale est verticale, on constate

776 LEÇONS SLH LOPTIQUE.

(Ml effet <|ue récisit de celte partie de l'iire est miniiiiiiiu; il clcvîenl
inaxiiuiiin quand on tourne de 90 déférés la section principale da
prisme analyseur.

Mais en observant le [)liénouiùne avec attention on remarque k
rintérieur du premier arc et à Textérieur du second des bandes edo-
rées fifjurant ce cpie Ton appelle des arcs mvnwnéraires que la théo-
rie précédente est impuissante à expliquer. Ces arcs présentent k
succession de couleurs suivante : le rouge en dehors, le janne, ie
vert et le violet, [mis des alternatives de vert et de violet en nombn
variable; leur largeur va en diminuant depuis le sommet de faïc
jusqu'à riiorizon; ils ne sont pas constants dans leur apparition et
ils se montrent surtout dans les pluies fines : les conditions de leur
existence sont du reste un peu contradictoires, car dans les pluies
fines et rares la quantité de lumière réfléchie est faible et on est
exposé à nv pas distinguer ces arcs surnuméraires.

C'est \oung (pii a attiré l'attention des physiciens sur ces particu-
larités, sans toutefois (*n donn<M* IVxplication complète. La théorie
(le iJescartes suppose que les intensités des rayons lumineux s'ajoutent
toujours arithmétiquement . ce qui est faux pour les rayons qui
émanent d'une source unitpie. La superposition se fait d'après le
principe d(*s interférences : au voisinage de la direction (h*s rayons
eflicaces, on a de chaque coté des rayons qui ont même rotation et
émergent parallèlement ou à peu près: l'intensité à leur point d'in-
tr'rsection dépend donc de la différence de marche qu'ils ont prise
en suivant dans la goutte des chemins différents.

Considérons, par exemple, les rayons efhcaces rouges tels <|ueSl
|lig. 371), (pii produisent le premier arc-en-ciel et dont la rotation
est d'environ i38 degrés; lt\s rayons de même couleur qui rencon-
treront la goutte au-dessous du point d'incidence I de ces rayons effi-
caces auront une rotation <|ui augmentera depuis i38 degrés jusqu'à
180 degrés, rotation du rayon SA dont l'incidence est normale à la
goutte; et de même ceux dont le point d'incidence est com|)ris entre
le point 1 et le point de contact k du rayon tangent auront une ro-
tation qui croîtra de i38 degrés jusqu'à 'îtt 'ir, v étant l'angle de
réfraction limite. Cet angle limite est, dans le cas du passage de Fair
dans l'eau, égal l\ '|8"'3.V; par suite la rotation du rayon tangent en K

MKTÉ(HtnL()(ilK OI'THJLB. 777

MJia 3()»"— ig'i° :!(>'= i63'Ao'. Il résulto du Iji qu'il y aiirîi une
inrmiti; de systùmes (le doux r»\on> IcIm que SB el SC, situés de |>art
et d'autre de SI, qui i^merjji'ront
de la goutte parallèlement, puis-
qu'ils auront éprouvé des rota-
tions égales, et qui devront s'être
réfléchis au même point k l'inté-
rieur de la goutte. Comme ces
rayons parcourent des chemins
inégaux dans les mêmes milieux,
ils prendront des différences de
marche et leurs intensités s'ajou-
teront ou se retrancheront sui-
vant que ces différences seront
^'B'"'- égales à un nombre pair ou im-

pair de deuii'longueurs d'onde. Ils donneront donc lieu à des

ia\ima et a des mininia de lumière alternatifs pour les rayons bo-
movèues, et à des bandes coloréeN si les rayons incidents sont les
l'ayons solaires.

Dans le cas du premier arc, la déviation des rayons ellicaces est
un maviinuiii: il en résulte que celle des systèmes de rayon-i qui
interfèrent sera plus pelile el donnera lieu à des bandes colorées
toutes intérieures à l'art- et qui se succéderont jusqu'à la distance
où les couleurs provenant de l'interférence des rayons cesseront
d'élre distinctes.

Si le diamètre des gouttes d'eau est très-grand, les différences de
marche des rayons croissent très-vite et les maxima et minima de
lumière trop rn[>prochés deviennent indiscernables : on n'observe
alors qu'une bande colorée. Au contraire on les aperçoit nettement,
si les gouttes d'eau sont petites, et leur ensemble constitue une série
d'ans distincts. On comprend par ces expbcations pourquoi leur
ari|>eci. leur nombre, leur largeur sont variables et pourquoi la
partie supérieure seule du nuage, oîi les gouttes sont petites, con-
vient à jenr fonnation.

ï.es mêmes considérations permettent d<> rendre compte des arcs
><iniiiinéraires (|u'uii ui)servc quelquefois à l'exlérieur du second

778 LKÇO.NS SliK L'OPTIQUE.

arc : ils proviennent de rinlerférence de rayons situés de part et
d'aulre des rayons eflicaces (;t (|ui énier^^nMit parallèlement après avoir
éprouvé deux réflexions à l'intérieur de la goutte; leur înteosite e^l
plus faible que relie des rayons du premier arc, aussi ne sont-ils
que rarement visibles.

Du reste, on peut manifester facilement Texistence de ces arcs
surnuméraires en éclairant un jet d'eau avec une source lumineuse
intense : c'est ainsi que Al. Babinet a pu compter jusqu'à seize
franges à l'intérieur du premier arc et huit a Textérieur du second.

hb'2. Théorie de M. Airj. — Surfuee de ronde m Vi

senee de la gouUe. — La théorie d'Young indique les lacunes
qui existent dans l'explication complète de Tarc-en-ciel plutôt qu'elle
ne les comble. M. Airy a fait remarquer que la diffraction, bien plus
<pie les interférences, doit être regardée comme la cause du phéno-
mène. Kn effet, une onde plane cjui tomlx* sur une goutte d'eau y
éprouve des modifications telles, (|ue derrière cette goutte, au lieu
d'une onde plane, on a une onde courbe : M. Airy a cherché, par les
procédés employés dans Tétude des phénomènes de diffraction,
(|uelle est la lumière envoyée par celle onde, et les conclusions de sa
théorie ont été conlirmées par les observations de M. Miller.

Considérons une onde plane (|ui pénètre dans une goutte d'eau
et cherchons ce qu'elle devient à la sortie. Il est aisé de voir, da-
bord, que la surface de cette onde est de révolution autour du ravon
incident qui passe parle centre de la goutte, car tout est symétrique
par rapport è cette droite. Il sullit donc de considérer ce qui se passe
dans un plan méridien (pie nous prendrons pour plan de la figure.
Les ravons solaires incidents subissent une réflexion et deux réfrac-
tions, et leurs intersections successives à l'émergence forment une
caustique à deux branches. Soit SI ((ig. *i']^i) la position des rayons
efficaces de Descartes; les rayons <jui rencontrent la goutte au-dessus
du point I forment une branche E'Ffi de la courbe qui est asymp-
tote à la direction Vl\ des rayons efficaces émergents (car les rayons
infiniment voisins de SI tendent h «Hre parallèles à TR au sortir de
la goutte), et (jui de plus est tangente en F à la direction d'émergence
du rayon incident très-voisin de celui qui est tangent à la circonfé-

METÉOROLOr.lE OPTIQUE. 779

rencn. Quant aux rayons qui rencontrent la goutte nu-dessous du
point 1, ils ont, comme les premiers, une rotation moindre que celle
des rayons efficaces, et forment la seconde branche ADE de la courbe

asymptote à la direction d'émergence l'R prolongée en sens con-
traire, et tangente en A au rayon incident SA normal à la circoo-
fi^rence, lequel est la direction d'émergence du rayon eitréme.

On démontre, dans l'étude de la propagation des ondes lumi-
neuses, que, si l'on prend une développante de celte caustique, les
rayons partis en mém<^ temps d'une section droite du faisceau inci-
dent arrivent ensemble à la développante. Si donc on fait tourner
celte développante autour du rayon incident qui passe par le centre
de la goutte, on engendrera une surface qui sera celle de l'onde der-
rière la goutle. Celte développante, en verlu du théorème de Ger-
gonne, coupe orthogonulemenl les rayons émergents compris dans
te plan de la ligure; elle est donc normale h la direction d'émer-
gence l'R du rayon efficace au point 0, ou elle rencontre cette droite
ou son prolongement IT; son rayon de courbure devient infini en
ce point, d'où il suit qu'elle présente en 0 un point d'inflexion, et de
part et d'autre de ce point la forme HOL.

Pour trouver l'équation de cette développante, prenons pour axe
dns y la direction d'émei^ence OY (fig. 273) des rayons efficaces,
et pour axe des x une perpendiculaire à OY passant ])ar le point 0
et dirigée vers le côté d'oïl vienl le rayon incident.

S" i.K(.;n\s sLu i;oi'Tn,n k.

On [H'iil i-c|iréseiilci' hi «léxcloppnnti' |i;ir IVi|u;ili(jii

Nous pouvons ne prendre cjue
trois termes, car x est toujnurs
très-petit dans la portion de rourbe
que nous considëroas.

Comme l'ongioe des coordon-
nas e.st un point d'inflexion , on a .
pour j- — o .

ily , ,Py

i ' o et -T^, ■- o,

ce qui donne A ^ o , B ^= o , et l'é-
quation Ap In rnurbr> est

Il (:.,■■ :

rclli'HiiNil \n rormi-

IVIIe l'sl l'érpinlidii df la scirljini irn-rlilieniif MOL de 1» surfaci' de
l'oiiil*'.

^53. L» reck«rch« dr I'»«I1*m de ■'•Bd« éaiei^^Mt» ■•
raaièMe m c«lle de r«cti»ii d'un» ■«c<l*n naéridicBBc. —

On ilémoiitrc, en Mppliqunnl la iiu'lho<l<> suivie pour l'explicalion
des phénomènes di* iliil'raclion. qiii> l'artliiii ilc celU' ondo sur un
point éloit^né M, voisin du rayon ef{ican>,ost propurtionnellf à Tar-
tion ilu niéridinn dans l«> plan duquel se (^^u^u re point. Pour cela
on joint ce poini M à un point quelconque S de la rourlie méri-
dienne : si l'on considère le parallèle enjpmdré par le point S, on
\oit <|ue le poiiil le moins éloigné de M est le [lointS lui-même, el
si l'on |irend sur ce parallèle, à partir île S, des points tels que ta
diiïérenee de leurs distances à M soil éjjale à une demi-longueur
d'onde pour iifu\ points eunséculifs. nu aura décom|>osé le parai-

MKTKOROLOGIK OPTIQliK. 781

IMe en uiH^ série (rares tels que la diflérence <l(»s rayons vecteurs
émanés de M est constante. La grandeur de ces arcs dits élémentaires
décroît à mesure qu'on s'éloigne de S, et que leur obliquité croît;
donc la vitesse absolue des vibrations que chaque arc envoie en M
diminue quand la distance à S augmente; ces vitesses ont des signes
alternativement positifs et négatifs , à cause de la différence moyenne

de - qu'ont les rayons vecteurs consécutifs. Si m, m', m", .,. sont les

vitesses absolues qui correspondent à chaque arc, la série à termes
décroissants

1 — m + m — m" -f-

représente la vitesse totale des vibrations en M. La limite de cette
série est comprise entre i — m et i ; elle est donc une fraction de la
vitesse envoyée par le premier arc ou un multiple de la vitesse en-
voyée par le point S lui-même.

On trouvera de même que l'action exercée par un autre parallèle
est un multiple de la vitesse qu'envoie celui de ses points qui est
dans le méridien de M. Le facteur par lequel il faut multiplier la vi-
tesse» varie sans doute, puisque les différents points de la courbe mé-
ridienne ne sont pas dans les mêmes conditions; mais, dans une
étendue géométriquement peu considérable, on peut le regarder
comme constant; il en résulte que la vitesse envoyée par toute la sur-
face de l'onde est proportionnelle à celle qu'envoie» la courbe méri-
dienne. Et si l'on envisage les points peu éloignés de la direction
des rayons efficaces, on peut encore, pour tous ces points voisins,
regarder comme constant le facteur qui multiplie l'action de la
courbe méridienne sur l'un d'eux.

A5â. Action de la section mériclieiine de la «urfaee de
l'onde «ur un point situé dans son plan. — (îes considéra-
tions permettent de ramener un problème de figures à trois dimen-
sions a la géométrie plane : il suffira en effet de chercher l'action de
la courbe méridienne sur un point situé dans son plan et dont on
fera varier la position ; on aura ainsi la distribution des intensités
lumineuses à différentes distances des rayons efficaces.

Soit M un point (|uelronque dont /; et q sont les coordonnées :

782 LEÇONS SUH L OPTIQUE.

nous supposerons toujours M Irès-éloigné de la goutte et Irèfj-voî-
sin (les rayons efficaces, c'est-à-dire q très- grand par rapport à p. La
vitesse de vibration envoyée en M par un élément ds situé en S,
dont les coordonnées sont a; et y, est proportionnelle à sa longueur
ds et au sinus d'un multiple du temps. Si la vitesse de vibration en

un point de la surface de l'onde est représentée par sina^^tcettc

expression convient à toute la surface de Tonde d'après sa définition
même; et si l'on considère une onde sphérique issue de S à cette

époque t, elle ébranlera le point M qui est h la distance Sj à l'époque

S
t+Tj; on aura donc la vitesse envoyée par le point S en M à l'é-
poque ( en remplaçant, dans sinaw,jo t par '—y ce qui donne

ft S\

Sm QTT {rr. — ^- 1 •

Il faut encore introduire une fonction k de la distance S et de
l'inclinaison de MS sur I onde, ce qui donne pour l'ciction de l'élé-
ment considéré en S

kdss'\n9.7t Ij j •

De plus, la petitesse de l'abscisse par rapport à l'ordonnée et la
faible étendue do la courbe rendent l'inclinaison de ds extrêmement
petite, de sorte que ds = (lx\ le contact est en effet du second ordre.
Cette faible inclinaison est cause que l'angle de SM avec la courfw»
est sensiblement constant , et, comme la distance SM est extrêmement
grande et que ses variations sont relativement très-petites, le fac-
teur Av, qui dépend de ces deux quantités, peut être considéré comme
constant : la vitesse envoyée par l'élément ds au point M sera donc
proportionnelle h

dxsin fin f ^ — cj •

La vitesse reçue par le point M sera la somme des vitesses en-
voyées par chacun des éléments de la courbe, c'est-à-dire l'intégrale
de l'expression précédente étendue à toute la courbe.

MÉTÉOROLOGIE OPTIQIIK. 783

Il faut rpniarr|uor que IVM|iintion //"^ ^ri' q"<^ nous avons

adoptée pour In courbe, ne représente rigoureusenienl la section
méridienne de Tonde que dans une Irès-pelite étendue; il semble
donc qu'elle soit insullisante si Ton intègre en prenant des limites
infinies; mais comme les éléments éloignés n'introduisent pas de
changements sensibles dans les valeurs des intensités, il est peu im-

portant que l'équation y=-^ — rr-^ représente plus ou moins complè-
tement Tonde linéaire à une distance un peu grande de Taxe des y.
Prenons donc pour expression de la vitesse

V =^ I fjr sin *^^ I ^ ~" X ) '
en développant, on a

sm *i7r q-, I (l.r cos «îTr j — cos «îTr ?» I n^n sm tiTr y •

Or on sait cjue, si la vjlesse d'un mouvement vibratoire est repré-
sentée par

A sin •ITT rp — B cos '>7r TT,

et qu'on pose

i^ = lang6i,

cette vitesse peut s'écrire

V^V^MnP(^^sin.4---^

_^ÂM^sin(i7r^,--«)^
et Tintensité du mouvement vibratoire est A-^^ B*-^ T^.

455. Calcul de rinteiuiité lumiiieiuie eii un point quel-
conque. — C'est cette intensité qu'il importe de chercher dans la
question qui nous occupe; nous allons donc étudier la variation de

V^=( I (Ijc cos *î7r sr ) ' + ( I dx sin ûtt t j^
et calculer cette (juantité avec une ap|)roximation suffisante.

Vkrdrt, IV. — Conférences «le physique. ."io

78Û 1.EÇ0NS SUR L'OPTIQUE

On a

P = (.r - p)« + {y - (jY = />« + f- 'jp + ^'^ + jJJii + 9? £'
X ('4ant toujours très-potil, on peut négliger afi, et si l'on pose

jfl + yî ^ r«.

il vient

^•^ ^ fî - ../;.r + .r-i + ^^ = r'^ l i

3</.r^ _ ., I ' ' 3«* J _

en extrayant la racine rarrée d'après la formule du binôme, on
trouve

S^.

:ip.v - r- - —--

(!!:i;il)L...l

et en su|)|)rimant les termes qui contiennent .r à une puissance su-
périeure à la troisième,

d=-ri — S--» ; + T^n — — r + ~~ï — ^:r ) »

\ r^ rir* »wH iv^ ar 2f* /

OU encore

r 2r' l. ar^ .>«*cj

On peut simplifier celte valeur. En effet, - est la tangente de Tangie

que fait avec l'axe des y le rayon vecteur allant de rorîglne au point
011 Ton cherche Tintensité de la lumière, et cet angle est toujours

très-petit; on peut donc négliger les puissances de ^ supérieures à la
première et c se réduit alors à

en portant cette valeur dans l'expression de ^, elle se réduit à

On peut faire disparaître le terme en x^ en choisissant une nouvelle
variable x telle que

X=^X 1

29

MÉTÉOROLOGIE OPTIQUE. 785

il viont alors

et, on négligeant les termes qui contiennent le facteur —,■>

y*d<?signanl l'ensemble des termes indépendants de x'.

Telle est la valeur qu'on doit mettre pour S dans les intégrales;
du reste dx = dx. On a ainsi pour expression de l'une d'elles

p/.r'sin,.;^-i[/4-iî(.r'3-.Vex')]j-
Mais en changeant l'origine du temps, de sorte que

T X T'

l'expression se simplifie un peu et Ton a pour valeur de l'intensité
lumineuse au point M

+

[.P'-'-S;(-''-3«i-')]-^

Supposons a et X connus : les valeui's de ces intégrales, qui sont
définies, bien que nous n'ayons pas encore fixé leurs limites, dé-
pendent seulement de ^, tangente de Tangle des rayons efficaces

avec la direction suivant laquelle on cherche l'intensité de l'éclairé-
ment. On peut donc calculer une table des valeurs d^ t dans les di-
verses directions et étudier ses maxima et ses minima.
Pour effectuer ce calcul , on pose

6a'\ 2

5o

780 LEÇONS SI h f/OPTIQUE.

iVoù Ton (Irdiiil

X ---

tl.r - thr v'/ — •
Siihslilnnnt ces vjilpiirs dans le pivinier lerme de I*, on a

\

•^' ^ I (hviwS'. — r »r' .Wr' ir V ) ,

ou

\

Si Ton |)()>r
les d«'ii\ t*»rni«*s de l- (h^viennent

• — ;-- |^//rsin-(*H - iitir).

\

(li's infé}jra|ps, îiiial()|jii(»s n dos fonrtions d'ordre sii|)prioiir de l«i
vîirinble. jouisseiif de \i\ propriété suivante : si A* est une valeur Irès-

jjrande de ?r, on a I très-{{rand devant I .En effet, su|)po.sons

(urune valeur considérable de ?r rende, poin' une valeur constante
d«» w, Texpression ir^ - nnv é{jale à 'i// i . nombre assez {[rand en va-

leur absolue : le rosinus de - (f\}t i) est nul. Si alors on fait rrollr»*

tr jus(piVi ce qu(î ir^- m?i^ prenne la valeur '11/+ 1» le cosinus reste
positif dans tout cet intervalle. Si au contraire w crofl de sorte ijue
fv^ ■- m\v varie <le hn-\- \ \\ ^iw + 3, b*?* éléments de Tintégrale se-
ront tous négatifs. Pour de grandes valeurs de w, un trè.s-petil ac-
croissement de frsuflira pour produire ces variations, et plus w sera
grand plus seront petits les accroissements. La somme d'élémenls

MÉTÉOllOLOGlE OPTIQUE. 787

tous [positifs, résullanl de la variation de w depuis sa valeur initiale
jusqu'à tt' + Ajtt?, est égale à A^w multiplié par une valeur moyenne
de Télément. Soit M^A^w cette somme, résultant d'une variation

qui fait passer de ( f\n - i ) - à ( ^i'< + i ) r l'expression qui est sous
le cosinus: soit de même M.jAou; la somme résultant de la varia-
tion qui fait passer la même expression de (lm+ i) r » (A'*+ 3)-.

(les quantités AjW, A.jtr \ont en décroissant à mesure (jue w croît:
car si l'on pose

A ( tr^ — mtv ) = «
ou

( 3it'*- — m) A, «; = /<,

on voit (|ue A|U' est d'autant plus petit que w est plus grand. Ainsi
chacune de ces périodes oii le signe du cosinus reste constant donne
des termes alternativement positifs et négatifs et qui décroissent in-
définiment; on peut donc tout négliger à partir d'un certain terme,
romme nous l'avons indiqué.

Si maintenant on remarque que w est très-grand par rapport à A,
on voit que dans l'étendue de la courbe iv aura de très-grandes
valeurs, et, pour limites des intégrales, on pourra prendre — oo

et + oo .

Comme il s'agit de conqiarer les intensités lumineuses en di-
vf»rs points tels (pie M, on peut supprimer le facteur constant

^-~- et considérer seulement l'expression

V

I (Itv ros - ( w^ mw) \' +\ 1 fl^^' sin - (iir' — mtv) " •

L'intégrale du sinus de — co à +o^ est nulle; celle du cosinus
est égale à

div C0S7 ( iv^ — mw).

et comme les maxima et les minima du carré coïncident avec ceux
de la quantité même, il sullira de chercher pour quelles valeurs
de m cette quantité est maximum ou minimum. A est en effet une

788 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

fonction de m; on ia calculera pour des valeurs [positives et néga-
tives de m variant par dixième à partir de zëro , et , à rinspeclion de
la table, on verra dans quels intervalles sont compris les maximaet
les minima. On aura, en général, pour deux intervalles tels que

des valeurs de A telles que

Mais on peut dans ces intervalles représenter la fonction par une
formule parabolique a + bm + an^ et calculer exactement ia valear
de m qui correspond au maximum. Or, on sait que

aux valeurs de m <|ui donnent les maxima et les minima correspon-
dent donc des valeurs de - qui leur sont proportionnelles. On peut

donc déterminer sinon les valeurs absolues de -, du moins leurs rap-
ports, c'est-à-dire les rapports des tangentes des angles que font les
directions des rayons efficaces avec les directions des maxima et des
minima (réclairement. Crs rappc»rts sont indépendants des dimen-
sions des gouttes d'eau.

Â56. Résultots. — M. Airv a effectué une série de calculs de

ce genre; il a trouvé (jue, si m est négatif et d'abord très-grand en
valeur absolue, l'intégrale varie sans maxima ni minima et croit ra-
pidement quand m tend vers zéro; mais le maximum n*urrîve pas
pour m= 0, il correspond à une certaine valeur positive de m. Au
delà de ce premier maximum, on a, pour des valeurs positives et
croissantes de m, une série de minima et de maxima dont la valeur
absolue est moindre que relie du premier maximum.

De là résultent les conséquences suivantes : i" la déviation du
premier arc-en-ciel ne correspond pas à m = o, c'est-à-dire à la
déviation des rayons efficaces, mais elle est un peu plus |>ctite;
rà" |)Our des valeurs négatives de m, c'est-à-dire lorsque la déviation

MÉTÉOROLOGIE OPTIQUE. 789

est plus grande (jue celle des rayons efficaces, Tintensité lumineuse
diminue rapidement; par conséquent, l'éclairement à l'extérieur de
l'arc est très-faible à une petite distance ; 3** pour des valeurs posi-
tives de m, c'est-à-dire pour les déviations moindres que celles dies
rayons eflicaces, il y a une série de maxima et de minima de lu-
mière; le premier maximum produit le premier arc-en-ciel, et les
autres les arcs surnuméraires qu'on observe dans son intérieur.

^57. Warlatlen des dimeiMiieiui «nsulnires de Vmwm mwmm
le diamètre des «euties d'eau. — Ainsi la théorie de Des-
cartes nous induit en erreur et sur la position de l'arc-en-ciel et sur
les variations d'éclairement dans son voisinage. L'arc-en-ciel qui
correspond au premier maximum est toujours un peu intérieur à
celui (|u'indiquerait cette théorie. Il s'en rapproche si les gouttes de
pluie sont grandes, il s'en éloigne si elles sont petites, et les dis-
tances des autres maxima et minima suivent les mêmes variations.
En effet, on a

formule qui montre comment une même valeur de m peut donner

pour - des valeurs plus petites lorsque a^ augmente; or, il est aisé

de voir que a varie proportionnellement au rayon de la goutte. Con-
sidérons, en eiïet, deux gouttes d'eau de rayons différents r et r':
les sections méridiennes des ondes émergentes seront des courbes
semblables dans lesquelles le rapport de similitude sera le rapport
des rayons; par conséquent, si l'on désigne par a et a les valeurs du
paramètre pour les deux courbes, par a; et y, a;' et y' les coordon-
nées de deux points homologues de ces courbes, rapportées respec-
tivement à leur point d'intersection avec la direction du rayon effi-
cace pris pour origine, les équations des deux courbes seront

et on aura

x V r
X y r

790 LEÇONS SlJH LOPTIQUE.

On eu déduit

/• a
r a

Or, - varie en raison inverse de a"; il varie donc aussi en raison

inverse de r\ Donc, si le rayon devienl plus petit, - devient piub

;,n*and: les arcs surnuméraires sont donc d'autant plus écartés le^
nus (les autres que le diamètre des {joutles est plus petit, et. de
plus, Técarl entre le premier arc-en-ciel et la position que lui assigne
la théorie de Uescartes aufjmente lorsque le diamètre des gouttes
diminue.

En dét<*rminant Texacte position d'un maximum donné, on |iour-
rait déduire le ravon des gouttes de pluie; mais Teiïet produit {»ar
le diamètre du soleil ôte à ce procédé toute précision.

/i58. Càénérallté de te tliéorie de ni* Airy. — La théorie

(le M. 4iry se pnUe aussi \w\\ à l'explication des phénomènes que
|»résente»l Ws rayons (|iii sortent des gouttes d'eau après deux
réfractions et un nombre (pielcoïKpie de rénexi(ms. Si on Tapplique
au cas de deux réflexions, on trouve que le second arc-en-ciel cor-
respond à une déviation un |)eu plus grande (|ue celle des ravons
cHicaces de la tliéonVde Descartes, et (|ue l'écart augmente lorsque
le diamètre iU*s gouttes diminu(v. de plus, (pi'à l'intérieur de irel
arc l'intensité lumineuse diminue rapidement, et qu'à l'extérieur il
se produit une séri(* alternative de maxima et de mininui de lu-
mière (pii doiment lieu à des arcs surimméraires d'autant plus écar-
tés les uns des autres ipie les gouttes d'eau qui les produisent ont
un plus petit diam('tre.

La théorie de M. Airy a été vérifiée par les expériences de
M. -Miller. On [)ro(luisait dans une chambre obscure un jet d*eau
que l'on éclairait par un faisceau étroit de rayons solaires; on obser-
vait avec un théodolite un arc surnuméraire d'ordre déterminé doot
on reh.'vait h^s dimensions angulaires, on mesurait les tangentes des
angles ([ui corn^spondeut aux autres arcs, et, conmie ces rapports
(les tangentes sont théori(piemeiil déterminés et qu'ils sont indé-
pendants du diamètre des gouttes d'eau, il a été facile de coniprer

MÉTÉOROLOGIE OPTIQUE. 791

avec rexpérieiice les prévisions de la lliéorie et d'en démontrer Texac-
titude. Les vcritications failes sur des arcs naturels ont conduit aux
mêmes résultats.

Â59. Are-en-ciel Manc* — L'arc-en-ciel blanc est un phéno-
mène peu commun qui s'observe sur des brouillards épais se résol-
vant en pluie à gouttelettes très-iines. Il se manifeste sous la forme
d'un arc de cercle qui présente la couleur rouge en dehors et dont
le demi-diamètre apparent est plus petit que celui de Tarc-en-ciel
ordinaire; il varie entre 38" et /ji°,5, limite k laquelle il se con-
fond avec le premier arc-en-ciel. Bouguer a observé dans les Cor-
dillères que la valeur de ce demi-diamètre était descendue à 33%5,
mais aucune observation postérieure n'a donné un angle aussi
Faible.

L'explication la plus plausible de Tarc-en-ciel blanc consiste à
l'attribuer à l'action de la lumière sur des gouttelettes d'eau d'un
diamètre suffisanmient petit. Si l'on applique, en effet, la théorie de
Descartes com|)létée par M. Airy, on remarque que la direction du
maximum de lumière est d'autant plus éloignée de la direction des
rayons efficaces (|ue le diamètre des gouttes d'eau est plus petit. Si
l'on suppose les gouttelettes très-fines, l'arc tend à se rapprocher
du centre, et, d'après les calculs de M. Kaillard, le demi-diamètre
angulaire peut être com|)ris entre 4i",5, valeur correspondant au
premier arc-en-ciel ordinaire, et 35°, ce ([ui est conforme aux résul-
tats de l'observation.

11 est rare que les couleurs soient séparées dans l'arc-en-ciel blanc,
et cela tient à diverses circonstances. D'abord, comme dans l'arc
ordinaire, à cause des dimensions angulaires du soleil, le phéno-
mène observé n'est que la superposition de tous lés effets que pro-
duiraient les divers points isolés de l'astre : de là un mélange de
couleurs qui produit l'aspect blanchAtre de l'arc bordé seulement
d'une teinte rouge. De plus^ si^ les gouttelettes d'eàu sont très-
petites, la quantité de lumière réfléchie dans leur intérieur doit
être très-faible, et, l'arc étant peu intense, on n'en distinguera
pas la coloration. A cette dernière explication on peut objecter que
les gouttelettes étant très-petites réfléchissent, il est vrai, peu de iu-

792 LEÇONS SUR I/OPTIQUE.

iiiière; mais connue^ sous le même volume, il y en a un plus grand
nombre, l'ciïel total produit doit <llro le même que si les gouUo-
l(>ttes avaient les dimensions ordinaires. Toute diflTicultë disparate si
l'on remarcjue que les gouttelettes sont de diamètres très-différents :
chaque système de gouttes d'un diamètre déterminé doone lieu à
un arc particulier, et le phénomène que Ton observe» étant produit
par la superposition de tous ces arcs colorés, doit présenter une
teinte blanche uniforme, sauf sur les bords de la zone, où la colo-
ration doit être très-faible.

Bien que cette explication de farc-en-ciel blanc paraisse satisfai-
sante, il n'est pas sans intérêt d'indiquer une théorie qui avait été
|)roposée par Bravais. Supposons dans l'atmosphère des vésicules
aqueuses dont l'enveloppe, sans augmenter de diamètre intérieur,
s'accroîtrait extérieurement par suite de la condensation de la va-
peur, et qui auraient par conséquent une couche liquide d'une épais-
seur comparable au rayon de la cavité intérieure. Considérons les
rayons qui arrivent sur la vésicule : une partie de ces rayons, après
avoir été réfléchis à l'intérieur de la couche lic|uide, seront renvoyés
vers l'observateur; ils seront évidemment compris entre deux sur-
faces coniques^ Tune formée par les rayons tangents extérieurement
à la goutte, et l'autre formée par les rayons (jui, après s'être réfrac-
tés, sont tangents à la sphère intérieure. Si donc la couche liquide
est suffisamment épaisse, elle pourra laisser passer les rayons effi-
caces qui engendrent l'arc-en-ciel ordinaire. Mais, pour une épais-
seur moindre, il ne sortira de la goutte que les rayons compris entre
les deux surfaces coniques dont nous venons de parler et qui lais-
seront voir une large bande éclairée qui est l'arc-en-ciel blanc.

ni. PHÉNOMÈNES PRODUITS PAU L'ACTION DE LA LUMIÈRE
SUR DES CRISTAUX DE GLACE EN SUSPENSION DANS L'ATMOSPHERE.

/iGO. Pliéii^inéiiMi divers produits pur des erlstows de
ipisce. — Les phénomènes qui prennent naissance lorsque des
cristaux de glace se trouvent disséminés dans l'atmosphère ne soat
jamais isolés; il s'en produit le plus souvent plusieurs qui appa-
raissent simultanément, parce qu'ils dépendent de la même cause.

MÉTÉOROLOGIE OPTIQUE. 793

On donne le nom de halos a des cercles colorés qui se montrent
autour du soleil et quelquefois de la lune; le plus fréquent a un
demi-diamètre angulaire de 99 degrés. L'ordre des couleurs est
l'inverse de celui que [)résenlent les couronnes : le rouge est à
l'intérieur et le violet k l'extérieur. Ce phénomène, très-fréquent
dans les régions septentrionales, n'est pas rare dans nos climats;
on en note plusieurs par semaine dans les observatoires météorolo^
giques.

Un autre cercle, dont le demi-diamètre est de à6 degrés, entoure
le premier et présente les couleurs dans le même ordre: c'est le halo
de /i6 degrés.

Le phénomène le plus fréquent après celui-là consiste en un cercle
bbnc passant par le soleil et parallèle k l'horizon. On le nomme
cereh parhéUqtie,

Sur ce cercle se trouvent plusieurs images blanches ou colorées;
aux points où ce cercle rencontre le halo intérieur sont deux images
du soleil colorées en rouge en dedans. Ces images sont assez nettes
quand le soleil est à l'horizon; quand ii est plus élevé, on les ob-
serve un peu au delà de l'intersection. On les nomme parliélies.

Plus rarement on observe deux images analogues aux précédentes,
situées aussi sur le cercle parhélique, mais à l'int^section du halo
de 46 degrés.

Plus rarement encore, et toujours sur le cercle parhélique, on
observe d'autres images du soleil , c'est-à-dire des points oij se ma*
nifeste un accroissement bruscjue de lumière. Ces points n'ont pas
de position fixe. On les rencontre entre 90 et i4o degrés à partir
du soleil. On leur donne le nom de parantliéltes. Vantliélie est une
image blanche que l'on voit sur le cercle parhélique à l'opposé du
soleil.

En dehors du cercle parhélique se trouvent quelquefois des courbes
moins simples que les halos et le c^ercle parhélique. Du parhélie
appartenant au halo de fi9 degrés parlent deux arcs obliques que
l'on nomme arcs de LowUz.

D'autres fois, à la partie supérieure et à la partie inférieure de
chaque halo, on voit des arcs tangents qui, pour le halo de 99 de-
grés, se prolongent quelquefois et finissent par donner une sorte de

im LE(;()>S SUR L'OPTIQUE.

halo elli|)ii(|ue; le halo de 66 degrés présente aussi des ares tan-
gents, mais ces arcs ne se prolongent jamais.

Enfin, sur les cotés, on voit ((uelqucfois des arcs tangents supra-
latéraux ou infralatéraux.

Tous ces |)liénomènes peuvent cUrr» étudiés théoriquement.

il en est d*autres moins connus : ce sont des lueurs secondaires
(pii paraissent être les images des phénomènes ci-dessus décrits qui
se reproduisent autour de certains centres tels que les parhélies,
lesquels agissent connue des sources pouvant donner lieu à des phé-
nomènes analogues à ceux (pie produit le soleil, mais bien moins
intenses; ce sont des halos extraordinaires, des arcs circumzënithaui
situés au-dessus du soleil et qui semblent embrasser le zénith;
des halos inclinés sur riiorizon, des courbes passant par l'anthélie,
(>ntin des images du solc^il hors du cercle |)arhélique^ (|uelquefois
au-dessus, (juelquefois au-dessous, le plus souvent disposées en
série sur une ligne verticah».

Ces phénomènes ne peuvent s'e.\pli<puT par Taction de vésicules
ou de gouttelettes d'eau sur la lumière, comme les couronnes et l'arc-
en-ciel. De plus, ce sont des |)hénomènes produits le plus souvent
par réfraction, car la plupart sont diversement colorés: ils doivent
tenir à des particules réfrinjjentes peu fréquentes, puisqu'ils n'ont
qu'un éclat assez faible (piaiid on les observe dans nos climats, lisse
manifestent plus souvent en hiver (pi'en été, lorsque le tem[>s est
sec et qu'ajjparaissent des traces d(» cirrus, ces nuages les plus
élevés «|uc l'on observe souvent dans les régions boréales. Au pôle
nord ces phénomènes brillent tous les jours d'un éclat extraordi-
naire: l'u Finlande et à Moscou on leur trouve une complication et
une intensité inconnues dans nos pa\s.

(/est à l'eau congelée ou à l'existence d'aiguilles de glace dans
l'atmosphèrt» (jue Mariotte a eu recours pour expliquer quelques-uns
de ces phénomènes , et l'on a attribué les autres à la même cause:
mais on n'a pas évité toujours l'arbitraire et l'on a admis des angles
réfringents très-compli(|ués qui expliquent tout. Galle et Bravais
ont soumis ces théories à une discussion sérieuse, de manière à ne
plus laisser de doutes sur la valeur de Texplication de toutes ces
apparences.

rMÉTÉOROLOOIE OPTIQIIK. 795

/i6t. F^mie des crlAtauiL de (H<^«^* — D'abonl, quelle est
la foriDe fies aiguilles de glace? La glare est un corps biréfringent
il un axe, mais la différence des deux indices est très-faible; car
Brewsler a démontré qu'il faut une épaisseur assez considérable de
la lame de glace pour faire apercevoir les anneaux colorés dans la
lumière polari>>ée. L'observation directe montre que les cristaux de
glace sont rhomboédriques. Si Ton place, en effet, de la neige sous
un microscope, on trouve qu'elle présente des formes dérivées du sys-
tème rhomboédrique. Pendant les voyages dans les régions polaires,
ou même dans nos dimat.s lorsque la neige tombe en parcelles clair-
semées dans l'atmosphère, on a souvent l'occasion d'observer la neige
sous forme de flocons réguliers ou de cristaux groupés suivant des
lois très-régidières et appartenant au système du prisme hexagonal
régulier. Les formes cristallines de la neige se retrouvent aussi dans
la glace compacte; on l'observe souvent dans les stalactites de glace.
M. Marlins^'^ a constaté au Spitzberg l'existence de pavages ana-
logues aux pavages basaltiques, Scoresby, qui a fait sur ce sujet
des observations très-complètes, a reconnu qu'une forme cristalline
se rencontre plus souvent que toutes les autres, c'est celle du prisme
hexagonal, qui se présente sous deux aspects : ou très-allongé,
c'est-à-dire en aiguilles (|ui se produisent surtout par les temps
vaporeux et très-froids; ou très-aplati, c'est-à-dire en tables. Les
formes aciculaires et tabulaires sont donc prédominantes.

De la forme de ces cristaux de glace il résulte que l'on aura à
considérer trois espèces d'angles réfringents :

Angle de 60 degrés formé par deux faces non adjacentes;

Angle de 190 degrés formé par deux faces adjacentes;

Angle de 90 degrés formé par les pans avec la base du prisme.

De ces trois angles il en est deux dont la considération joue un
rôle important dans l'explication des phénomènes. L'angle de 1 90 de-
grés ne peut donner de réfraction, car un prisme ayant cet angle
produit la réflexion totale. Les angles de 60 et de 90 degrés don-
neront lieu à une réfraction et à une réflexion. On peut encore avoir
des angles rentrants par suite du groupement de deux cristaux.

Nous avons parlé de prismes hexagonaux dont les angles sont

^'^ VoyafrpH cti Scandinavie ^ Géographie phyt»i()ne, l. t, p. i 55.

7% LEÇONS SUK L'OPTIQUK.

(le 190 ()ogr(*s; ces anf^le» n'ont pflA Met mesofés, mskiê les (igam
données pnr Scoresby, comparées avec les observations faîtes à Taid^
de la pince à tourmalines, ne permettent pas de doute h cet égard.
Ces cristaux ont l'apparence de lames hexagonales; aux sommets de
l'hexagone viennent se joindre des lames hexagonales très-allongées
dont l'extrémité est terminée par trois branches. Ces figures ont tout
à fait le caractère de symétrie du système hexagonal, et des obser-
vations multipliées de ce genre équivalent bien à des niesnres
d'angles.

Nous supposerons d'abord ces prismes de glace distribués dans Fes-
pace d'une façon tout à fait arbitraire , et nous pourrons ainsi expli-
quer certains phénomènes. Après avoir déduit de cette disposition
indéterminée toutes les conséquences |>ossibles, nous supposerons
aux prismes des directions particulières qu'ils prennent de préférence
à d'autres, et nous essayerons d'exi)liquer d'autres phénomènes.

A 62. Bmpli€»«i«ii dc« ImiI«». — Le halo de 9 9 degrés a été
expliqué par Mariette. Si Ion suppose qu'il existe des prismes de
glace distribués dans l'espace d'une manière quelconque, il se troo-
vera toujours des prismes dont les arêtes seront disposées perpen-
diculairement aux plans que l'on peut mener par l'œil de l'obser-
vateur et par le soleil. Or le minimum de déviation pour un rayon
qui tombe sur un prisme de glace dont l'angle est de 6o degrés est
précisément égal k uu degrés. On conçoit donc que, dans toutes
les directions faisant cet angle avec la ligne qui joint l'œil au soleil,
on aperçoive un maximum de lumière. D'ailleurs, l'angle du mini-
mum de déviation étant moindre pour les rayons rouges que pour
les rayons des autres couleurs, il est clair que le halo devra être
rouge en dedans.

Le halo de 66 degrés a été expliqué par Cavendish ; il l'attribue
h la réfraction de la lumière h travers les faces inclinées les unes sur
les autres de 90 degrés; la déviation minimum calculée est de & 6 de-
grés. On explique le phénomène comme dans le cas précédent : les
couleurs sont distribuées de la même manière; mais l'angle réfrin-
gent étant plus considérable que pour le halo de 99 degrés, l'écar
tement des rayons réfractés est plus grand; il en résulte que te halo

MÉTÉOROLOGIE OPTIQUE. 797

(le /i6 degrés est moins lumineux, car la lumière» est disséminée
sur un anneau de rayon double et de largeur, double.

La lumière des balos est réfractëc sans réflexion; car on recon-
naît, en observant la polarisation dos rayons (|ui en arrivent, que
la lumière de ces halos est polarisée perpendiculairement au plan
d'incidence ou au plan qui passe par Tœil de l'observateur, le soleil
et le point du halo considéré, tandis que, dans l'arc-en-ciel, la lu-
mière est polarisée dans le plan d*incidence. (îomme vérification on
a cherché à déterminer l'indice de réfraction de la glace, connaissant
l'angle réfringent et les dimensions du halo de 66 degrés; le nombre
calculé s'est trouvé conforme à l'expérience.

Brewster a reproduit un phénomène analogue à celui qui nous
occupe en faisant passer la lumière à travers un grand nombre de
petits cristaux. Il employait une solution d'alun comprise entre deux
verres et produisant une multitude de cristaux octaédriques; la lu-
mière en les traversant donnait un cercle brillant, mais elle n'en
donnait qu'un, car il n'y avait qu'un angle réfringent.

â63. Oerrte parliéli^iie. — Les halos de â 9 et de /i6 degrés
sont les seuls phénomènes que l'on puisse expliquer en supposant
dans l'atmosphère des prismes de glace d'une direction absolument
quelconque. Pour rendre compte des autres phénomènes dont nous
avons parlée il faut supposer des prismes présentant une situation
prédominante; or la forme générale est ou aciculaire ou tabulaire;
ces prismes, sous l'influence de leur poids, tendront à s'orienter d'une
certaine manière : les prismes allongés se disposeront verticalement,
les prismes aplatis se dirigeront de façon que leur base soit verticale.

La réflexion de la lumière sur les prismes de glace placés dans
tous les sens, mais ayant leurs surfaces réfléchissantes verticales,
donne lieu au cercle parhélique. Si ces petits plans verticaux sont
très-nombreux, ils produisent sur l'œil la sensation d'un cercle en-
tier, lia réflexion sur les bases verticales des pristnes tabulaires donne
lieu au même phénomène. Cette explication du cercle parhélique
est due à Young. Souvent l'illumination éblouissante de l'atmos-
phère dans le voisinage du soleil empêche ce cercle d'être vu jusqu'au
point de rencontre avec le disque de l'astre.

798 LKÇONS SHR L'OPTIQUK.

llùà. IPmTËkéU^m. — FiCs parhélies ont éiîi expliqués par Ma*

riollp. Ils sont liés h IVxislence dos prismes cicirulaires vertîcaoi :
s'il existe un grand nombre de ces prismes, ils produisent les par-
hélies pour les minima des déviations. Concevons une série de
prismes verticaux dont les angles réfringents soient de 60 degréi»
Si le soleil est à l'horizon, les rayons solaires tombent dans une
section principale; la déviation minima des rayons qui traTeiMM
les prismes est de s>f) degrés, de sorte (pi'aiors les pariiélies aâal
non-seulement sur le cercle parhélique, mais aussi sur le InUdlp
f)» degrés. Lorscpie le soleil s'élève au-dessus de l'horizon, le aiMi-
muni de déviation croît juscprà une certaine limite; on comprMJ
donc j)our(pioi les parhélies ne sont pas sur le halo quand le sdeîl
est nu-dessus de l'horizon ot comment cette coïncidence s'établit
quand le soleil est sur le point de se coucher ou peu après son
lever. Conmie les diverses couleurs du spectre ont un minimum dp
déviation particulier, il en résulte que les couleurs s'échelonnent :
le rouge est le plus près du soleil; plus loin les couleurs se super-
posent et l'on a une queue blanche qui s'étale parallèlement à Fho-
rizon sur une longueur de 10 à *)0 degrés. Les parhélies sont plus
brillants que les halos, car les prismes verticaux sont plus nombreux
que ceux qui ont toutes les directions possibles.

Si l'on conçoit que les |)rismes, dans leur chute, exécutent de
part et d'autre de la verticale des oscillations dont Tamplitude soit
du reste très-petite, il résultera de ce balancement de Taxe des aiti»
obliques observés par Lowitz. dont ils portent le nom, et expliqués
|)ar Galle et Bravais.

Le |)arhélie de A 6 degrés est très-rare; les observations h ce
sujet font défaut et l'on n'en connaît pas exactement la place.
M. Bravais les regarde comme produits à 44 degrés par les par-
hélies de *î»> degrés qui agiraient comme le soleil.

465. Parantiiélie. — L*explication du paranthélie et de Tan-
thélie est un peu plus délicate que celle des parhélies. Ce sont des
points du cercle parhélique qui présentent une grande intensité.
Cherchons les modifications qu'il faut faire éprouver à un rayon
pour qu'il soit renvo\é dans une direction faisant avec la premièn*

i

MKTKdIUll.OCIK lininLK. IW

tii) ui)|;l<> CHiislatit : Il >>sl iii»'> ili^ voir <|imI siillir ili> dnix r<'l1<-\n>iis
sur deux laineN faisant q[aiom<>iil unliv elles un nnglo cousianl.

Su|)|>o.suris. eu efFel, un niyuu iuciileul SI (li}r. •jyà) qui tombe
sur le miroir DB. est rviivo\é suivant U'siir te miroir UC, et se ré-
H^hit suivant l'Ii; la dûviatïon du rayon e<il indépendante de l'anf^lo

rit. ■?*■ »■«■ •;■>■

d'inridenee. Kn effet, soieni i, i' les anf^les d'inridenco. l'ar la |)r*>-
mière réflexion le ra\on a loiirné de *! (90°- >). par hi seconde il
a tourné do 3 ((jn" — /'): la rotalion totale esl donc de

:f6o" ■I/+/J;
mais dans le trian|rle DIT on ;i

,!■„,■,

A.

La déviation est donr 3(i«° A , el par ronsé<|uenl elle esl la même
pour Ions les rayons. Par suite, s'il existe des conditions telles que
les rayons puissent éprouver deux réllexions. il en résultera une
Hëviiilion constanle. Or des prismes de j;lacc, groupés de manière
à présenter doux faces en roulacl, donnent lieu à des angles ren-
trants de 1 ■( o degrés. Les ra; ous incidents qui viennent se réfléchir
sur les dcuK Tares formant cet angle éprouveront aaé rotation de
3fio— i'Jo = 'j4o degrés. Il résulte de là que, ni l'on mène parl'œit
de l'observateur une droile passant par le centre du soleil et une
autre faisant avec la prcmièro un angle de 960 degrés, cette seconde
droite coupera la sphère en un point oïl l'on apereevra une Image
du soleil. On aura ainsi deux images placées sur le cercle pnrhélique
à tao degrés du soleil.

ViHur.T, IV. — (lutiti'ri^iici» ili> iiliY!iii|iii-. ■*>■

«00 l,K(.:il\S SliU [/Ol'TIQl'K.

L.'i rr'lloxinii sur les fai-os iiiliTtciircs du [iriKinn l)<>\n^on>il |h>ijI
(Iniiiicr linti iiu ininiii; |)li<''itoniGiic. Considi-rofiM un rayon SS ((if;. 97ÂI
nui pi'nètre |»ar ruiie di>s fiicrs du prisuii! cl vïi^nt se réfl<^chir à l'in-
It^rieuren I,.suriincnufre fiii'C, r-ii faÎNant avec la normale un anglep;
le nivon n^flrchi roncoutrora la faip adjacente suivant II' en faisan!
un anfjle p' avec la tiornialc à celte spconde face. Or, dans le
triangle lAI', on a

<)o"- p-4-(((>" p'-^ 1 Sn' - 1 9o".
d'où

p-hp -ISO".

Or l'angle d'incidence limile esl d'environ Sy degré»; »l rétnhp
de h'i <|iie l'une des deux réHexioiis à l'iulérieur du prisme sera to-
lîile. Si le rajDH émerge après avoir subi deux réflexions, il con-
riiiirra à hi production du paranthélîe: si le nombre dett réfleuanH
iju'il subit est impair, il ne sera pour rien dans l'apparUion de re
phénomène.

(ionsid<^roiis le ca,-. où le prisme aurail pour section droite un
triangle é(|iiilatéral : un ravon de iimiière tel que SI ((ig. 3y6) se
réfracle en I. et après deux réflexions
en R et U' émerge en 1' suivant la droite
rS'; la déviation, après ces deux ré-
flexions et ces deux réfractions, s'oIh
tient de la manière suivante : soKBti
cl r les angles d'incidence et de réfraC'
tion en I , p et fi' les angles d'incidflBCe
en R et R', enfin i"* ut r' les angles ifu*
cidence et de réfraction en 1'. La rota-
tion en I esl 1- r; en R elle est Je
iSo"- -'.p; en R' elle est de 180'— «p';
enfin en 1' ii y a une dernière rotatioa
de 1" - r. La rotation totale esl donc

;-,-+iH„- ;ip+,«o" -■(p'H-/'--i-'--i«0" + ;4-r.
i--l-p=tio". p + p'-lMi". .■■H-p'--(io".

MÈTÉOROLOCIK OI'TIQliK. 801

r^l la ilAintiori (>sl

3(;o"- 180" (/+(')=- iSn"-(/+,-').

Otte dévialion osl !tusci>|>lil)ip d'un minimum silué daa^i une di-
iTdion qui fait un angirdc (}8 degrws avftr celle des i'a)on.s solaires,
ce qui est bien la distance aii|;ulain> du premier paranthélie du
soloil.

A66. AnthéUe. — L'anfh^lie est une tarhe lumineuse blanche,
n'offrant pas un disque neltenieni terminé. Son diamètre excède
souvent le diamètre apparent du soleil. Pour expliquer ce phéno-
mène, on suppose que les prismes hexagonaux lamellaires se dis-
posent de manière à avoir leur axe crislallographique horizontal, el
de plus l'une des trois diagonales verticale. Considérons les rayons
qui, après avoir traverse l'une des quatre faces verticales du cristal,
se réfléchissent deux fois dans l'intérieur des quatre angles dièdres
de yo degrés formé.s par ces faces el ressortenl par la face d'entrée.
Il est facile de s'assurer que ces rayons donnent naissance à l'an-
tfaélic. Supposons, en effet, que le soleil se lève et que les rayons
incidents soient horizontaux ; faisons une section dans le prisme par
un plan horizontal qui sera le plan de la figure. Soit SIRRTS'
(fig. 377) la route du rayon deux fois réfléchi: d'après ce que nous
avons vu plus haut, la somme des
angles IRR', RR'r= i8odegrés; doue
les deux directions IR , l'R' sont paral-
lèles; il en est de même de SI et S'I'.
Des deux réflexions, la seconde ne
peut jamais être t,otale en R'; sans
quoi, IR étant parallèle à l'R', le
rayon ne serait pas entré dans la
lame, car s'il arrivait suivant RI il se
réfléchirait totalement en 1. Mais la première réflexion en R peut
^tre totale, et elle le sera si l'ao^e d'incidence en R est au moins
égal à hfj degrés. Dans ce cas le phénomène présentera un plus vif
éclat. Lorsque le soleil a une certaine hauteur au-dessus de l'hori-
zon, les résultats que l'on obtient sont à peu près les mêmes.

«Oi> LEÇONS Siilt l/OPTIQI K.

Sur les (l«»ssins des crislauv de jjlace o|}s(»rvés par Scor<*sby on
reinar(|ue des systèmes de stries parallèles, inclinés Tiin sur Faulr*»
de l'îo ou de (îo degrés. Ces systèmes donnent nnîssance à dw
rourbes obliques cpii passent par Tanthélie : c'est un phénomène
d'astérisino dont r<*\plicatlon «»st «lue h Rravais.

467. Ares tonsents. — Les arcs tangents ont été explîcfué»

par Young. Si, parmi les prismes dont les angles réfringents sont de
Go degrés, il en est un grand nombre h axes borizonlaux, ils don-
neront une infniité de parhélies dont l'un sera leparhéiie de 9*j de-
grés, et (|ui se |)rolongeront sous forme de deux arcs tangents au
halo et pouvant se réunir on constituant une courbe unique dont la
lorme déterminée par le calcul est uno ellipse; mais la portion in-
férieure et la portion supérieure sont plus visibles (|ue la partie
niojenne. ('/est Venturi qui a fait voir que le halo elli|)tique était
formé par la réunion des deux arcs tangents.

Lorsque ces prismes a axes horizontaux prédominent dans l'at-
mosphère, les pans de ces prismes ayant de petites dimensions
laissent donc passer |)eu de lumière; aussi Tintensité des arcs tan-
gents qu'elle produit est-elle très-faible relativement u celle du
cercle parhélique.

Les arcs tangents au halo de Mi degrés s'observent plus souvent
et ont plus d'éclat: ils sont dus à* la réfraction de la lumière parles
angles réfringents d(» ()0 degrés cpje présentent les prismes verticaax
non pointés, très-fréquents dans l'atmosphère. (îliaque système de
prismes dont l'arête (\st parallèle à une direction particulière dus '
le plan horizontal donne lieu à un point, et la série de ces points
forme l'arc tangent au halo, dette explication, donnée par Galle,
a été complétée par les calculs jdus développés de Bravais.

Les arcs tangents latéraux sont dus îi dos prismes labulaires'à
axe horizontal.

A 68. PliéiioinèBe» sceondalres. — Les phénomènes sui-
vants ont été rarement observés et mal mesurés : ce sont le plus
souvent des cercles dont le soleil n'est pas le centre, des parhélies
et paranthélies qui ne satisfont |)as aux conditions précédentes; on

METEOROLOGIE OPTIQUE. 80:5

les regarda comme des phénomènes secondaires produits par les
précédents.

Si Ton considère un point cjuelconque ap|)artenant à un parhélie, à
un halo, à un arc tangent, etc., comme une source lumineuse située
dans la partie du nuage générateur la plus voisine du soleil , ce
point lumineux pourra à son tour donner naissance à des parhélies,
halos, etc., dans le trajet des rayons à travers la seconde moitié du
nuage, celle qui avoisine Tobservateur. On aura ainsi des parbélies
secondaires, etc., que l'on sera quelquefois porté à confondre avec
les phénomènes primitifs d'une autre série.

h 69. JLrcs Bénltluiux. — Halos eiLtraordiiioirMU — il est

d'autres phénomènes, tels que certains arcs du zénith, que l'on ne
peut expliquer (ju'en admettant d'autres angles réfringents sur les
pointements des prismes.

On observe aussi quelquefois des halos extraordinaires don!
l'angle n'est ni de *i3 ni de /i6 degrés: ils sont dus à d'autres angles
réfringents que l'on pourrait déduire de là et comparer aux angles
que comporte le système cristallin de la glace.

àlO, Cotoimeti lumliiettses. — WmujL «•■•ils. — Des lueurs
blanches, verticales, semblables à des colonnes lumineuses, se mon-
trent quelquefois à l'époque du lever ou du coucher du soleil ou de
la lune; parfois même ces lumières accompagnent les astres dans
leur route sur la sphère céleste. Bravais attribue ces phénomènes à
la réflexion des rayons lumineux sur les bases inférieures de prismes
peu écartés de la position verticale. Si même il arrive que ces prismes
soient immobiles , ils forment un miroir parallèle à la surface ter-
restre. 11 en résultera une image blanche du soleil, circulaire et
aussi élevée au-dessus de l'horizon que l'astre est abaissé au-des-
sous. On aura ainsi un faux soleil qui descendra vers l'horizon à
mesure que le soleil s'éloignera du lieu de son lever. C'est ce phé-
nomène qu'a|)erçut le Hollandais Barentz dans le célèbre liivernage
qu'il fît à la Nouvelle-Zemble.

On aperçoit quelquefois des faux soleils en contact avec les bords
du vrai soleil, peu après le lever ou peu avant le coucher. Il airivc

HOa LEÇONS SLU l/Ul'TKiLE.

aussi que ios colonnes blanches sf* (iis|)osenl en «*roiv, re qui sc^niblc
prouver «[ue les phénomènes sonl dus à la réiloxioii de la lumièir
<lans des cristaux.

M\. Expérieiiee» de Bravais sur 1» rcpra#Mcii— ar-
llfieielle de ees plténamèneis. — Bravais a essavé de repro-
duire artificiellement quelques-uns de ces phénomènes, par exemple
les parhélies.

Ils sont produits par des prismes verticaux de 60 degrés dans
une position telle (|ue les rayons solaires soient dans la direction du
ujininium de <léviation. Comme on ne peut placer une infinité de
cristaux dans toutes les positions possibles, Bravais fixe un prisuie
de 60 de{rrés sur un axe vertical et lui imprime, à Taide d'un roé-
ranisme d'horlogerie, un mouvement de rotation assez rapide pour
pi'il fusse une centaine de tours par seconde. En plaçant ce prisme
devant une source de lumière, une bougie, placée à 7 ou 8 mètres
de distance et à la même hauteur (pie le prisme, dans une salle
obscure, on produit, en un instant unique pour l'œil do l'obser-
vateur, la série variée des positions des prismes verticaux de glace,
de sorte (|u'on devra apercevoir à travers le prisme tournant des
|)hénomènes analogues à ceux qu'offre, vu de loin, un nuage com-
posé de prismes de glac(» verticaux. On peut aussi réaliser ces ex-
périences avec un prisme de verre ou d'eau et se servir de la lumière
solaire, à la condition d'en affaiblir convenablement l'éclat. On
constate ainsi que, dans la direction qui correspond au minimum de
déviation, on a une image d'une intensité bien plus vi\e que dans
toute autre direction et qui représente le parhélie.

Pour observer le paranthélie. Bravais dispose sur le même axe
mobile deux lames réfléchissantes inclinées l'une sur l'autre de
60 degrés; il les fait tourner très-rapidement pour obtenir reflet
d'un i^rand nombre de svstèmes réfléchissants semblables, orientés
d'une manière queiccmque. On observe ainsi une image de la source
himineuse dans une direction qui fait un angle de t*jo degrés avec
la ligne (pii va de I'omI de l'observateur à la source. Dans toute autre
direction il \ a cependant aussi de la lumière réfléchie après une
M'ule réflexion.

MliTÉOHULOGlt: OPTIQUE. 805

l^our reproduire le phénomène de Fanlhélie, il sullit de faire
pénétrer un rayon lumineux dans un milieu réfringent limité par
des faces faisant entre elles des angles de cjo degrés. A cet effet, on
remplace le prisme tournant par une lame rectangulaire de verre à
arêtes verticales, et, pour éviter la multiplicité des images, on noir-
cit trois des faces latérales et on laisse a découvert seulement la
quatrième IV (fig. ^277). C'est par cette face que les rayons lumi-
neux entrent, et ils sortent après s'être réfléchis sur les faces R et
R' en suivant la route SIRRTS'. On augmente encore la netteté du
phénomène en dépolissant la face opposée à R, qui ne doit pas être
rencontrée par les rayons lumineux. On dispose l'arête d'intersec-
tion des deux faces R, R', sur lesquelles s'effectuent les deux ré-
flexions internes, suivant l'axe de rotation de l'appareil; et, pour
que la tête de l'observateur qui reçoit les rayons l'S' n'intercepte
pas les rayons SI, on place la bougie de l'autre côté de la lame et
on reçoit la lumière qui en émane sur un petit miroir vertical placé
à a centimètres de la lame et qui la renvoie sur l'appareil suivant SI.
En amenant le plan vertical du mirou* à être perpendiculaire au
plan vertical paissant par l'axe de rotation de la lame et par le centre
de la flamme de la bougie, l'observateur, placé immédiatement au-
dessous du miroir, voit se former dans la direction de l'axe de rota-
tion une image non colorée de la source lumineuse, et cette image
sera parfaitement lixe pendant le mouvement de la lame, si l'arête
de l'angle dièdre RR' est rigoureusement parallèle à l'axe de rota-
lion de la lame.

On peut imiter aussi les arcs obliques de l'anthélie. A cet efl'et,
on remplace la lame précédente ou le prisuje tournant par une
lame de verre disposée verticalement et par conséquent parallèle
à l'axe de rotation de l'appareil. On produit à sa surface un sys-
tème de stries parallèles en passant, dans une direction conve-
nable, le doigt légèrement graissé : il convient que les stries soient
inclinées de 35 degrés environ sur le plan de l'horizon; il est indif-
férent, du reste, que Tune des faces de la lame ou toutes les deux
portent des stries, pourvu que dans ce dernier cas les deux systèmes
soient parallèles. Lorsqu'on fait tourner la lame en face d'une
source de lumière et qu'on regarde cette source à travers la lame.

806 LEÇONS SLR L'OPTIQUE.

on voil dos strirs liiniincusos diverger de la source. Si la source
lumineuse est dans le |)lan horizontal (|ui passe par le centre de la
lame, la croix est formée par deux arcs de grand cercle qui se
roupeni suivant des angles latéraux de iio degrés; Tangle sujx?-
rieur ou de raccordement est donc de -70 degrés, double de rin-
clinaison des stries. Si la bougie a ime élévation de 90 degrés au-
dessus de rhorizon , les arcs obliques se rapprochent de la verticale.
(ielte expérience e\pli(|ue les croix de Saint-André que l'on a vues
((uelquefois passer |)ar le centre du soleil. Le même phënoniène
j)eut se produire sur l'anthélie. Pour cela, il suffit de tracer des
stries sur la l*ac(» d'entrée des rajons (jui pénètrent dans la lame qua-
drangulaire d(» \erre (|ui nous a servi pour r(»produire le pliénomène'
de l'anlhélie. \lors l'image anthéli(|ue de la bougie est traversée
|)ar dos arcs lumineux en sautoir, absoITiment pareils à ceux de Fcx-
périence précédente: seulement la clarté de cette image est très-
amoindrie par la formation des deux arcs obliques.

Tous les phénomènes cpii dépendent de prismes à axes verticaux
peuvent se reproduire avec la plus grande facilité. Si l'on veut, par
exemple, imiter l'arc tangent circumzénitbal qui est a 46 degrés du
soleil, il suffira de fermer la base supérieure du prisme a eau |)ar
une lame de verre à faces parallèles, en excluant avec soin toute
bulle d'air, puis de diriger sur la bsae supérieure du prisme un
ra\on solaire plongeant incliné de lô à 90 degrés sur rhorizon.
(]<» rayon, pénétrant |)ar la base supérieure du prisme, sortira,
après deux réfractions, par les faces latérales, en se rapprochant de
la verticale, rt si l'on place I'omI |)rès de la base inférieure du prisme
et (jue Ton regarde vers le haut, à travers la face latérale, on aper-
cevra sur le plafond de la salle un bel arc-en-ciel présentant le
roug(î en dehors et le bleu à l'intérieur. Le phénomène aura le
maximum de netteté si l'on a noirci deux des faces verticales du
prisme tournant pour éviter la superposition imparfaite des arcs
produits par les trois faces qui se présentent successivement, pen-
dant la rotation du prisme, devant l'œil de l'observateur. A défaut
de lumière solaire, on pourra se servir commodément d'une bougie
(|ue l'on disposera dans le voisinage du prisme tournant, mais un
peu au-dessous : en |daranl l'o'il au-dessus du prisme, on recevra

k

MÉTÉOROLOGIE OPTIQUE. , 807

la lumière (|ui, pt^notraiil par la faco lalrrale du prisiiK;, sorl par
la base supérieure, et l'on observera les mêmes phénomènes.

^l72. OlMiervatlOB •ImulteBée de «es pliéii«iiiéiie« et
de particules §s:lm9éem dans l*atiiiiMiplière« — Ctreoiuitkiiees
de leur produelion. — Nous avons rendu compte des phéno-
mènes qui précèdent en admettant la présence de particules glacées
dans l'atmosphère. A cet égard, les relations de voyage dans l(»s
régions boréales fournissent de» nombreux témoignages. Suivant
F. Martens de Hambourg ^*\ Tun des premiers voyageurs qui aient
fait des observations au Spilzberg, î^les frimas tombent de la même
manière (|ue la rosée, la nuit, dans nos climats. On les voit plu»
distinctement quand le soleil darde ses rayons vers un endroit
ombragé. Toutes ces parcelles brillent comme des diamants et pa-
raissent comme ces atomes que Ton remarque lorsque le soleil

luit. 77

Eilis à la baie d'Hudson, Parry à Port-Bowen, Brandes, Kaemtz
sur le Faulhorn, ont vu des halos et en même temps des aiguilles
de glace (lotlanl dans l'atmosphère et brillant au soleil.

Les nuages sur lesquels se forment les halos sont toujours des
cirrus plus ou moins légers, quelquefois des vapeurs neigeuses qui
communiquent à l'atmosphère un éclat particulier que Tœil a peine
à supporter. Situés dans de hautes régions où règne un froid éternel,
ces cirrus peuvent se montrer en toute saison, même sous Téquateur.
Mais c'est seulement en hiver, par des temps froids et calmes, que
les nuages générateurs du halo peuvent quelquefois s'abaisser jusqu'à
terre et se laisser voir à une petite distance.

Lorsque les couches élevées de l'atmosphère sont saturées d'hu-
midité, au-dessous de zéro , le moindre abaissement de température
détcTuiine la précipitation de la vapeur d'eau à l'état cristallin.

Dans le cas général, cette précipitation a lieu d'une manière con-
fuse; les particules cristallines se groupent irrégulièrement. Les
nuages ainsi constitués sont blancs et doués de pouvoirs réflecteurs
considérables; ils absorbent la plupart des rayons qui les tra-
versent. Au commencement on voit apparaître une vapeur laiteuse,

'•' llpUoimi ties mifrti(r8 tui .\tn'fl j i. il, |i. •'»-.

808 I.E(;ONS SLU L'OPTIQUE.

un voil(^ uiiiforiiie sur le riel, d'un éclat éblouissant. Dans un état
[)lus avancé, ces nuages se disposent en longs (ilamenis^ en cirrus.

Mais si la condensation se fait d'une manière lenle et régulière,
il se produira de préférence telle ou (elle foriuo de cristaux. Si,
par suite de l'agitation de l'air et de l'égalité de leurs dimensions
dans tous les sens, les cristaux n'ont aucune orientation , ils donnent
lieu aux halos de sa et de 46 degrés.

S'il se forme des cristaux à axes allongés qui tombent lentement
dans une atmosphère calme, l'une des pointes dirigée vers le sol,
on voit alors le parhéliede sâ degrés, son parhélic secondaire, l'arc
tangent horizontal du halo de ^16 degrés, le paranthélie de 1 90 de-
grés et le cercle parhéli([ue.

S'il y a en abondance des cristaux lamellaires hexagones tom-
bant dans l'air suivant le plan de leurs bases, on verra un halo de
tia degrés dont la partie supérieure et la partie inférieure sont plus
lumineuses <}ueles parties latérales, et on apercevra en même temps
les arcs tangents horizontaux de ce halo, les arcs tangents latéraux
du halo de /i6 degrés et le cercle parhélique.

Entin les cristaux lamellaires ont (|ueiquefois une structure telle
que la chute se fait suivant une des trois diagonales. Dans ce cas Sf*
produisent les arcs tangents extraordinaires du halo de ^a degrés,
le parhélie de /i6 degrés, Tanthélie, etc.

Le cas des balancements, l'accroissement pendant la chute, un
commencement de fusion établissent des passages entre les appa-
rences diverses que nous venons de signaler.

Il ne parait pas que ces phénomènes dépendent d'une force di-
rectrice autre que la pesanteur; si les axes des cristaux étaient dirigés
soit par la force magnétique, soit [)ar l'action des rayons solaires,
le parallélisme qui en résulterait se traduirait aussitdt par des mo-
difications d'un certain ordre dans les phénomènes optiques dus «
CCS cristaux; or. on ne découvre rien de semblable.

Mi. Formes diverses que peut prendre un ^a1«« — Il

n'est pas possible de représenter par une seule figure la série com-
plète des formels (|ue |)eut prendre un halo complexe, par la
raison (|ue ces formes vari<'nl avec la hauteur du soleil au-dessus de

METEUltOLOGIE OPTlnUli.

I*l)orizoii : mais en clioisisbaiil ijuatre termes de |>atihiif;c uit reproduil
à peu près la série tien phéiioiiièDeH,

1° Supposons le soleil à une liauleur de i degré (fig. 1178). Le
haio le plus complexe possible se compose alors du halo de ua de-

grés, di- (-irliii de !t6 degrés, de Turc tangent supérieur au halo de
•is degrés, de la lueur verticale el quelquefois de deux Taux soleils.

■)" Si la hauteur du soleil est de 18 à 40 degrés (fig. u^t)), ou
peut voir le balo de -la degrés avec son arc langent supérieur,
celui de h6 degrés avec son arc tangent supérieur et ses arcs laté-
raux, te lercle parhélit|ue avec les parhélics de -jt) degrés, les pa-
ranthélies de l'jo degrés, l'anlhélie et une double croix qui passe
alors pur l'anlhélie, enfin une lueur verticale.

3° Lorsque la hauteur du soleil est de A5 degrés (lig. -t8o), on
peul observer le halo de to degrés avec son halo circonscrit, le
lialo de Ati degrés avec ses arcs tangents latéraux, le cercle parhé-

liquf.- avec les parhélies extérieurs au halo circonscrit, les [>aran-
ttiélies de i90 dcfp'és, l'anthélic et la croix à quatre branches de

810 lUBLIOGRAPlilK.

/i° Enfin, si la hauleur du soleil esl di» GT) degrés (lig. -181),
on pcul voir le halo de *j'i dcjfrés, le cercle |)arliéliV|ue avec les
paranlhélies dr i*Jo d(»jjn»s i»l un«» partie du halo de» 4(> degrés,
ordinairement réduit à sa partie infériiuire avec son arc lani^nl
inférieur.

Un halo c{uelcon<pie se nianilestant, il suUira de jeter les \eu\
sur ces ligures |)our se rendn* con)|)te des diverses courbes ou ta-
ches- lumineuses qui raccompaj^nent. el, si quelque partie du mé-
téore échappait à cetti* comparaison, elle rentrerait dans la classe
des phénomènes plus rares dont nous avons parlé.

HIULMMinVIMIlK.

REFRACTIONS AT.MOSPIIERIQIKS KT TERRESTRES.

lOiy. ScHEiNER, HefractioHcs cœlestett ëivr ttolis elUplici pkœnoineHa iUustm*

tum,elc., Iiigolstadt. 1617.
16^!!. (lAssKNDi, De apparente ina^niludinv ëolitf hutnili» ac ëubliini» quaiMor

epistolœ, Parisiis, lOnu
1 660. (jAssini . ObservHlions sur lu l^ible dos réfractions et des |Uirallaxes

du soleil, Méin, HeVAcnd. tien se,, ir)66. t. l, io5.
!<)()(). HicHER. Observations sur la distance véritable des tropiques et sur

les réfractions et les parallaxes, Mém, de l'Acad. den se, 1666.

I, lit.
16(^7. BiLBERY. RelVarlio solis inoccidni in septentrioiialibiisoris, jussu se-

renisftinii ac potentissiini priiicipis Caroii K. circa ëobiiliuni «9i\-

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Trans, f. 1697, 78 1.
iG9(). LowTHORP, An experimoiil ou tlic refraction of the air. Pkii. Tmns.

f. 1699. 339.
1700. (i4f»i?ii. Réflexions sur les obsenations de9 J'ëfractîons faites en

Bothnie, Mrm, de iWrad. des se, 1700, Sg.
1 700. Cissm fîls. Expérience de la réfraction de Tair faite par Toitlre de la

Société royale d'Angleterre, 3/em. de VAcad, des «c. 1700, 78.
170*^ Hallev, On the allowances lo l>e made in astronomical observations

for llie refraction of the air, etc., PhiL Trans, f. 1704.
1700. C\ssi!M, Réflexions sur les observations envoyées à M. le comte de

Pontcbartrain par le P. L*aval sur les n^fractions aslnnioniiques.

Mrm. de l'Acad. des sr., 170G. 7^.

BIBLIOr.RAPHIK. 811

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dans la zone lorride ( premier mémoire), Mêm. de l'Acad. des se. ,
1739, /107.

17^. HouGOER, Second mémoire sur les i^éfractions astronomiques obser-
vées dans la zone torride, avec diverses remarques sur la ma-
nièi*e d'en constniii-e les tables, Mém, deVAemi, des se, 17A9,
70, 77, 84 et loa.

17.VJ1. Dr la Caille, Observations sur les réfractions astronomiques, avec

la table pour corriger les hauteurs observées au cap de Bonne-
Espérance, Mém. de VAcad. des se., 175*1 , 4ia,

1755. De LA Caille, Recherches sur les réfractions astronomiques et sur la

hauteur du pûle à Paris , avec une nouvelle table de réfractions ,
Mém. de VAcad. des se., 1755, 0/17.

i-lio. SamlelDcnx, An acconnl lo assign llie cause \>hy tlie sun and

moon appear to tlie nakeil eye larger thnn they are near the ho-
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1781. M AVER , De refracùombus astronamicis , Altorfî . 1781.

1797. HuDUART, Observations ou horizontal refractions which aiïect the

appearance of ten*estrial objects and the dip or dépression of the
sea, PhH. Trans. f. 1797, û^.

1798. Lathaii, On a singular instance of atmospherical réfraction, Phil.

Trans. f. 1798, 307.

1799. k RAM p, .1 nah/se des réfractions antronoiniques et terrestres , Strasbourg ,

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1799. MoNGE, Sur le phénomène d'optique cennu sous le nom de mirage,

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1799. ViNCE, Observations on an unusual horizontal refraction of the air,

with remarks on the variations to which the lower parts of the
atmosphère are sometimes subject, PhU. Trans. f 1799, i3.

1800. W. H. WoLLASTOii, On double images caused by atmosphcrical re-

fraction, PhiL Trans. f. 1800, ^3g.
1800. (iiLBRRT, Beobachtungen des General Boy 's, Dalby's und mehrerer

Astronomen ûber die Grosso der irdischen Strahlenbrechung und

die Vertiefung des Seehorizonls , Giib. Ann., III, â8i .
1800. Bûscii, Beobachtimgen ûber die horizontale Strahlenbrechung und

die wunderbai*en Erscheinungen welche sie bewirkt, Giib. Ann.,

m, 990.
1 800. Gilbert, Beobachtimgen besonderer Sti*ahlenbrechungen von Bosco-

wich, Monge und RIlicot. Giib, Ann., III. 3oo.

8)2 ItlBI.IOGRAPHIH

iKoi). fÎRnBrB, Theni-ie iler mil Spieglung vertiuiulnfn Scnknnj

bung der Objeclp am Ilomont. 6'i'A. Ahu., 111 . à3g.

i8uu. HuK, Eine merkwûrdige Eirscheinung durch iuig«nôhnlî

lenbrechung, Gilb. An*., V, 370.
iKiii. TioisgE, Lettre ù M. Mongeaur un phénomène d'nptiquei

rage, Aiut. He chimie . (1), \XXIX. an.
1 804 . ^^ KEOE . Bemeikungen ûl>er eiri an den Ringmauern von E

bachletes opLiftche» Phânomen. Gilb. Ahh., XI. &91.
i8oit. Glo^E^K. Wunderbai'e Phânomeoe nach Arl der Fata

Gi7(. .4hh.,XII. i.
tHo'À. llHA^DEs, Leber Stenigchnnppen nnd terreslrische Strahlenl

Gi/t. ^im.,XIV, aSo.
i8n^. <iiL>BBT, Einige Bemerkungen lu Dalton's Versucben âber

dehnung der expannilietn Ftûssigkeiten dureh Wârm

Aen t'olgerungen die Dallon sus ihnen lîebt, Giib. Ai

966.
180.1. WoLLtriTON, Obsena lions on the qnantily cif horiionlal n

uilhamethodornieasm^ngtbedipatsea.i'Ai/. Tra»t. t.
i8o.^. Bha-jdeb. beobacbtungen ûW die Slrahlenbrechuog mng

Ecknarden an der Jabde. Gilb. Inn., VVIl, 139, etW
i8o5. Oastberu. {Jeber Aie Kala Moi^na und âhniiebe Pbânomt

^H-i., XVII, 18a.
i8o5. L1PLIC8. Héhavliaaa aelioaom'Kjaes. Méeani^ e^U, ï\

i8ori. KsATinES, Fortgesetzte Beobaclitungen iiber die irdische I

brwhnng. Gilb. Ah«., XX,3/i6.
1 8<>r.. Kbie^. IJeber Lufl-Spiegelung. Gilb. Ann. . XXlll , 3fi5.

1 8ntî. Rbandes . Ëlnige krilische Bemerkungen zii den in den Ani

liodlichen AuOmUen iiber die irdische Strablenbrecfa

Nacbrichl von der Vollendiing .leiner Refraclions-Beo

gen, G.tt. ^n«., XXlll. ;t8o.
1807. Voiiivc, Remarks on looming or horiionla) réfraction, .V

Jour,,., VI, hb.
1807. RioT, Sur l'influence de l'huinidi(é el de la cbaleur dans it.

lions atmoBpb^ques . Mém. de l'Intût. , V'III , 9' pari. ,
)8ii7, ItELtHBBE. Rapport sur les nouvelles rechercbea relatives àl*

de l'bumiditi' sur les rérroclioiiB astronomiques, Gd

XXVlI.Ug.
1 8fl8. De HiîHBoLDt, Essai sur les réfractions astronomiques dam

lorride, correspondant a des angles plus petits que to <

considérés comme elTets du décroissement du calnriqu«

,(ePhy».,\.\\\. Zii3.et6;/6, .4wi.. XXXl, 33; (.805
t8o8. <iii.BEBT. Enu-Iieinung eiuer klippe in der l.ntl diireli luriit

frneSirahlen. Gilb. .^h.,.. XXX. to...

lUBLIOGRAPHIE. «13

1808. Ressel, llober clic Wirkung der Slrohlenbrochnng lici Micromeler-

Beobachlungen , Mm. Corresp, von Zaeh, XVII.

1810. BiOT, Sur les réfractions extram^ituiires qui s'observent pris de V ho-

rizon, Paris, 1810, et Métn, de VInstit,, X, 1.

1810. Brandes, Darsteliung seiner Untersuchiingen ûber die irdischo

Strahlenbrechiing und uber die sogenannte Lufl-SpiegeiuDg ,
GiW. lnn., XXXIV, i33.

1810. Maskblyne, Observalions on atinosphericai i^efraction as il aiïecfft

astronomical observations, Phil. Trans. f. 1810, 190.

1819. BE>zE>BER(i, Ueber den Einfluss der Dallonschen Théorie auf die

Ijehre von der astronomischen Slrahlenbi*echung, Gilb, Ann,,
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1819. Vi\cE, On a verv remarkalile efï'ect of refraction observed al Roms-

gâte, Trans, ofthe roy. Soc. o/Edmb,, VI, 9 45.

181^1. (iRooMBRiDtiE, Some further observations on atmospherical réfrac-
tion, Phil. Trans. f. t8i'4. 887.

i8tV Dangos, Beobachtungen ïd)er die irdische Strahlenbrechung ange-

slellt auf der Insel Multa , Mém, des Sav. étrang. , 1 . 463 . et
GilLAnn,, XLVII, /i'19.

181 5. liEE, On the dispersive power of the atmosphère and its eiïect on

astronomical observations , Phil, Trans, f. 181 5, SyS.

1816. Bessel, Schreiben an Bode uber Refractionstafein , Bode astr. Jahrb,

f. 1816.
1818. Kromann, Beobachtangen iiber die irdische Strahlenbrechung und

uber die sogenannte Lud-Spiegelung in den Steppen des Sera-

towschen und des Astrachanschen Gouvernements, Gilb. Ann.,

LVm,!.
1 8-).o. JuRiNE, Note ^ur un phénomène de mirage latéral . Journ. de Phys,,

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i8*M. SooRBSBY, Description of some remarkable atraospheric rellections

and réfractions, Trans. of the Roy, Soe. of Edinb.. IX, 999.
i8*i!9. IvoRY, On calculating astronomical refraction, Phil. Mag., IJX

(1899), LXIII (189/i), LXV (1895), et LXVIII (1896).
1898. Plana, Recherches analytiques sur la densité des couches de Tat-

niosphère et la théorie des réfractions astronomiques, \îetn. di

roniio,(i), XXVII (1893).
18*^8. IvoRY, On the astronomical refraction, Phil, Trans, f. 1898, 409.
i8*t8. Bessel, Ueber den Kinfluss der Dichtigkeit der Lufl auf den Gang

der Uhren, Astr. Nachr., II (1898).
1893. Bessel, Ueber Refraction, Astr. Nachr,, II, 38 1.
189 A. VouNG, A fînite and exact expression for the refraction of an atmo-
sphère uearly ressembling that of the earth, Phil. Trans, f. 1 8^4 .

1:19.

h inrïMniiRAIMIIE.

ùli. KesMEi., Ueber <len [iiiilliiits iler Slralilenhi-echiiDj; nul'

Beobacbtiingen , Aëtron. NaeKr., III. n* ti<).
^k. F0R8TBR, On ilie vnrifllioii uf rclloclive r^mclion am

poner of tire udiiospliGi-e, l*kil. Sfag. , \\\ l.
').'i. Hk»i3el. RerhnungsbeiHpipt xu dem AufaBUe tiber den I

StraUenbrecliimg auf Micromeler-KenhacbtungMi ii

Asir. Nnchr.. Aflr. \ackr., 1\, n' 7S.
■)ti. P*niiT ot FosTRB. Observa liodi' lo ilelemiine the amoili

phei-ical reTrarlian bE PortBowpn io tbeyeare iHa^i-

Tran». {. i8fl6. ao6.
iG. ËEssiL, Ueber dif> astronomische Sirahlenbrechung,

Jahrb. f. 1896.)). ^iG.
37. Fmtru. Correclion to tbe reductiontorLieuleDimtFosIe

lions on ntiiiospherical rerrndioii al Port RnH'4>o , elc. .

r. i8!i7. lan.
'II. S<:nHEsBv. Dnïcriiilioii of ssomr rcmarkable elTeclit ofiiiet

lion ulKMTvnl at Uridlingtnii ([uoy in Ibo Hnmmer of 1 1

o/ike Hoy. Soe. 0/ Edinb.. W. 8.

16. ItioT. Mt^inoire snr Ips r^fraclions aiilronomiqiios , Ciomf,

III. -t37 et.io'i.

17. BtiKusg, Iteiling znr Tbeorii! astmnomiitchei' Sti'flhlei

Aitr. \fl«Ar..XV. n':t'i.t.
Î8. BioT, IWinarques sni- qnelqncs puinis d'nii«> diftcnssion é

In 7' rëuninn de l'AiiHocialion britannique pour l'nvan

itciences, snr lt> cnlrnl d(N if^frartinns astronmuiqne

rfudia, VI , 71 .
t8. BioT, Snr la vraie cuiislittilioii pbysiqne de l'atmospli^

Complet reudut , \\. •i'i^t . ^90 et /17g.

18. Fiss. Ceber eine Cdeicbnng llint'g ITir die Refi-actionsd

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Viead.iUSMHl-Pfteriib., IV (i8:tH).
18. KoHx. (In ibe llieurv of asironomical i-eTractionit. Pkii
i838. ititj.et 1839. jtiS.

18. BioT, Sur la niefinre tliéoriqne et expérioientale de la r^

trunontiqtie , Compte» rendus, VII, TiftS et 8^8.
tçj. RiTTEM, RecbercbeK analytiques sur le problème des rëft

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If). LiouviLLK, Rapport sur ce méuioire, Comptet rendu», I>

[9. Pi.ss, INnte sur les causes et l'elFet de l'in^le i^rmction (

sure simultanée des bauteurs lerretitres. Bull, teient,

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19. BioT. Sur les réfractions astrononiiqneti, .JMhom h laC

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i85^i. BiOT, Sur les réfractions astronomiques. Comptes rendus, \\\I\.

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i8S5. Plana, Mémoire sur la connexion entre la hauteur dé l'atmosphère

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i855. BioT, Sur les réfractions astronomiques . Comptes rendus y \h, 83.

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Verdrt, IV. — Conl"éronr«»s île physique. ôa

HKi RIRMOCKAPHIK.

iH'U). FoRnK^. Fliénoiiiène opliipio ili» In viifieiir rf'iNiii. flomplrt tta^m.

Mil. 175.
iS/10. JUkinkt. Noilvoiiii )K»iii( iKMiln* iLiiis liilnifisphèn;. (luinplfê renÂw,

\l. (H 8.
iM'io. KoKBKS. On llu* coloiii-s of slt*«iii iiiMitM' (*er(«tii circiiinslaiices (R**-

M»«HrlM»s on lu»«l. SIM*. III ). Tititêft. of tke roy. Sftr, ofEtiitth.. \l\.

iHho. KoKHKs , Tlit* coloui*s of (lie iilinospben* ( Kedf'OiTlM^s on Uoai . spr. III >.

TraHM. iif tke roij. Sor, uf Edinh,, \IV, Syo.
i8/i>>. KoKKKs. On tlio lrai)sparenc\ ofthe alnioëphere and ihe luu oTmi-

tinclioii of the soliir ni\s in pciftsing tlir<Mi|r|i il. Pkil. Tnm.

f. i8'i*i, QaT).
i84ti. IUbi>kt, Observations snr la \arialion (le liuiilenr îles deux paiob

nf*ulres de rahnosphèiv |M*niiant l't^liiise iIp snkil <lii 8 juillet

i8'i»i, Gjuipti's rotiduM , \\. M).
i8'ir». Kabinrt, Sur la polarisalion «le la lumière atiii<M»|>liHri<|ue . (À

vendu*, \\. 801 .
i84û. Urewstkr, Sur la polarisai ion (!<' la lumière ul:iiiis|ihéiic|ue. (a

reudiiM, \\. Hol\.
i8'iô. Ark.o. Heinarques i\ Torcasion d'un opuscule de \1. Pellier sur la

c\auomëtrie e( la polarisiilion ulmo8|>liériipie, (litmpteM retiw,

i8/i(). IUbinkt. Nolo snr Toliservalion du point neutre de M. Brcu sler iailr

le 93 juiilK i8'i(i. Comptes retidna, WIII. 195 e( a 33.
i8'i(j. SohKiL. Note sur l'iiorloge |K»laii*(* tie M. Whontstone. Compien im-

duM, \\\ m, iM3.

18/19. AhACiO. Uenianpies à lorrasion de (*elte roimuuiiiralion . ilimftf

tend MM, \XMil, iUih.
ïH'tij. C.i.u.sii.s. l ehfM' die Natnr derj^^nigen Kestnndtiieile d«H* Krdatuio^-

piiiirf dnrrli welclie die Lielilrellexion in deiselbon bewirkl fM.

Pf^ffff. Ami., lAXVL i()i.
i8'i<). (ii.\ijsii.s, Lohei'die blane Karhf des llinnnels uiid die Morgen-uiMi

AlH»ndnUlie. Myf//^. \mi., lAWI, 188.
i8«~M). Brkwstkr. Obserx al ions snr les points neutres de ralniosplièrp d^-

(touvertspar M. Arago e( par M. Habinet. Compile renthM, \\\.

i8;i(>. (ii.iLsMs. Dit' Liclitei-sclieinnngen der VtuHispkàre. (iriMrrt'M Htkr.

zur meieotvl. Opiik, V |>artie.
1 8«^ 1 . (iLALSKJs, Bemerkungen iil>er die Krklâriuig der Morgen- uiid Almid-

roliu», Pogg. /Iim.. IA\\I\. 'l'i^.
i853. (ÀArsius. l.eber <kis Vorliandensein von DanipTUâsclieii in JerAl-

niospliare und iln*eu Kiidluss aurdieLichtivÂei^ioii uimI dieFaitei

derselben. Pogg, l/m.. LWWlil, 043.

BlBLIOGhAr^HlIÎ. «1?

1867. i.oiiMF.L. Théorie der AbeiHlrôlhe nud venvandUMi Eiscrhoiinin^eii ,

Pogff. Ann., CXWl. 10."», el Ahm. de thiêM. et de phtjH. , [l\\

\lll/'i6:i.

AHC-KN-CIKI..

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en-cicl i*epi*c>duile dans Vonliiri. ComMeuUiiii aopra la itlnrlti

deiroUica, Boiognn. iHi'i.
1611. I)k Domi.ms, De rndm i'Îhuh et liiets iii pemperlms et ivide IrnrIatuH ^

V eue! . . 1 G 1 1 .
1687. Dehcartes, Discours de In uiélhode poin- bien conduire hu rnifton et

chercher la rèrilé donn lea sciences , phiJt la dioptriqiie , //»« mèîmres

et la géométrie , Ley de , i G 3 7 .
16G6. Makiotte, Observations sur les couleurs <le l'arcren-riel . Mêin, de

IWcad. des sciences , 1 , 1 8ç).
1677. Baktholin, Observalioii sur la vraie r^uise de l'arc-en-riel, (loll,

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1698. Hallpa. Account of an evlraordinar\ iris or rainbow seen al (ihester.

Phil. TrauH, f. 1 (igH , 193.

1699. Stlrm, Admirnnd4i iridis, iNonnberg, 1699-

1700. li^LLEK To delerniine llie cohurs aTid diameler ofllie rainliow from

llic given ratio ol* i-efraclion, ami ihe conli'ai'\\ Phil. Trans.

r. 1700, 7i'i.
170'!. Newton, Optics, l/judon, 1708.

\'J'^l\. liVNGwiTii, Concerning the appearuiices ol* several arches oC colours

conliguous to the iiniei* edge of tlie common raiidtow, observed

al Pitworth in Sussex, Pkil. Trans. f. 1733, -i^i.
1 7*>3. PvMBKKTON , Oq the above nientioned appearance in the rainbow, with

sonio olhers réélections on tlie saine snbject, Phil. Tmnx, f. 1793,

•^'iT).
17G0. Bosco\icH, Letti'e de M. de Mairan sur larc-en-ciel , Mêin, des Sar.

élr., III. 3*u.
i8o'i. \o(iN(i. K\)H'riinenls and calcniations relative ta physiad opiirs

( Application lo the su pernu nierai*)' rainbow s), Phil. Trans.

ï. i8o'i.8.
1807. (loRDiKR. Observation diin arr-en-ciel lunaire, Jonrn. de Pht/s.,

lAV, «08.
181 '1. Venti,ri, Conunenturia sopra la storia delV ottica, Kologna. 181 '1

(Théorie de Tarc-en-ciel, I, 1&9).
1816. Braxoes, Venluris Theoria des farbigen Bogeiis, welcher sich of! an

der innern Seite des Begenhogens zeigl : dargestellt mit einigen

Aumerkungen, Gilb. Ann. , Lll, 385 «t 4o5.

S\H B1BL10(ÎRAPHIR.

819. Brandes, Einige Remerkungen znr Théorie des Hegimhogen». G'A.

Ann,, LXII, 1 13.
819. Brandes, Nachricht von zwei sich «lurchsfheinenden Regeohogra.

beobachlet in dem Jalire 1799 von deni Prof. Playfair io Edin-

bnrgh, Gilh, Ann., LXII, 19&.
836. PoTTER, Matlioinatical calcuiations on the problem of Ibe rainbntr.

Trang. of the Soc. of Camhr, , VI. 1 4 1 .
836. AiRY, Infensity of light in the neighiiotirhood of a causlic. Tmm.tij

the Soc. of Cambr, , VI , 379.
836. Arago, Inslrnction pour le vovtige de la Bonite, Annuaire pour i836,

836. Wartmann, Arc-en-(!iel par un temps serein, Rnil. de i'AenJ, de

BrvœeUes, III (r^'p.), 68.

837. Babixet. Mémoires d'optiqne mt^léorologique , Coft^te* rendw, IV.

638.
8 '10. (JiJET, Sur les ares-en-ciel supplémentaires, (lampte* rendus, XI,

8'io. OuKT, Sur un cas remarquable d'arcs-en-ciel secondaii*es. Comptn

rendus, XI, 618.
8^10. KoRESTER, Sur un air-en-ciel lunaire, Compten rendus. M, 71*1.

8 'h. De Tessan, Sur un deuxième aiT-en-ciel engendre' par la lumîffp

d'un nuage. Comptes rendu h , \II, 916.
8'i>. Miller, On spurious rainbows, Trtms. of the Sftr. oj Camlnr., VII,

•Î77, el Llnst., IX. 388.
8'i/i. (iaLE, Messungen des Regenliogens , Poffg. Ann., LMII, S^*.

8^10. /wTEDEsr.Hi, Distribution insolite des couleurs <lan8 un arc-en-cid

observé à \ ienne (Autriche) le "W juillet i8'i5. Comptes rendus,

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len winl. VeilmiuU, der \\ îiizh. (lesellneh,, IX. iGi.

III.

IiSSTRllMK\TS D'OPTfQlE.

M h, WéûwàkUmwÈm. — Nous définironH les instruments (ro|)-
liqup (les rontbinaisons de surfaces réfléchissantes et de surfaces ré-
fringentes, dont le but est de substituer à l'objet lumineux une
image réelle ou virtuelle plus avantageuse h considérer. Tantôt,
comme dans la chambre claire, on se propose de donner à Timage
une situation commode pour la dessiner, tantôt, comme dans la
lanterne magique et la chambre obscure, on cherche k ampliiier ou
ù réduire l'image ; entin, dans les instruments d*opti(|ue les plus
importants, comme les lunettes et les télescopes, l'image est vir-
tuelle et toujours amplitiée.

Cette définition exclut de la catégorie des instruments d'o|)tique
les appareils tels que le kaléidoscope et le phénakisticope , fondés
sur Ja réflefxion seule et sur les propriétés de la rétine ; l'héliostat et
le |>orte*lumière, qui ne sont encore que des surfaces réfléchissantes;
le collimateur, les goniomètres, qui, tout en ayant un emploi fré-
quent en optique, ne sont pas compris dans les instruments d'op-
tique proprement dits.

On peut distinguer, dans les instruments d'o|)tique. deux sys-
tèmes :

1° Le système objectif, qui donne une image réelle de l'objet;
cette image est contemplée par l'œil ou reçue sur un écran et sert,
par exemple, à produin» des impressions |>hotographiques:

â° Le système oculaire, donnant de l'objet une image virtuelle
qu'il est plus avantageux à l'œil de contempler que l'objet mt^me; il
peut d'ailleurs être dirigé sur l'objet ou sur une image réelle, c'est-
iVdire avoir un objectif ou en être dépourvu.

De là trois espèc<*s d'instruments :

r Les instruments à objectif;

•1* Les instruments à oculaire :

3" deux (|ui ont à la fois système objectif et svsième oculaire*

Toute étude des instruments d'optique doit donc ^tre nécessai-

830 LEÇONS SMH i;OPTIQIlE.

remenl préiMuléf* |)ar une étude complète des systèmes objectifs el
onilairos; nous suivrons la marche universellement adoptée, en
commençant par l'élude des miroirs et des lentilles et passant en-
suite h IVtude de leurs combinaisons.

Mb. Hystémea •bjectifs. — Les appareils producteurs d'i-
mages réelles ou systèmes objectifs sont de deux sortes : les systèmes
réflecteurs et les systèmes réfringents; en d'autres ternies, les miroiini
et les lentilleH, (Ihacun d'eux a ses avantages propres el mérite uo
examen attentif; on peut d\iilleurs les comprendre dans un même
système d'étude, comme nous le montrerons plus loin ; mail» il con-
vient de consi<lérer d'abord chacun en particulier.

1® MIROIAS.

/|76. ]fllr«lr« eoBcaves* — Nous rappellerons d'aboni la re-
lation (jui existe entre les distances de l'objet et de son image au
sommet d'un miroir spliérique concave et le rayon de ce miroir. La
convention (|ue nous ferons sur les signes sera transporti^ du reste
à tous les autres miroirs : toutes les longueurs seront comptées à
partir du point où la surface est rencontrée par son axe, point que
Ton appelle sommet; elles seront prises positivement du côté d'-oii
vient la lumière, et négativement en sens contraire; le raxon du
miroir aura lui-même un signe conforme à cette convention. Ce-
pendant, lorsipi'on introduit dans les formules la distance focale, il
peut arriver rpron la considère comme une quantité numérique; il
y a donc lieu de distinguer deux sortes de fommles, mais on |>oumi
toujours les ramener sans difliculté à un seul type, à l'aide des con-
ventions sur les signes.

Ml, Tliéorir élémenialre des mlr^ira

Soient A ifig. '^S*;») le sommet du miroir MM', (lie centre, P le fover
lumineux, P' son foyer conjugué: en posant

on a

1,1 'i

10 .+

INSTRUMENTS D'OPTIQUE. 831

fonnule oh le^ quantités sniil censées positives dans le .sens indiqué
précédemment. Il sullit de la discuter pour connaître le cas de réalité

ou de virtualité des images. Si en elTet p est supposé plus grand
que R, on a "<ï;' *^l '' en résulte rI>B' ou/t'<;K.D'ailleurs,
p' doit être plus grand que ~ pour que la somme -;-|- - puisse £>tre
égale à T^> On voit par là que, si p décroît jusqu'à A, le fojer se
déplace depuis le foyer principal jusqu'au centre du miroir. Si main-
tenant on suppose />< R. il faudra que l'on aity>R. /» décrois-
sant jusqu'à -T p' croit jusqu'à l'inlini. Enfin, pour p<C—'p' est
négatif, on a un foyer virtuel qui. situé à l'infini lorsque p ditfèro
Irès-peu de -• se rapproche du miroir quand/) diminue et se trouve
sur le miroir miîme si ^; = o.

Reste à considérer le cas où p est négatif. Ce que nous appelons
en elTet le point lumineux est le point de croisemenl de l'axe du
miroir avec les rayons lumineux ; on peut donc concevoir que ce
[)oint soit situé derrière le miroir. La formule

indique en ce cas ([ue />' est positif et plus petit que -■ Le foyer
conjugué du point lumineux virtuel est donc réel et compris entre le
sommet et le foyer principal.

La formule que nous venons de discuter est oblcnue on ne tenant
Ykimt, IV. — Conférence» rie pKjwique. â.1

8^2 LKcjONS SI U LOPTIQIK.

pas compte de quantités petites qui ne sont négligeables que dans
le voisinage de Tavo; elle n'est donc qu'une première approximation.
et il est nécessaire d'examiner les phénomènes de plus près.

(Iherclioils d^abord comment sont distribues len potafe de ren-
contre des rayons rëflëcbis avee Taxe. Pour le» rayoïiM centraux, la
formule (i) donne la valeur exacte

mais elle m coovient poa aux rayons rëfléchiii & qutl^ut distance
de l'axe, M I par axample* Dana la trianfjfia PIP\ IC Ml la biasec-

trice de l'angle 1, CP^;? — R, CP'-=R — /?', et l'on a

/)- W W - p'
PI PI

Substituons, dans cette é(|iiation, à PI et Pi leurs valeurs en fonc-
tion de l'angle ACI =- (1 .

PI - V H^^ (/?- in* + VR(/i ~ H7ro7(;;
PI \ R2 + (Il pY o|l(K-//)cos(;,

il vient, en élevant au carré,

I IV- + {p W f 4- '^ R (p R ) <-(>s CJ ( R ~ j,' f

.-1 R->+ , w ..j/f- oR (R- ;,')cosq [p- R)^

Simplifiant et sup|)rimnnt le facteur {p—p)^ qui donne une
solution p=p étrangère h la question, on a

R (p 4- // ) - -îR- - *^ (p R ) ( R - ;>") cos (; ^ o ,

d'où

Telle est la distance au sonnnet du point où Taxe est coupé par
les ravons réfléchis en I , et sur tout le cercle que découpe sur If
miroir un cùne concentrique d'ou>erture *ï(\. Si nous supposons qu'il

LnstkUments d optique. 8:î;i

s'agisse des rayons marginaux. C sera la demi-ouverlure angulaire
du miroir et fl la distance du sommet au foyer de ces rayons.

A78. Aberration lonsitudiiuile. — Si Ton désigne par//
la distance focale conjuguée des rayons centraux, f étant celle des
rayons marginaux, la différence p -p mesurera en (juelque sorte
l'écart qui existe entre le miroir tel qu'il est et le miroir hypothé-
tique considéré d'abord. On appelle cette différence une aberration ,
et comme elle est comptée dans le sens des longueurs focales, on
l'appelle aberration longxUidinale; p et p' ayant des signes et des gran-
deurs variables, nous conviendrons d'appeler aberration longitudi-
nale la différence /?' —y/ prise avec son signe, et nous la représen-
terons par

Si la différence y ~p' est positive, cette longueur sera portée a
partir du foyer des rayons centraux, du côté des valeurs positives;
si elle est négative, on la portera en sens contraire; il ne reste plus
aucune ambiguïté en ayant égard à ces conventions.

delà posé on a, en remplaçant p'^ par sa valeur _t>^

,_ , uK(/i-U)M'-œsCj

P ~Po '" "(ti/i-Rjfl^-f-ilp-lVcosCr

expression dont le nunjérateur est toujours positif; la longueur
P p'o ^^^ ^'^"^ toujours négative, à moins que le dénominateur ne
soit négatif.

Considérons d'abord le cas où le point lumineux et le foyer sont
réels.

àSoit j[;>R : le dénominateur est positif el, par suite, on a
//'— /?^<Co; ainsi, tant que le point lumineux est au delà du centre
du miroir, il faudra porter du côté du nnroir la longueur />'—/?'. Si p

est compris entre K et -» le facteur *\p- R est positif et le signe de

l'aberration est déterminé par celui du facteur U+ «j [p — R) cos C.
Elle est négative comme dans le cas précédent, si l'on a

H+ ^ ^^ .. R)cos(:> 0, p:^ R (i -^-^^).

53.

«34 LEÇONS SIK i;()PTlOLE.

et, comme on «i co.sd-c^i, i rr-r'< ■» la condition nréfé-

(lente revient donc h

^ étani moindre que -i condition qui est remplie tant que ^ e>t

compris entre R et - •

L'aberration est donc toujours né(][alive quand le point lumineux
el le fover sont réels.

Considérons maintenant le cas de^;<I-- Le Tactour a» — B

est négatif: l'autre [)eut encore «^tre positif pour des valeurs suffi-
samment ijrandes dey;, el alors Taberralion est positive. Le fover
des rayons centraux est virtuel et plus éloigné du miroir que le fover
des rayons marginaux. Mais p continuant à diminuer, on arrive u

avoir /><K(p et ^< -î alors, les deux facteurs du dénominateur

étant négatifs, l'aberration red(»vient négative; le foyer des ravo^^
centraux est alors le plus voisin du miroir, il est clair d*ailleurs que.

lorsque y> = R f i 7> j y laberralion est infinie.

Enlin, si p est négatif, mettons en évidence son signe en posant
p '--^ — ts. Le facteur - ^to* - R est négatif: \\ — m (tff + R) ros (!.
l'autre facteur, devient aussi négatif pour une valeur sudisammenl
grande de tar et conserve ce .signe; donc, si le point lumineux esi
• virluel. l'aberration longitudinale de s|)liéricilé commence par ^tre
po.sili\e. puis, lorstpie Ton a

\\- '* ('m+ \\ )cos(! :Z ^1
elle devient négalive. Elle i^>\ encore infinie pour

Il •) (tsr-hR) cos(; ou or-^Rf /^ — i ) •

La considération de l'aberration longitudinale ne suffit pas pour
définir l'effet des réflexions sur un miroir. Les rayons, en effet, s'é-
cartent de l'axe après l'avoir coupé, et cette diffusion inilue aus^i
bien que la concentration des rayons sur l'illumination d'un écran.

INSTttUMEiNTS DOPTlOUIi. . 835

Dans un plaii pai<saiil |>ar l'axe, il y a cuncenlration de ta lumière
dans le voisinage d'une courbe à laquelle sont langents les rayons
n'fléchis; mai» la consîd<^riiti«n de cotte courbe, appelée caustique,
n'a pas d'titllili^ dans l'étude des iiislruuicnls d'optique; nous nous
bornerons à étudier la distribution de 1» lumière sur un écran situé
dans une position particulière, après avoir défini ce qu'on appelle
aberralion latérale.

479. AbemMl«M ■•«ér»le. — Faniii les Toyers compris entre
celui des rayons centraux et celui des rayons marginaux, celui où
la lumière est la plus intense, parce que les rayons j sont plus rap-
jirochés, est celui des rayons centraux: c'est à lui qu'on s'arrêtera en
cberchant avec un écran le foyer conjugué d'une source lumineuse.
L'écran élanl on ce point 1'' (fig. ;t83), les rayons réllécbis loin de

l'uM* viendront rencontrer son plan en une série de points situés
dans un con-li' dont le rayon sera l*'ll si le miroir est su|iposé limité
en M. O'est le niyon de te cercle qu'on appelle abenatioii laléraU.

Sou expression s'oblienl sans dilliculté qriaiid on connaît l'aber-
ration lougiludiiiidc X an sifjue près. On a en offel. en In dési-
gnnnt par ^,

fj-. Xiangl''l',H— Xliing();+I),

car rP,IUMI»,A-M(;A+C.MP,; l'angle MCA=C. douii-ouverture
angulaire du miroir, etC\tP, = l, angle d'iuridencc des ravons mar-
ginaux; I est une roriction de C et de ^ qu'on déterminerait par le
calcul du cercle d'aberration latérale.

836 LEÇONS SUR I/OPTIQUE.

.^80. Abcrr»*!*»* prlncip»!*». — Bonioiis-iiuus au ^eiilns
iiii|iorliiiit pour le* iiislrtiinciils irnpliijue, rt'Iut où les rayons ino-
■lent.s ^imt [><l^allcl(^^ à l'iixe du miroir, iiinsi quf ci>la est r^r^eoli'

sur la ii'^urtj )H&. Ïms uburratioiis F]K et VU reçoivuiil alors le
nom d'tiberration» primpale». Sï l'on fait ^=—00 dans l'exprewiftn
lie p' - ■ p\ il vifliit

on a do in(!mi\ pour f<.

■711 Illl-COsC'. r-

KH - fi ^^,.0,,; tang aC.

[ci en eiïrr I (i. \,v ^i);Ml■ ili> ^ n'ii mu-une sif|nilïc8tion, puisqnf
fï est lp rayon d'un n-rrli-.

Si l'otiviTtur»' anf;ul;iin- du miroir n'i'st pas très-grande, ce «|iii
t'st le ras ordinain- do la prnlir|up. on peut exprimer d'une manière
très-simplr (■( îi-sc/ priîrisc In.-. (|iinnllir's X et ,a on fonclion do Tor-
donnéo oxlrôtm-du miroir.

Soi! fu cll'i't y l'onloniK'o du poiul M. ou a

vii'-r

INSTRUMEM'S D'OPTIQUE. 837

De là les expressions de X el /sx.

l\

/ru.

hv(l\-v ir-r)

Ces valeurs conviennent, quel que soit ït; mais si ce rapport est
assez petit pour qu'on puisse négliger w^i elles se simplifient beau-
coup. La précision que Ton obtient est d'ailleurs très-grande dans
les cas ordinaires; ainsi, pour un miroir de i mèlre de rayon et de

10 centimètres de largeur, on a y — — -^o"*,o5; Tapproximation

sera poussée jusqu'à la ([uatrième puissance de — i c'est-à-dire ;g^ de
millimètre.

Développons les radicciux jusqu'à vv degré :

'iK

v/B^ y-.-R(, -^,)'^n (.-•;,) R-^,

Substiliiant.. il vient, iiii iix^ino rlfgro (riinuruxiinaliun.

i\ ■-'■■

•»'< -/■■ -ry , y\ - y

V* '«V — V '

Ainsi, raberraliun longitudinale esl proportionnelle au carré de
l'ordonnée des bords du miroir ou à la surface du miroir, et en
raison inverse de son rayon. I/aberration latérale est proportion-
nelle au cube de l'ordonnée ou de la largeur du miroir, et en raison
inverse du carré du rayon.

/i81 . Effet pUjmàigue 4e rAberrAtion. — On décrit souveni
les effets de l'aberration d'une manière très-incomplète: on laisse

838 LEÇONS SLK LOPTIQUE.

croire que sur un écran placé au foyer principal des rayons centraux
le cercle d'aberration latérale principale sera à peu près unifor-
mément éclairé : or, il n'en est rien ; il serait inconcevable, dans
l'hypothèse de ces images élargies par l'aberration, que les miroirs
des télescopes pussent donner des images distinctes des objets éloi*
gnés, lorsque ces miroirs ont i mètre de rayon et i o centimètres de
largeur, chaque point donnant lieu dans ce cas à un cercle lumineux

de ^ de millimètre de rayon. Une telle image grossie n'aurait plus
rien de distinct. En réalité, il y a très-peu de lumière sur les bords
du cercle d'aberration; l'illumination décroit très-rapidement à
partir du centre, et l'image sensible d'un point se réduit presque au
centre même si la lumière incidente est peu intense.

Pour le reconnaître, considérons un faisceau de rayons incidents
parallèles compris entre deux cylindres infiniment voisins dont les
rayons sont y et y +dy\ ces rayons tombent sur une zone infiniment
étroite du miroir et sont réfléchis tous de manière à éclairer une
couronne comprise entre deux cercles d'aberration dont /x et ft + i/ft
sont les rayons. La quantité de lumière incidente est proportionnelle
à anydy; elle est renvoyée sur une surface égale à ù7rfid[x. Donc la
densité de la lumière à une distance latérale (i de l'axe vis-à-vis du
foyer des rayons centraux est

Or on a

ATT Y (1 Y Y iIy
'ÀTTfxdfÀ [X (lyL

>'

2\V

(Iy jK- y(Iy

MV

(^

^ 'y'~ '

(Ifji .') r* ' f (Ifx

' :s y'

Substituant pour y sa valeur y = \/îif/R-, on a

y(Iy MV \\V U'v^

IX, 1(1 3^ .,^|^.|> .,.,^i i nf

•V

L'intensité de la lumière sur le cercle d'aberration va donc en
décroissant en raison inver^se de la puissance » de la distance [i:
elle décroît donc fort vite du centré à la circonférence. D'après cette

INSTRUMENTS D OPTIQUE. 839

expression, rintensité de la lumière au centre est infinie; cette in-
exactitude provient de ce qu'on a négligé les quantités qui empê-
cheraient l'expression de devenir infinie. Une objection plus grave
à ce calcul serait qu'on a ajouté tous les rayons sans tenir compte
des lois de l'interférence; il ne faut donc le regarder que comme
fournissant un simple renseignement sur la manière dont décroit la
lumière. Nous indiquerons plus loin comment on ferait le calcul
rigoureux. Mais, d'autre part, il faut avoir égard à la remarque
suivante : que la théorie du l'émission suffit pour rendre compte de
la production des images, de la formation des ombres, des effets
des miroirs quand ils ont des dimensions sensibles ; en conséquence,
le calcul qui précède a son importance; il suffit pour expliquer la
netteté des images que produisent les objets éloignés dans les mi-
roirs des télescopes. Chaque point donne en effet pour image, non
point un cercle uniformément éclairé, mais un cercle où la lumière
a une intensité maximum au centre et décroît rapidement à partir
de ce point.

^82. miroln conirexefl. — La théorie des miroirs sphériques
convexes se déduit des formules obtenues pour les miroirs concaves
en changeant le signe de R. Lorsque je? est négatif, le foyer est vir-
tuel ; il est réel lorsque p est positif. On a trouvé

, , _ —2\\{p—ï{Y (l— COSC

p ~~Po~'('2p-\\) [|\4- 2 (/)-R)COsC] *

Si l'on met en évidence le signe de R, on a

I 'À 1

et l'on voit que, si p décroit de l'infini à zéro en étant positif, on a
toujours^' <C o, ce qui indique un foyer virtuel; en valeur absolue

p' décroit de - à zéro; ainsi, lorsque p a une valeur finie, le foyer

est compris entre le foyer principal et le sommet du miroir. Lorsque
p est négatif, c'est-à-dire lorsque les rayons tombent sur le miroir

8A0 LKÇONS SLR LOPTIOIK.

^11 ronvcTgeaiil. on peut avoir un Oncr réel. Discutons celle hypo-
thèse. Faisons varier p en valeur absolue depuis zéro jusqu'à 7 •
// est positif el rroît de zéro à oc: le foyer est donc réel; mais si^

dépasse -« c'est-à-dire si la lumière virtuelle a son origine au delà

du foyer principal, le fojer conjufjué est virtuel aussi, et entre les
distances des foyers conjugués au sommet il y a les mêmes relations
que dans le cas des fo\ers réels et d'un miroir concave. Il suffit, ponr
le démontrer, de changer tous les signes de la formule qui convient
à celui-ci; elle ne change pas et convient au miroir conveie.
L'aberration longitudinale est égale à

P Po~ ap+H;:a(p-i-l\)cosC-B]"

Son signe dépend encore uniquement de celui du dënominaieur;
elle est positive tant que Ion a

« |/;-|-K)cosC :> R

ou

IWi — '4cos()^

ce qui indique une limite au-dessous de laquelle les valeurs positives
de p donnent une aberration négative. En considérant des valeurs
négatives de p, on voit facilement que, si p en valeur absolue est

moindre (pie -» Taberration esl positive: ([u'elle est négative, si p

dépasse - •

Les valeurs (b»s aberrations principales sont d'ailleurs les mêmes.
au signe près, ipie [)our les miroirs concaves,

l\ i losC» l\(i-cosC;, .,

A=-= 7^-^i a--^—^ TT— taneali.

On ferait du reste les mêmes calculs (|ue précédemment pour
trouver la répartition de la lumière sur le cercle d'aberration la-
térale.

.Nous avons étudié les aberrations longitudinale et latérale des
miroirs sphériques pour un point lumineux situé sur l'axe. Si l'on

INSTRUMEMS D'OPTIQUR. S'il

veiil considi'rcr un point luniiiieiiv ppii dlsfant t\v rcl nxp, ît Milfit
(le rv'péliT sur l'avi- s*>niiiil»irc li's r»nstniPh«ns (|uc nous moTis
fHiti's sur \'a\t' principal.

^83. Mlr«lr* aptonétlvue*. — Considérons inaintcnani les
miroirs ii|iliini?li()ups. cV'st-à-dire ic^ miroirs <|ui réHi-chissent vers
un point unique lii lumière qui
tombe sur leur surface. La sur-
face inlërieuri' d'un ellipsoïde
de révolution à l'un des foyers
duquel OR aurait [)lacé un point
lumineux , relie d'une des
nappes de i'hvperlïoloide de
révolution à deux nappes, le
'"'' '■ point lumineux étanl au foyer

de l'autre nappe, sont des systèmes aplanéliques. De même, si
l'on suppose un système de rayons incidents parallèles, un parahii-
ioïdc de révolution dont l'axe est parallèle aux ravons les renverra
tous vers un nicime point.

Dans Ions les ras, la tliéorie géométrique de l'optique indique
pour iniafji- dti point lumineux un |M)inl niatliématique. Tel n'est
pas rependant l'effet de res miroirs : à un point mathématique ils
substituent un système d'anneaux colorés plus ou moins étalés et
résultant de ce que tout miroir est nécessairement limité.

Pour nous rendre compte de ce lait . considérons d'abord une
onde sphéri(|iie limitée AB (fig. -iSâ). et cherchons la liunière
qu'elle envoie dans le j)tan :;/ mené par le centre 0 per|»endiculai-
renienl à l'axe Ox.

Sur la calotte sphérique ACB nous n'avons que des mouvements
vibratoires concordants. Nous la supposerons assez petite pour avoir
le droit de considérer les vitesses envoyées au point 0 comme sensi-
blement paraltètes, c'est-iWlire comme s'ajoulant algébriquement,
et, aiin de n'avoir pas à tenir compte de l'inlluence mal connue de
l'inclinaison des rayons lumineux sur la surface de l'onde, nous ne
'pioiis occu|ierons, dons le plan mené |iar le point 0, que des points
tels que M très-voisins de celui-ci.

Hhi r.KÇONS SUR I.OPTIQUE.

Le puiiil M réouvrait d'un élément unique t/^o- de Ja sui
l'onde, situé en P par exemple, une vitesse proportionnel
surface (/^v, car il est bien évident que, si nous considéroi
éléments infiniment voisins de la même surface, comme il:
même position relativement au point M, ilt> lui enverront cha
vitesses égales, et par conséquent leur ensemble enverra une
double de la vitesse envoyée par un seul. Celte vitesse dép
outre de l'angle que fait la direction MP avec la surface de
dans les conditions actuelles, cet angle est sensiblement de
grés: enfin clic dépend de la distance MP>=J, et tout |
croire qu'elle est en raison inverse de la simple distance. Ma
ne tiendrons pas plus compte de celle inHuence que de la
dente, en nous astreignant à la condition de ne considérer <
points très-voisins de l'onde sphértque concave. Cette inflot
très-sensible sur la phase du mouvement vibratoire commun
point M, mais elle ne l'est pas sur son intensité.

Ainsi, en désignant par h le rapport constant de la vil
vibration communiquée au |M)int M à la surface d^v qui 1'
on a pour expression de octte vitesse

Le mouvement vibratoire dont <P<7 est animé peut se repi
par le siims d'un multiple du Ifmjis: il en doit donc élre de ni
point M . seulement le mouvement qui anime le point M k Vé
est le même que celui qui existait à l'époque ( — r *■"* 'a sui
l'onde. Si donc les variations du mouvement vibratoire se
sentent sur celle-ci |par sin ^wj,- elles se représenteront |
point M par une expression qui se déduira de la précédente <
plaçant ( par I- ç- On a donc pour cette vitesse
htfitrsin ^11(7^,— A ■

.\ous supposons lii vitesse rectiligne sur la surface de l'ondi
conséquent au point M; néanmoins nos résultats seront géi
car, si la lumière n'était pas polarisée, on pourrait toujours

INSTRUMENTS D'OPTIQUE. 843

poser la vitesse suivant deux axes rectilignes, et alors nos raisonne-
monts porteraient sur une de ces projections.

La vitesse envoyée au point M à une époque quelconque par
toute la surface de Tonde sera donc

A I I sin 97r ('T "~ î ) ^<3^-

Pour intégrer, il faut remplacer i et <P<y,par leurs valeurs eûibac-
tion des coordonnées i?, K de M, et j?, y, 2 de JPa; or on a, en
appelant/ le rayon de Tonde,

(fia'=dydz.

I ,^

Mais nous simplifierons Texpression de S en supposant les ternies
yi?, xK très-petits par rapport à/*, et les termesi?*, Ç* nëgligealdes
devant cette même quantité; malgré cette restriction, nous aiirobs
traité le problème d'une manière générale, puisque nous trou^^rôhs
que dans cette hypothèse la lumière est insensible à une distance
extrêmement petite du foyer; dès lors il serait inutile de chercher
ce qui se passe en des points situés au delà des limites pour les-
quelles on peut négliger n^ et ^. Prenons donc pour S

L'expression à intégrer est ainsi

/.jjsin «^ (i-{-f ^^) dydz.

('ne des intégrations sera toujours possible, soit par rapport à y,
soit par rapport à z; mais la seconde intégration ne sera pas possible
en termes finis, parce que nous supposons Tonde limitée par un
cercle; néanmoins cette expression a été étudiée avec tant de soin
et de détail par M. Knochenhauer, que la distribution de la lumière
autour du foyer est aussi connue que si Texpression précédente
{)oùvait se résoudre en termes finis. Nous ne la discuterons pas et
nous renverrons aux leçons sur la diffraction, où ce calcul se trouve

»U f.K(.;0NS SI B I.OfTIOUE.

•>ous IMK- ronnc peu difT^rentf de cette qu'il i-un\ieiidrail de lui
donner iil.

te r^ullat du trIcuI pst le suivant : l'inlensil/- de la lumière vit
nia\iniiim an foyci': rllo drcroît lciitenii-i>t d'aliord, puis iilus rapi-
dcmi-nl, el alliïinl un niiniinuin lrès-|)vu iliIFérent df zéru: en s'é-
loignaut toujours du foyer elle croit, alloinl un serond maximuoi
beaucoup plus faible rjnc le premier, puis une série de roiniota
et de maxima qui vont en dé-
croissant. En prenant pour abs-
cisses 1rs distances des points
au foyer et pour ordonnées
les intensités lumineuses à ces
distances, on a une rourbi'
analogue n celle qui est repré-
sentée tîg. 986, ol qui mon-
tre H l'œil les variations de Tin-
tensité lumineuse, \insi, dan^
nn miroiraplanétique. loin d'a-
F:f. .SA. voir un point niîÉthématiqw

lumineux au fover. on a une liichc n*n(ralc brillante, d'un éclal
assez tiiiiroruie-. elle est cnvîninnce d'un anneau as.<«z obscur,
celui-ci d'un anneau brillant, et ainsi de suite. Les anneaui obs-
curs ne .-.ont jamîtis i-nniplétcnienl iioiis. Les diamètres de ces an-
neaux ne suivent pas une loi simple, ils approchent des termes
consécutifs de la néric des nombres impairs, tin représentant pur 1
lu quantité de hiniière i-oniprise dans la lacbe brillante centrale
jusqu'au ])rumier minimum, les quantités de lumière cobaprifes
entre deux ininima cnnséculifs sont :

Du i"aii ■)' uiiminuiii o,o6g3

Du 4' au It* niinimiim CoS^S

Du :t' nu h' mimuiuui u.0073

Du '1' iUi .S* luimmum 0.0011

Les aulres quantités sont trop petites pour qu'il y ait inférât i en
tenir compte. Si l'on fait la somme des quantités de lumière conli>-

INSTBUMKMS DOPTIQIIK. Hhh

nues dans li*s annt'nux brîlluiits limités romnii' on vient de le fnire,
el qu'on In compare à la quanli(<^ de lumière rcnfermëe dans la
tache centrale, on voit quf eelle-cr contient les j de la lumière émise
par la calotte spltériqur.

Lu disposition de ers atincauv dépend de la li>n(rueui' d'onde;
nous aurons donc une apparence d'anneau\ colorés, phénomène
rappelant les aberrations de réfrangibililé. Cette aberration parti-
culière résulte nécessairement du mode de propagation de la lu-
mière; mais il est possible de la réduire sin^'ulièrenient ou de dimi-
nuer de beaucoup le diamètre des anneaux. Ce diamètre varie en
effet en raison inverse de l'ouverture angulaire du miroir, c'est-à-
dire du rapport y de la largeur du miroir à sa distance focale; par
suite, en aujrmentant la valeur de ■^. on réduira les diamètres des
anneaux. On peut arriver facilement à des dispositions (elles qu'ils
ne soient visibles qu'it la loupe ou au microscope.

^sà. I

Que se passe-l-il si li- miroir n'est pas aplanélique? Dans re rus la
solution mathématique du problème est beaucoup plus difficile el
n'a mi^me pas été donnée jusqu'ici; mais on peu! sans elle rendre un
compte exact des phénomènes, ainsi que nous niions le montrer.

Nous n'étudierons qu'un ras particulier, celui d'un miroir sph^-
rique NN' (lig. 987). recevant des rayons parallèles à l'axe. Soit F

le foyer des rayons cenlraui; cherchons comment se distribue la
lumière dans le pian mené par le [Htint F [lerfiendirulairemenl à

846 LEÇONS SUR L'OPTIOUE.

Taxe AF. Prenons le point A pour origine et AF pour direction des
X positifs.

Le mouvement vibratoire au sommet A du miroir étant repré-

senlé par sin 27r jo cherchons à représenter le mouvement vibra-
toire incident au point P. Ce mouvement aurait aussi pour expression
sin fîTT r-p si le ra\on SP arrivait jusfpi'au plan tangent en P'; il est
donc représenté en P par

i+^.

sin •??! -=,— ou sin tîTr (= + i j ,

d'après la règle qui nous fait passer du mouvement vibratoire d'un
point d'un rayon lumineux a celui d'un point d'un même rayon situé
plus près de la source. Ce mouvement incident en P enverra au
point M des vitesses proportionnelles à la surface ft^a de Télément P
et à une fonction h de la distance MP et de l'inclinaison de cette
droite sur la surface de l'onde; mais, comme précédemment^ nous
supposerons h constant pour tout le miroir. Posant MP = <^, il suf-
fira de remplacer i par / — y dans l'expression du mouvement du

point P pour en déduire celui du point M; nous aurons donc |>our
expression de la vitesse envoyée au point M, parallèlement à un axe
déterminé,

et, comme précédemment, remarquons qu'il n'est pas nécessaire de
supposer le mouvement vibratoire rectiligne en M; s'il ne l'est ps,
on le décompose suivant deux axes perpendiculaires et la vitesse
en M résulte de deux vitesses rectangulaires

Notre calcul nous conduira donc à des résultats généraux, lors
même qu'il n'aura été fait que dans l'hypothèse d'un mouvement
vibratoire rectiligne.

Il nous reste ii trouver l'intégrale qui représente l'action du miroir

INSTRUMENTS D OPTIQUE. 847

tout entier

-S

''//'^-•"-(t+^-Î-')

Or, en appelant/, ri, Ç les coordonnées du point M; x, y, z celles
du point P, on a

S^K(f~xf + (,-yf^{K-:f

ou, à cause de l'équation de la sphère dont le miroir fait partie, et

qui est

.rV. /,/:r + yi + :2._o,

il vient

Dans cette dernière expression , nous n'avons pas tenu compte de
n^ et ^^ ; nous supposons le point M assez près du foyer pour que ces
quantités soient négligeables et que ny et Kz soient très-petites par
rapport à/^; on aura donc avec la même approximation

D'ailleurs

donc l'intégrale à calculer est

h\^dyih,xn^n{^^\+ ^^y_^^^^ ),

ou il reste encore à remplacer x par sa valeur tirée de l'équation
de la sphère. Or, tant que l'ouverture angulaire du miroir n'est pas

très-grande, on peut se contenter de la valeur approchée jp = • ^ ^' ^
qui s'obtient en négligeant x^. On fera donc cette substitution dans
l'expression à intégrer après avoir développé j — ^ en série, et on ne
conservera dans cette expression que les termes de l'ordre ^"t" .

Verbit, IV. — Conférences de physiqne. 54

848 LEÇONS SUH L'OPTIQUE.

Il (îsl nécessaire de pousser rapproxiinalion jusque-là pour avoir uni*
différence entre les miroirs aplanétiques et ceux qui ne le sont pas.
On obtient de la sorte une expression dont l'intégration dépend de
la suivante :

I ds cos (»M^ + w*)'

<jui n'est pas connue et qui n*a pas été étudiée; de sorte que la théorie
précédente n'a pas été développée jusqu'au bout, mais il n'est |)as
nécessaire d'aller au delfi |)our le but (|ue nous nous proposons, car
l'observation permet d'expliquer les phénomènes d'une manière com-
plète.

485. Effets produits par les miroirs optoiiMI%iieo
des pions porolléles ou pion foeol prlnelpoi. — Supposons
(jue l'on observe avec une loupe oculaire l'image produite dans le
plan focal principal par un miroir aplanétique; nous avons décrit
les apparences qui s'y manifestent. Que l'on éloigne un pou la loupe
de Treil afin de voir la distribution de la lumière dans un plan situé
un peu plus près du miroir, on \oit la tache centrale blanche se
percer dans son centre d'un trou de plus en plus obscur; si l'on
avance davantage la loupe, le trou obscur devient un anneau obscur
a\ec une tache blanche qui apparaît au centre et dont l'éclat est dif-
férent de celui de la tache précédente, et elle se perce à son tour
d'un trou obscur; si l'on avance encore la loupe, on remarque en
môme temps que, à mesure que l'on s'écarte du plan focale les inten-
sités lumineuses de ces divers anneaux deviennent de plus en plus
comparables. On a les mêmes apparences si Ton rapproche la loupe
de l'œil de façon à voir ce qui se passe dans des plans plus éloignés
du miroir que le plan focal.

Par conséquent, à mesure qu'on s'éloigne du foyer d*un miroir
aplanétique, on diminue l'accumulation de. la lumière au centre et
on rend sa distribution de plus en plus uniforme sur un grand ei^
pace.

Nous pourrons expliquer ces faits d'une manière très-satisfaisante
comme il suit. D'abord la forme circulaire de la tache et des an-
neaux résulte de la symétrie qui existe par rapport à Taxe du miroir.

INSTHUMENTS D-QI-TigUK. Si!»

Si le miroir est a^ilaïu'tique, toutp.s le^ vibrations onvojt'es au loyer
principal sont rigoureusement concordantes, mais elles oiïrenl des
différences de phases sensibles lorsqu'on s'écarte uti peu <Iii foj er sur
Tnxe du miroir : si nous prenons, par exemple, un point plus voisin
du miroir, le» difFérents ra>oiLs (|ui j urritent n'ont pns parcouru
des chemins é)|[iiu\; nu lifii d'upporter des vibrations rancordanli^s ,
ils déterminent des mouvements <|uî se détruisent en partie, et retle
destruction peut devenir assez complète pour donner naissance îi une
larhe à peu près noire, il en sera ainsi lorsque, les difTérences de
marche du rayon qui parcourt le chemin le plus long et du rayon
qui parcourt le chemin le plus court étant X, on pourra diviser tous
les rayons en deux groupes ayant une différence de marche moyenne
égale à-- En s'avançant encore, les différences de marche aug-
mentent et on trouve un point pour lequel les rayons peuvent se
diviser en trois grou[)es analogues à ceux qu'on vieul de définir: denv
de res groupes se détruisent et le troisième subsiste: on rnmpi-end
donc qu'à l'obscurité pn-sque complète de la taclie rioin' surrè<le un
maxiniunt de lumière, el ainsi de suite.

486. Bffeto pMdvIta par IM Bilrslr* ■•■ Kpl«Béll4|UH.

— \ous pouvons niainlenant nous rendre facilement compte de
l'elFet d'un miroir uun aplanétique. Supposons que ce miroir soll
une surface sphériquc concave M^ (lig. ■j88) présentant en K le

• rii. iM.

foyer des ravons centraux et en F' celui des rayons marginaux. !>(•-
composons le miroir à partir du sommet A en zoniw assez petites
pour que les ravnns incidents qui rencontrent rliacune «l'elles ap-

850 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

portent à leur foyer des vibrations très-sensiblement concordantes.
La première zone ab produira en F une tache centrale blanche et
large à cause de la petitesse de la zone que nous considérons; l'effet
des autres zones sera d'altérer la netteté de cette apparence. La zone
suivante «7/ donnera à son foyer, c'est-à-dire en un point un peu
plus rapproché du miroir que le foyer des rayons centraux, l'appa-
rence que donne un miroir aplanétique à son foyer principal; seule-
ment le phénomène sera modifié par l'effet des autres zones, et l'ap-
parence que nous venons de rappeler dominera, mais sans régner
seule. L'influence perturbatrice sera d'autant plus grande qu'on
s'approchera davantage des bords du miroir, parce que l'effet que
produit une zone à son foyer est de plus en plus comptirable au\
effets des autres zones sur le même point. Il résulte de là que
l'effet de toutes les zones prises ensemble sera une tendance à la ré-
partition uniforme de la lumière; que dans le plan focal des rayons
centraux l'intensité lumineuse n'est pas infinie au centre, et ne dé-
croît pas à partir de là d'une manière uniforme, ni suivant la loi
simple que nous avions trouvée; l'accumulation au centre sera d'au-
tant plus grande que le miroir sera plus voisin d'être aplanétique.
On observera enfin un éclairement confus des diverses xones dans
les plans qu'on peut mener perpendiculairement à Taxe du miroir
entre les points F et F'.

/i87. Valeur pratique des miroirs. — La conclusion à tirer

de ce qui précède , c'est que les miroirs aplanëtiques sont plus afaa*
tageux que ne l'indique l'optique géométrique, puisque la répartitioD
de la lumière est d'autant plus voisine de runiforniité que le miroir
est plus éloigné d'être aplanétique. Mais en même temps la théorie
des ondes signale une imperfection que Toptique géométrique ne
faisait pas soupçonner : c'est qu'au lieu de donner pour image d'on
point un point mathématique, les miroirs aplanëtiques donnent une
tache blanche de dimensions finies, entourée d'un système d'anneaux
dont les deux premiers sont visibles avec des sources un peu écla-
tantes, comme celle que donne par exemple le soleil en se réfléchis-
sant sur un globule de mercure.

A raison même des dimensions finies de ces taches, la netteté des

lNSTRtîME^TS D'OPTIQUE. 851

images n'est point uniquement subordonnée à la perfection da tra-
vail des surfaces réHéchissantes. Ainsi, un miroir aplanëtique étant
donné, il n'est nullement certain qu'il donnera d'un objet une image
tellement nette, qu'il suflisc de la grossir pour apercevoir des dé-*
tails de plus en plus petits. L'expérience montre que si l'on forme
au foyer d'un pareil miroir l'image d'une nébuleuse, et qu'on la
grossisse de plus en plus pour l'observer, on arrive à une limite au
delà de laquelle on n'aperçoit plus de nouveaux détails; ce n'est pas
que l'intensité de la lumière fasse défaut, m»is l'image est elle-
même un peu confuse : on comprend, en effet, que les taches
blancbes, qui sont les images des différents points de l'objet, em-
piètent les unes sur les autres et masquent les lins détails. On peut
dès lors se demander quelle est la limite inférieure de la distance
de deux points lumineux pour que leurs images soient distinctes.

488. Um<e de IK vlalWHté «M détolla dans ■«■ ntlralra

Kpl»K«*lquMi. — Considérons un point lumineux P (lig. a8y)
pris sur l'axe du miroir aplanétique, à une très-grande distance de

ce miroir; son image P' sera au milieu de CA, rayon de courbure
du miroir à son sommet. Un autre point lumineux Q, pris sur la
perpendiculaire menée à l'axe par le point P, et très-voisin de P,
viendra de même former son image en Q', H pour que les deu\
images ne se superposent pas dans une certaine étendue . il faut que
la distance FQ' soit dans un certain rapport avec les dimension»
de la tacbe centrale. Ce rapport est une fonction de l'intensité de
la lumière incidente, fonction impossible h déterminer; nous la

852 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

désignerons par m el nous supposerons celte quantité constante dan»
rétendue visible de Tobjet. Il faut donc qu'on ait , en appelant d le
diamclrc de la lâche centrale,

P'Q' = md.
On en déduil. en divisant par V'C ouf.

P'O md . n/•/^ A

jy^y y-= lan{; P(.0== A.

A est la tangente du diamètre apparent sons lequel un voit lesdeui
loinls P,Q; c'est le dianiètn» apparent du plus petit objet dont
'image ail des limites (|ue l'on puisse distinguer en plarant Tceilau

centre du miroir. Le diamètre d de la tache centrale varie en raison

inverse de y; si donc on pose d= n-^^ l'expression de A devient

Ainsi le diamètre A varie en raison inverse du rayon du cercle
|ui limite le miroir; on pourra donc, en augmentant beaneoop
!e rayon , atténuer considérablement les effets de raberntîoo de
diffraction. Mais on sera arrêté dans la pratique par une double
raison. En effet, les miroirs qu'on emploie sont des miroirs para-
boliques, et on ne peut pas leur donner une surface indëfinimenl
croissante, parce que les rayons réfléchis doivent arriver au foyer
avec des directions telles qu'ils ne se détruisent pas, ce qui exige
(léj« que les angles des rayons réfléchis entre eux ne soient pas trop
grands ou (|ue l'ouverture angulaire du miroir n'excède pas certaines
dimensions. D'autre part, les images sont observées avec un micros-
cope : il fant donc (|ue les rayons ne fassent pas entre eux des angles
trop grands. On n'a pas dépassé dans les miroirs de ce genre une
ouverture angulaire de «îo degrés. (l'est donc en augmentant à la
fois la distance focale et les dimensions du miroir qu'on diminuera
autant (pie possible les effets de l'aberration de diffraction. Eurorc
sera-t-on arrête dans l'épuration de l'image par les inégalités de ré-
traction rpii se produisent dans les régions inférieures de fatmos-

INSTRUMENTS DOI'TIQUE. 853

phiVe, où une conclue d'air d'une certaine épaisseur n'est jauiais
Ijarfailement homogène.

'l89. C«n«lruetlait de« Hilpolra parab«llc|iM>. — Il ré-
sulte de tout ce (jui précède que la construction d'un miroir exac-
tcinenl paraboli(|ue est Irès-importanle; nous entrerons donc à cet
é{;iird dans quelques détails.

Autant que j>ossible on donnera au miroir de gi'andes dimensions
transversales, et on ne sera limité dans celte tendance que par la
difllculté d'avoir une masse rél1éc)ii.ssante d'une homogénéité suflli-
sunte.

Lorsqu'il s'agira de lui donner exactement la forme parabolique,
un aura affaire » un problème d'une tout autre nature, qui n'exige
qu'un travail mécanique excessive-
ment faible, mais d'une perfection
extraordinaire. La différence entre un
miroir parabolique et un miroir sphé-
rique ayant même rayon de cour-
bure au sommet est en effet extrême-
ment petite, et le calcul suivant don-
nera une idée exacte du peu de ma-
'■ '*"■ tière qu'il faut enlever à un miroir

sphérique pour le rendre parabolique.

Considérons la section AO (fig. 390) faite par un plan quelconque
passant par l'axe du miroir sphérique, et traçons dans ce plan la
parabole BO, qui a même centre de courbure C au sommet 0. Kn
prenant pour origine dev coordonnées le centre du cercle, son équa-
tion est

x^ + f^lif-,

ol celle de la parabok'

Supposons que les deux miroirs aient même ouverture angu-
laire; le rayon extrême CA, qui est normal au miroir sphérique-, sera
aussi sensiblement normal au miroir parabolique, de sorte que AB
représente l'épaisseur de la couche de mulîère qu'il serait nécessaire

854 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

d'enlever normalement au miroir sphérique sur son pourtour pour
le rendre parabolique; cette épaisseur \/x^ + y^ — a/* est la limite

y'

supérieure du travail matériel à effectuer; or on a ^= rr — ^f^
l'expression précédenle devient, après substitution,

\/f+{ff--^fy ^■f-\i'\r+^--^f

¥a\ nous contentant de Tapproximation fournie par les trois pre-
miers termes du développement, la valeur de l'épaisseur raaxima
à enlever devient

,/Y y' .)•* \

V 1,7187^ 03768 /•/

Prenons pour exeujple le plus grand miroir parabolique qui ail
été réalisé : nous exagérons même ses dimensions; ce miroir, le
dernier construit par lord Ross, a, d'après Tauteilr lui -même,
une distance focale/ de hh pieds anglais, et y mesure 3 pieds an-
glais, c'est-à-dire environ o°',9i. Nous prendrons y = 1 mètre et
/^= 18 mètres. En effectuant les calculs, on trouve pour l'épaisseur

cherchée g—^ de millimètre, c'est-à-dire environ-^ de milUmètre.

On comprend maintenant que pour amener un miroir sphérique
à la forme parabolique il suffira d'employer des actions mécaniques
analogues à celles dont on se sert en optique pour amener les sur-
faces réfléchissantes au dernier degré de poli.

Notre but n'est point de décrire toutes les pratiques mises eo
œuvre par les opticiens dans leurs ateliers; de telles descriptions sont
insuflisantcs , et il faut, pour réussir dans ce travail , posséder les tours
de main bien connus de ceux qui s'en sont occupés longtemps; nous
donnerons donc seulement le principe des opérations.

Le procédé général pour construire une surface sphérique con-
siste à user une surface sur une autre, en inteq)osant une poussière
à grain (in avec une petite quantité d'eau pour faciliter le mouve-

INSTRUMENTS D'OPTIQUE. 855

ment; pour que Fusure se produise plus vite, Tune des surfaces est
faite d'une matière moins dure que l'autre; les deux surfaces arri-
vent ainsi à s'appliquer exactement l'une sur l'autre , quelles que soient
leurs positions relatives. Lorsque l'on en est là, on est sâr qu'elles
sont sphériques, car il n'y a que deux surfaces sphériques qui satis-
fassent à cette condition.

C'est par le frottement contre un bassin creux ou une matrice
convexe qu'on arrive à réaliser des miroirs sphériques. On obtient
la surface sphérique concave ou convexe du bassin et de la matrice,
en les usant l'un sur l'autre; généralement ils sont en bronze. Il en
faut de dimensions très-variées afin de pouvoir fournir des miroirs
sphériques de tous les rayons. Le métal des miroirs est un peu moins
dur que le bronze; l'alliage qui le constitue répond à peu près à la
formule Cu*Sn, c'est-à-dire qu'il contient environ 66 de cuivre pour
33 d'étain; il est d'un blanc d'acier et prend un beau poli, mais il
est très-cassant; pour atténuer autant que possible cet inconvé-
nient, on doit prendre un soin extrême d'assurer l'homogénéité du
métal dans sa fusion et sa coulée.

On obtient les miroirs plans par le frottement de Irois surfaces à
peu près planes l'une contre l'autre : lorsqu'elles s'appliquent exac-
tement l'une sur l'autre, quelles que soient leurs positions relatives,
il y a une probabilité extrêmement grande qu'elles sont planes; il y
a, pour ainsi dire, l'infini à parier contre i qu'il en est ainsi.

La poussière que l'on interpose entre les surfaces frottantes est
de l'émeri à grain de plus en plus fm. On sait que dans l'industrie
les poudres d'émeri de différents grains s'obtiennent en délayant
dans l'eau l'émeri tel qu'on le recueille dans la nature, en Asie Mi-
neure par exemple, puis séparant les parties déposées au bout de
1, â, 3, ... 10, 90, 3o minutes; on obtient ainsi des poudres à
grains de plus en plus fms. On termine le polissage au rouge d'An-
gleterre ou colcothar, obtenu par calcination du sulfate de fer. Le
frottement s'opère du reste aussi uniformément que possible; il doit
s'effectuer, pour les miroirs sphériques, de la circonférence au centre ,
et on le dirige soit avec la main, soit à l'aide d'appareils spéciaux
agissant plus régulièrement et sur des masses plus considérables.
Au reste, ces machines ne font pas autre chose que donner à la pièce

856 LEÇONS SUR LOPTIQUE.

mobile ces mouvements de rotation acccompagnés de giissementâqne
lui donnerait la main d'un bon ouvrier, et les machines inventées
par lord Ross pour tailler un paraboloïde ne sont pas d'une autre
nature.

C'est en 1777 que iMudge, opticien anglais, construisît les pre-
miers miroirs paraboliques. En creusant un peu un miroir sphériqoc
vers son centre, on y diminue le rayon de courbure, et, par consé-
quent, on rapproche le foyer F^ des rayons centraux du foyer F des»
rayons marginaux; on comprend donc qu'en diminuant convenable-
ment le rayon de courbure depuis les bords jusqu'au centre on
puisse amener tous les rayons r<^fléchis sur les diverses zones du
nn'roir à passer par le même l'o\er : c'est ce qu'a fait Mudge en di-
rigeant le travail mécanique du polissage de manière à enlever un
peu plus de njatièrc au cenUc que sur les bords. U est parvenu
ainsi à diminuer considérablement l'aberration de sphéricité. CoDune
la quantité de matière est extrêmement faible, on emploie comme
poussière interposée le rouge d'Angleterre; quant à la surface frot-
tante, il convient qu'elle soit un peu flexible pour obéir dans une
certaine mesure à la pression de la main : la poix, durcie par l'addi-
tion de (|uelques matières minérales, a été signalée depuis long-
temps par Newton connue très-propre à faire un polissoir pour ce!
usage.

C'est ainsi que. dans ces derniers temps, lord Ross, M. Lassellel
d'autres astronomes sont parvenus à construire des miroirs présen-
tant une très-faible aberration de sphéricité. Ils reconnaissaient que
la forme paraboli(|ue était atteinte, parla beauté des images que
formait le miroir; ils reconnaissaient (pi'ils l'avaient dépassée quand,
après avoir travaillé le miroir pendant un certain temps., les images
formées ne |)résentaient pas une netteté plus grande que quand le
miroir était sphérique : c'est donc par une sorte de hasard qu'ils ar-
rivaient à arrêter l'opération juste au moment où la forme parabo-
li([ue était atteinte; cette méthode empirique présentait en outre un
grave inconvénient, celui de nécessiter un grand nombre d'essais,
pour cnacun desquels il fallait monter le miroir dans l'appareil, qui
permettait de le diriger vei'sles objets célestes.

INSTRUMENTS D'OPTIQUE. 857

V.)0. Procédé de Foucault. — On doit à Foiicaiill d'avoir
donné aux opticiens un procédé sur, à l'aide duquel on peut, en
travaillant inégalement les diverses régions du miroir, savoir à
un moment quelconque de combien l'on s'écarte de la forme que
l'on veut obtenir et dans ([uel sens. Cette méthode a été indiquée
par Foucault à l'occasion d'une application d'un procédé d'argen-
ture découvert par M. Steinheil, de Munich, et qui consiste à
réduire un sel d'argent par une matière organique; la couche d'ar-
gent ainsi déposée est d'une minceur extrême; elle présente rigou-
reusement partout la même épaisseur et offre une homogénéité par-
faite; si c'est sur une lame de verre qu'on l'a déposée, il suffit de
la nettoyer ensuite avec une éponge pour lui donner l'éclat métal-
lique le plus parfait. Il est évident que la faculté d'applicpier cette
mince couche d'argent sur une surface quelcon(|ue rend inutile
Tusage du métal des miroirs, qui est assez lourd et surtout très-cas-
sant, ce qui rend son travail et sa manœuvre très-difficiles; d'ail-
leurs l'éclat de l'argent est bien plus vif que celui du métal des
miroirs; enfin les miroirs argentés ont un avantage encore plus
grand que tous les précédents : dans les grandes villes comme Paris,
Londres, Manchester, etc., où l'on brûle une quantité considérable
de gaz d'éclairage, la surface des miroirs se ternit sous l'influence
des vapeurs atmosphériques; pour leur rendre leur éclat primitif, il
faut les polir à nouveau, et, comme on enlève dans cette opération
des épaisseurs qui sont de l'ordre de celles que l'on a détachées pour
passer de la sphère au paraboloïde, tout le travail est à recommencer;
aussi les astronomes entourent-ils des précautions les plus minu-
tieuses le miroir d'un télescope dont ils veulent pouvoir se servir
pendant quelques années. Si, au contraire, on a affaire à un miroir
attenté, il s'altérera, il est vrai, aussi vite; il se sulfurera même plus
vite en s'oxydant moins; mais, pour lui rendre son premier éclat, il
suffira d'enlever les impuretés à l'aide d'un linge un peu rude appuyé
avec une force suffisante, ot d'argenter de nouveau sa surface; on
aura une nouvelle surface partout équidistante de la première, et
qui sera, par conséquent, encore un paraboloïde do révolution;
«railleurs cette seconde surface est à une dislance pour ainsi dire
infiniment petite de la première.

858 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

On comprend donc tout l'intérêt qui s'attache à la constractioD
des miroirs argentés. La substance choisie comme la plus coinmmk
à travailler a été le verre. On prendra un disque en verre" de tdles
dimensions qu'on voudra : on choisira un verre de bonne qualité, qoe
l'on trouvera facilement, car il n'est pas nécessaire qu'il soit homo-
gène à l'intérieur: il convient qu'il soit particulièrement riche en
chaus;, afin qu'd soit très-peu hygrométrique. Le crown, le verre ■
glat-L' des anciennes fabriques sont Irès-convenables; te verre k ^aee
qu'on fabrique aujourd'hui est trop riche en potasse et en soude.

C'est à M. Steinlieil qu'on doit les premiers miroirs argentés, et
il en a vu iiumédiatement toute ta portée. Foucault a retrouvé de
son côté le procédé de M. Sleinheil, en a fait une étude bien plus
coni|>iète, et le premier it a donné i^ l'opticien un procédé sâr pour
se diriger dans le travail difficile d'un miroir parabolique.

491. IHanlérc 4« véria«p al la MirAtee Ai iMlv^r «a» Ac
péTttlutlon. — On coinnience |iar amener le miroir de verre i
l'état de miroir poli et sphéri<|ue. A cet état il réfléchit asseï la la-
mièi'e pour donner, dans une chambre obscure, une image netlr
d'une flamme un peu visible. Pour faire voir comment on ponm
vérifier si la surface du verre est sphéri(|ue, supposons celte condi-
tion satisfaite et par conséquent le miroir AB (fig. 991) sans aber-
ration pour un point lumioeui
placé à son centre; il jouit en-
core de la même propriété , à Irèt-
peu près, pour un point C, situé
à une très -petite distance du
centre, dans un plan perpendi-
culaire à l'axe; il s'ensuit que tous
les rayons partis du point G vien-
dront former en un point C, ij-
P, ^ ^ métrique du premier par rapport

à l'axe 00', une image sans aber^
ration, qui jouira des propriétés des Images produites au foyer
des miroirs aplanétiques, c'est-à-dire qu'elle sera formée d'une Ucbe
centrale bordée d'un système d'anneau^. On réalise le point In-

INSTRUMBiNTS D'OPTIQUli. 859

mîneux en recevant sur un diaphragme très-mince, perci^ d'un petit
trou, la flamme d'une bougie ou d'un bec do gaz, ou mieux pncore
un faisceau lumineux SI, rendu convergent par une lentille L,
plan convexe, à court foyer, et renvoyé sur le trou C par un prisme
à réflexion totale MiVP. Pour examiner l'image C formée dans le
plan focal, il est nécessaire d'armer IVil d'une loupe, et alors on
voit l'apparence que nous venons de rappeler; cette image doit être
symétrique par rapport à toutes les directions; la parfaite symétrie
ne sera point altérée si l'on avance ou si l'on recule un peu la loupe
pour voir en avant ou en arrière du plan focal les apparences que
nous avons décrites précédemment. S'il y a une déformation dans
le système des anneaux, on en conclut que le miroir n'est pas sy-
métrique par rapport à l'axe, et on recommence à nouveau le tra-
vail du verre. On peut, de l'apparence des déformations, conclure
de quels cAtés se trouvent le plus grand et le plus petit diamètre
et corriger la forme de la surface.

Â92. V«rUlc»tl«it de la ■phérlelté du mtrvtp. — Sup-
posons que par des investigations de ce genre on ait reconnu que
le miroir est de révolution : il faut naturellement vérifier la sphéri-
àté par des moyens plus délicats. On prend un petit réseau à mailles

rectangulaires, formé de fils très-fins de platine ou d'une autre subs-
tance, et préparé avec le soin qu'on apporte à la construction àef
micromètres destinés aux observations astronomiques; on le place
dans la petite ouverture du diaphragme, et très-près du centre, dans

8fi« I,K(.;UNS SUH L'OI'TIQtK.

le |>l:in locnl iin'tii' |iiir le contre ini'iiifî : l'imafje de ce rpM^u.
t'oriu<><> «II* li'iiiU iilisnirs sur uii foriil noir, ne sera parTnilemenl
rdi-ntit)u<> à l'olijiït i|ii<' si li- mirnir csl ri|roiii'GUseinenl sphérique.
On éludiera donc relie iniajfe avec iiu appareil grossissant, et l'on
vi'riliern si elle est identii|ue à l'objet. On augmente singulièrement
la dt'dicaletiiie du procûdi'; eu exaniiiiant l'iinaf^e nu moyeu du micros-
l'Ope ;m devant duipiol on n |)larL> un diaphragme perrc d'un Irou
Irùs-i-lroit. L'i-tlet de re diaphragme 1 (lig. :)tj:ij est de donnera
l'observateur des images des dilFérentes niarlleii du réseau , i^flérhin
chacune par diw portions dilTérentes du miroir: par exemple,
l'image N' du point i\ est formée par le petit cône fi'ab de rayons
(|ui se sont réfléchis sur la portion centrale ab du miroir; le point M'.
au contraire, proviendra du cône MW de rayons réllArhb sur la
portion marginale cd; ainsi chaque point de l'image est formée dt>
l'aisreaux très-étroils, réfléchis en des points difTiéreDls de la surfare
du miroir, et si l'une <[ii(Iconipie de ces nagions n'est pas parfaitomenl
sphilrique. comme son elTct n'est pas niasipié par celui des autres,
la défuruialion sera aussitAl évidente.

Supposons que diiiis une certaine région la surface du miroir soit
parfaitement sphérique AB (lig. •i^Z) et qu'elle «il pour rayon b
dislance qui sépare le plan du réseau du sommet du mirnir : elle

donnera une image identique à l'ubjel lui-im^me, c'est-à-dire des
maille» égales eitlre elles el égales à celles du réseau. Supposons au
contraire <]ue dans une certaine région le rayon de courbure soit
un peu moindre que celui (|ue nous venons de supposer comme en
V.h (fig. :i<)'i) : les rayons lumineux réfliVhis dans celle région vien-

INSTHUMKNTS DOPTlQliK. 8fi1

dront l'oniicr une image île l'objet un peu en avant du rentre, nt les
mailles carrées seront un peu plus petites que dans le réseau. Elles
seront au contraire agraiitlies si la rcllexiun a lieu dans une région
oii le rayon de rourbure soit plus grand que celui que nous sup-
posons : tel est le cas do EF(fi|;. 9<)&)- Enlin, lorsque les trois hy-
potbèses préc('(denles sont réalisi^ps, et que la seclion du miroir pré-

sente l'aspect GH (lig. 396), on a dans Timage des mailles égales à
relies du r<^se»u, des uiadles plus grandes et d'autres plus petites;
e( comme il y a continuité, on ■ pour image des Blfl du résAau uae
série de lignes courbes se rapprocbnnl pour donner les mailles 1rs
plus petites de l'image, et s'^cartant pour en représenter le» mailles
les plus grandes. De l'eiamen de cette image, on cooelul si le ni-
roir est voisin de la forme sphérique ou s'il s'en écarte beaucoup :
dans ce dernier cas, on le reporte sur sa matrice; dans le preniiei'
cas, voici comment on recherche les coirectîoos qu'il faut lui faire
subir.

wmir. — Le procédé repose toujours sur la propriété qn'n un
miroir sphérique d'<Urc apianélique pour un point lumineux placé
danslejdan focal du centre, très-près de ce point. On réalise le point
lumineux, comme nous l'avons indiqué plus baul. en renversant vers
le diaphragme un faisceau lumineux dont Ir divei^ence est juste asseï
grande pour illuminer toute la surface du miroir : lit totalité des rayons
réfléchis vient former en M'N' (fig. 999) une image du point MN

862 LRÇONS SUR LOPTIQUE.

composée d'une tacite centrale et d'anneaux très-étroits. Si en M'N'
on place un diaphragme opaque très-petit, de manière k rouvTirla
portion centrale de cette image, en plaçant l'œil très-près derrièrr
ce diaphragme et regardant le miroir, on ne recevra aucun rayon
ri^flérhi directement par celui-ci; on le verra cependant éclairé d'une
manière très-faihle, à cau<te du pouvoir diffusif très-petit dont jouit
toujours le poli spi^culaire le plus parfait: mais cet éclaïremeot du
miroir sphénque sera uniforme. Si le miroir n'est pu exactemeol
sph^rique, il y aura des aberrations sensibles et des rsjrons réfléchis
directement par le miroir qui arriveront à l'œil placé tris-près du
bord de l'écran: la surface du miroir paraîtra donc ÎDëgalemeol
éclairée. De ces inégalités on peut conclure en quels points et àuif
quel sens le miroir s'écarte de la forme sphérique.

En effet, établissons un diaphragme DO' qui couvre le centre 0'
(lig. Q97)du miroir AB. et plaçons l'œil très-près do iMrd inférieur
de cet écran. Supposons qu'aux points P et P' la surface du mirur
fasse saillie sur la surface sphérique-, les normales en ces points
viendront couper Taxe entre le centre et le miroir, et les rayons r^

néchis passant au-dessous de l'écran seront reçus par \'œi\ : la ré-
gion PP' semblera illuminée. Si au contraire la surface du miroir AB
{fig. 998) est en arrière de la surface sphérique, les rayons réfléchis
en P et P' viendront rencontrer le diaphragme avant de renronirer
l'axe, la région PP' paraîtra obscure. Par eonséquenl. si le miroir
nVst pas sphérique, au lieu d'une apparence lumineuse uniforme,
il présentera des parties obscures indiquant les creux et des parties

iNSTKi:MK\TS OOPTHJIiE. ««3

brillanles corroKiioiidiinl à Avs snillies iln In surfiire. L'œil verra donc
en ([tipiqiic sorlc i<^ relief <lo In surface que l'on construirnit de la
manière suivante : qu'on piunne une Hurfacc [ilane d'éfcndue égale
à la surface du miroii', et qu'aux divers points de cette surface on
élève de^ ordonnées égales aux distances des diflérenls points du
miroir aux ^joints correspondants d'un miroir rigoureusement spM-

!'%■■«■

rique; si, par exenqile, le miroir ollre une section de la forme ahr
(lig. :)j)9), les extrémités des ordonnées l'omierunt une courbe n,A|r,
renflée vers le milieu. On juge ainsi du genre de corrections à faire
subir au miroir et, dans le cas actuel , nims voyons i|ue pour atteindre
In forme spl)éri(|ue il faut faire rentrer les bords.

De là l'idée neuve et iiardie*<les retouclies locales appliquée an
travail du ven'e. Pour la réaliser. Foucault fixait le miroir sur un sup-
port et, avec un polissoir en ven'e de ô h f! centimètres de diamètre
et du rouge d'Angleterre , il travaillait à la main les régions qui avaient
paru brillantes : l'apparence lumineuse s'en conserve aisément dans
l'esprit, et d'ailleurs on peut tracer des traits au crayon rouge sur
tons ces points |iour se guider siWement. L'opération étant prolongée
quelque temp.-, on soumet de nouveau le miroir à la même épreuve,
et on voit si l'on a atteint la limite qu'on s'était jtroposée, si on l'a
dépassée ou si l'on esl reslé en deçà.

Lii supériorité de ce procédé, qui constate et mesure presque
VcRiiF.r, IV. — (lonfi'rfiii''^ de pliyitii|ue. Tià

»G4 LEÇONS SLK L'OPTIQUE.

Terreur, et n'oblige pas à monter le miroir dans un télescope pour
viser un objet céleste, est maintenant bien évidente.

li9^. Wmmmmmm de te
^•liqae. — La forme sphérique étant obtenue (c'est un point de
départ nécessaire), on la transforme d'abord en celle d'un ellipsoïde
de révolution à i'ovi*rs peu distants. L** même procédé <|ue nous avons
déjà décrit sert encore è reconnaître quand on a atteint rigoureu-
sement cette forme : le point lumineux qui envoie sur le miroir le
faisceau divergMt est h Tun des foyers de rellipsoide, et c'est en
un point plus éloigné, second foyer de la surface, qu'on place le
petit écran dettiftre lequel on met lœil pour voir si la slirface du mi-
roir est bien uniformément éclairée. S'il n'en est pas ainsi, on note
les saillies et les creux, et pour les faire disparaître ota emploie des
retouches locales. On recommence ensuite la même opération en
écartant davantage les foyers : dans les grands ateliers dont dispose
rindustrie , on peut leur donner une distance de 1 6 è a o mètres.
Arrivé là , rop^-alelit* a presque atteint la forme paranolique ; plus
les foyers sont éloignés, moins on trouverait d'aberration en visant
un objet céleste.

Pour donner au miroir ainsi préparé la forme parabolique, on
place à une distance d^cnviron so mètres un collimateur qui envoie
sur le miroir un faisceau de rayons parallèles entre eux et a Taxe :
ils doivent former au foyer une image sans aberration; c'est main-
tenant cette image que l'on couvre d'un petit diaphragme, et, en
plaçant l'œil h côté, on voit illuminée avec plus d'éclat la portion de
surface qui fait saillie sur le paraboloïde. Lorsque, par dea retondNS
locales, on a obtenu un éclaircment uniforme, on peut essayer le
miroir en visant un objet céleste, ou une mire terrestre sur laqvde
on a tracé des traits rapprochés, noii*s sur fond blanc ou invene-
ment, et qui est à une grande dislance. Cette opération donne h
limite de puissance du miroir, c'est-à-dire le minimum du diamèlie
apparent de la distance de deux points dont les images sont dis-
tinctes.

On a reconnu qu'en diminuant l'ouverture angulaire d'un miroir
au moven d'un diaphragme placé au devant ce minimum devient

INSTRUMENTS D'OPTIQUE. 865

plus grand, c'est-à-dire que ja netteté des images diminue; il devait
en être ainsi dans un miroir aplanëlique, car nous avons vu que
par celle diminution on augmente les aberrations de dilTraction.
Cependant on ne peut pas espérer d'arriver à une netteté indéfinie
en auj^mentant indéfinimt'nl la largeur du miroir sans changer son
ouverture angulaire; on est arrêté dans cette voie par la nature de
la surface, qui n'est jamais mathématiquement polie.

Dans un miroir ordinaire, la netteté de l'image augmente lors-
qu'on supprime une certaine zone de ce miroir; il est donc bien
différent d'un miroir aptanétique.

On pourrait, en prenant le miroir tel que le donne l'opticien,
c'est-à-dire un miroir sphérique vérifié au sphéromètre, commencer
tout d'abord par la dernière opération, recourir immédiatement au
collimateur et employer la méthode des retouches locales jusqu'à ce
qu'on obtienne une image sans aberration; mais il faudrait enlever
une trop grande épaisseur de verre, et il en résulterait des tâtonne-
ments beaucoup plus longs que ne l'est toute la série des opérations
que nous avons décrites et qui n'exigent, à chaque fois, que l'abla-
tion d'une très-petite quantité de matière.

2° LBNTIILES.
i95. ■tfractUn de 1» lumière à tr»vei« un nUleu II-
■ilté par uae aurfftce aphérlque. — Pour les lentilles comme

pour les miroirs, nous rappellerons d'abord les formules approchées

>

S66 LKÇONS STK LOPTKil K.

ohlemiesrMi n(^jjli{[«»anl los nhprratioiis. Nous coiisorvorons toujours les
ronvontions do signe siiivanlos : supjtosons quo la lumière, passant
(lu niilirni \o. moins n»lVin{jenl dans le milieu le plus réfrîngeiil, ren-
contre une surface concave, toutes les distanc«»s comptées à partir
du sommet \ (li{j. 3oo) vers le côté d'où vient la lumière sont po-
sitives: le rayon de la surface concave est positif; dans le ras (rmi
point hnnineux virtuel, les distances comj)tées de son coli* s.orit nr-
{jatives; enfin, si la surface est convexe au lieu d'être concave, on
regarde son rayon comme négatif.

Avec ces convenlions, on a, pour tous les cas où la surface de<t^
paration des diMix milieux (^st sphi'ricpie, la fornuile

,7"7> ' IT'

où p représente la distance du point lumineux P au sommet A de
la surface sphérique MN,y/ la distance au même point de l'inter-
section n de l'axe et des rayons réfractés tels rpie Rflll. w l'indice de
réfraction, K le rayon de la surface. La ligure montre que le foyer
est virtuel lorsque // est positif; c'est en effet le prolongement du
rayon réfracté qui \ient couper l'axe en II. A cause du défaut de
symétrie de la formule, on ne peut conserver aux points P.IIIp
nom de foyers conjugués en attachant à ces mots le même sens que
dans la théorie des miroirs: mais on peut leur attribuer la signifi-
cation suivante. Concevons dans le milieu le plus réfringent uns)>
lème de rayons tels, (|ue prolongés ils passent en II : ces rayons
réfractés iront passer par le point P d'après le principp du reionr
des rayons; de cette manière, Il et P peuvent être dits foyers con-
jugués; effectivement, pour appliquer ù ce c^s la fonnule pru-
dente, il faudra changer R en — R, « en -^p en —p' et p' en — ^,

et alors la formule restera la même. Mais il faut se garder de croire
que cette dénomination signifie qu'en plaçant le point lumineux en
n le prolongement des rayons réfractés passera en P: il n*en est
rien.

11 est intéressant de rechercher dans cjuel cas les rayons réfnirirt
provenant de rayons incidents |)arallèles à l'axe sont convergents.

INSTHLMtNTS DOPTKJLt;. 8fi7

»Si Ton fail p --. uji a

n /.

Tf Ile es! la (iihlaiicc au sommet A du point de concours des rayons.

Si y est |)osilif, ce fojer |)rinci|>al est viiiuel et en conséquence
les rayons réfractés sont divergents. Or/ est positif lorsque R et
n - 1 sont de même signe; lorsque ces quantités sont positives, on
est dans ie cas où nous nous plaçons généralement ^ c'est-à-dire dans
le cas de rayons arrivant du milieu le moins réfringent sur une
surface concave: lorsque ces quantités sont négatives, il s'agit de
rayons passant du milieu le plus réfringent dans le milieu le moins
réfringent, la surface de séparation étant convexe vers le premier.

Si au contraire / est négatif, le foyer principal est réel, et les
rayons réfractés sont convergents : c'est ce qui arrive dans les deux
cas oii Ton a

R <I 0 avec n — i !> o et R '^2> o avec n — t

Dans le premier cas, les rayons passent du milieu le moins réfrin-
gent dans le milieu le plus réfringent, et la surface de séparation
est convexe vers le premier. Dans le second cas, les rayons lumi-
neux partent du milieu le plus réfringent et tombent sur une surface
concave.

Ces considérations sont utiles dans la théorie de l'œil, qui n'est pas
à proprement parler une lentille, mais plutôt un système de sur-
faces séparant des milieux dont la réfringence n'est j)as tout à fail
la même.

^l96. liéfirACitoM à travers un milieu limité par deum
■urliAees 0pliériq[ue«« — Supposons maintenant que le second
milieu soit limité, du côté oii nous l'avons supposé indéfini, par une
seconde surface M'X (fig. 3oi), sphérique comme la première, de
même axe AX et assez rapprochée pour que Ton puisse négliger
l'épaisseur de la lentille (jue l'on réalise entre ces deux surfaces.
Appelons cr la distance focale des rayons centraux, en supposant un
instant le second niilieu indéfini de l'autre côté de la première

868 LEÇONS SUR LOPTIQUE.

surface M\; nous avons vu ([ue, si les rayons émanent du point P.

où le signe do cr rûsulle Av ceux tin j) H <)e K. Considérons maiot»-
nanl les rayons comnip émanant du point U de Tsixe détermine pir

la distance v , et tombant sur la seconde surface : soit p' la distaiCB
de A au point V ou les rayons centraux réfractés reDContrent Taxe, at
soit R' le rayon de la seconde surface. On aura, d'après la formule
précédente,

équation qui, combiner- avec la première, donne entre pelp' la re-
lation suivante :

/'

'T~(''- Ot^-è')"/'

Tellcest la fonuulu des lentilles, formule générale si l'on se rap-
pelle les conventions faites sur les signes.

^97. Iientlllea cvnvcrccnMs et dlvei^ccntea* — Celte for-
mule va nous permettre de distinguer immédiatement les leatillv
en deux classes : lentilles convergentes, qui poor;>= oc dooneat
/<Zo, el lentilles divergentes, qui dans le mi^me cas donnent /l>i).

IINSTBUMENTS D'OPTIQUE. 869

On suppose ici n ^ i ; mais si Ton avait ft<C i , les Icnlilles con-
vergentes dans l'hypolhèse de n> i deviendraient divergentes, et
vice versa; ainsi une lentille d'eau sera convergente dans l'air, el
une lentille d'air limitée par les mêmes surfaces sera divergente dans
l'eau.

Mais revenons au cas le plus habituel, n^ i; pour que/soit
négatif, et par suite la lentille convergente, il faut que l'on ait

^— ^.<:o.

condition qui donne, pour R^ o, les limites suivantes pour R' :
R >■ R' >■ o, et qui , dans le cas de R < o, fournit encore les sui-

vantes : R' > 0, el R' <C 0 avec la restriction R' > R en valeur
absolue; on obtient ainsi (fig. Soo) les lentilles concave-convexe k
centre épais Cj, plan-convexe C, et biconvexe C,.
L'e\amen des ras divers fournis par la rondilioii

ferait tout aussi facilement trouver les différentes sortes de lentilles
divei^ntes, savoir : les lentilles concave-c«nvexe k centre mince D^,
plan-concave D.j et biconcave D,.

498. Wmjmrm es^|iic«é* d«a ■«■Mlles. — Lorsque l'on con-
sidère une quelconque de ces lentilles, le point lumineux et son
foyer réel ou virtuel peuvent encore ^tre compris sous le nom de
foyers conjugués ; mais , afin de ne point s'égarer sur le sens de celte

870 Li;(,;ONS SLK I/OPTIQUE.

(!\|)rii.ssioii , il Tiiul i'ciiicir([itor iivcc soin le ili-faiit de symélrie en^

cL // de la foniiiili-

Si l'on V chciM^e p on y>', il fiiiil. jioiir ijuVIIp ne change pas, rtm-
placer entoro yi' par — fi. Donr, si nn faisceau conique tombant rar
une lentille jiruduil son foyer d'un certain c6td et à une cRtaint
distance de celle-ci, c'est de l'antre côté, et à la même dûfaoce.
au'on devra placer un second faisceau lumineux pour avoir an loyer
situé par rapport à la lentille dans une position symétrique decdk
du sommet du premier faisceau. Par exemple, dans le cas iTaiK
lentille l)icouve\e AB (11)'. 3o3), dire que les points P. P' sont de»

foyers conjufjués siguilie qu'en |iliii;i>rit le point lumineux en P on
a un fuvf>r en I'': '-t qu'il faudrait in^llre le point lumineux cav,
^ïitn'lriqui' de P', si l'on \oul!iit avoir un foyer en w', point svmé-
Irique de P. Dans la lentille bicoiicjne, on aurait une autre dispo-
sition dos foyers, mais avec le.- niâmes relations entre eux, en ayant
■'•jjard aux sijjiies.

^\i'^. AbvrrntÉsn d'une- nipfiiec réfrlBCCate. — Chtt-
rliiins miiintonanl avec pins de riffueur en quels points viennent r«i-
oinlror l'axp d'une surface réfriiiffenle les différents rayons éuRnr>
d'une source P (li(j. .'(06) située sur cet axe, cl réfracli^s en lliïf^
point* de lit surface. Pour la symétrie de.s raisonnements et desfi-
([ures, niius supposerons qu'il s'agit d'une surface concave vers le
luilicn le moins réfrin|ronI, fl que le |ininl P i;sl situé dans ce nii-

I^STHLMKMS llOI'TigiiK. «71

lieu. Ap])i'l(ni> a r<ni[{lc (II- l'ii\<' jnyc li< iioniiali- an |iunil d'iini-
denco H; p et p' les rli^tniires de ce point à la source lumineuse V

et à son fover II. La conNidératioii des triangles GHP, CHII fournit
leii relations

Mm" p— g ainr p' — R

sin OL p ' sin a p' '

relations nui transforment la suivante,

p p

On a d'ailleurs sans dillicullé le.'« valeurs de p et p' en fonrtioii
de K.p./}' el de rordoiim-e y du point d'incidence H,

p'-^- 1V^ + ,// Wy-^iWi,,- Hln.sa.

ou, en reniHi-(|nant i{ue la projection Kcosa de Il() sur l'iive esl
t^jjale à V It- ■ _(/■- .

f K-' ■+,,,■ R)--.,i/ H)vR' f.

872 LEÇONS SUR LOPTIQUE.

et, après substitution, on arrive à la relation définitive entièrement
rigoureuse.

PnK _„ Pj2^

v/2l\i+p«- apR+ i (p-;R)7r^ V^âR* + '/^rr ajR'R +. % (p*-r «) yff-/

Cette équation pourra se résoudre; elle çst du f)euiièwe ilgi^
en ^ et ^'^. MfiiK il n'y a pas d*iqtérét à la considérer 4'UQ9 miBière
générale : le seul cas utile est celui oh l'oiiverture angulaire eit (lelite.

nii|[wliiirfi — Supposons y asses petit relativement à R poar qu'on

pqtwe négliger ^1 • On aura V^R^ — j*«R "" a* ^* f ^Wtteïl ^

simplifiera beaucoup :

p-R p'-R

On peut encore la simplifier en remarquant que ^ est de l'ordre

y*
de ^ et par conséquent négligeable; alors, en extrayant la racine

carrée par approximation, on a

P-R p-R

= w

et en effectuant les divisions au même degré d'approximation ,

'T'[-f.o-;)]-"Vn-$(?-B)]-

Divisons par R et réunissons les termes qui ne contiennent ni R
niy2 :

f\ yt 1 n-i rr/t(p'-R)/i i\ (p-R)/| i^yi
\^f p' p~ R '^aL p*R \p' R/ pM\ Vp'"RyJ*

L'expression comprise entre crochets peut s'écrire

p'U''"Ry " p\v R/ '

INSTRUMENTS D'OPTIQUE. 873

et op peut la simplifier par la considération suivante : ~'«t- né dif-

fèrenl des valeurs -, et - relatives aux rayons centraux que de quan-
tités de l'ordre de y^, d'après la formule même, puisqu'on néglige y^;
on peut donc mettre ces dernières quantités à la place des pre-
mières; l'équation qui les fournit est, comme on sait,

n 1 n— 1

p: p R

0

Après cette substitution, l'équation (t) devient

\^^ P' P R ^ 2/1=' U p )\p R/ y '

qui représente la loi de la réfraction opérée sur une surface sphé^
rique concave , d'ouverture angulaire très-petite,

501. AberraUen lon^ltuilliiale. — On voit, en appliquant
cette formule aux rayons marginaux et la comparant à la précé-
dente qui convient aux rayons centraux, que l'aberration longitudi-
nale dépend du terme en y^. Pour trouver comment elle varie,
désignons-la par Ap' et traitons cette quantité comme un infiniment

petit; partant de la valeur — qui correspond aux rayons centraux.

on a

.n Ip

P P

Pour p''^ on mettra une expression indépendante de y^; l'aberra-
tion longitudinale A/ varie donc proportionnellement à A -,i qui n'est

autre chose que le terme en y^ de l'équation (a); de plus, elle est,
toutes choses égales d'ailleurs , de signe contraire à ce terme ; ainsi ,
suivant que le coefficient de y^ est positif ou négatif, le foyer des
rayons marginaux est plus près ou plus loin de la surface réfrin-
gente que le foyer des rayons centraux. La discussion des différents
cas qui peuvent se présenter n'offre d'ailleurs ni difficultés ni grand
intérêt.

87A LEÇONS SIR LOPTIQUK.

50:2. €mi ov l*aliemtioii loiiffitucllmile mmê mMÊm. —

Mnis il est inléressaiil, au point de vue tliéoricjue, (rexamiiier dans
«liiels cas ralicrraliou longiludinah' esl nulle. Klle sera nulle, aux
quanlilés du second ordre près, lorscjue le coollieîent de y sera nul.
c'e^l-à-dire lors([u'nne des deux conditions sui>antes sera i^atisfait'* :

I • I /t 4- I

Elles donnent pour p des valeurs pour lescjuelles il est aîsë de
voir que l'aberration est nulle, non pas seulement aux quantités du
second ordre près, mais absolument nulle. En effet, ces valeurs
de p sont

p=^]\ cl y; = U(w+i).

Dans le premier cas, le point lumineux est au centre de la surface
réfringente ; les rayons sont normaux à cette surface : raberration
est donc nulle. Dans le deuxième cas, la formule qui convient aux
rayons centraux donne pour p' la valeur tirée de rëquation

ou

n

p = — —- n.

(Jette valeur, qui détermine le foyer R des rayons centraux, con-
vient aussi aux rayons marginaux; car joignons un point h pris sur
les bords de la surface, aux points H, P, C; des relations

y; W^nW.

]\-n(p- W).
il résulte

c'est-à-dire que dans les triangles CHII, CHP les côtés qui com-
prennent l'angle C sont proportionnels :

cp eu

CM Cil

//.

^

INSTHUMENTS D'OPTfQlJK. 875

Les deux Iriangles sont donc semblables et le rapport de simili-
Inde est n : ainsi, en désignant PH, IIH par p et p\ on a

p - ¥'

Cela posé, cherchons le rapport des sinus dos angles PHC, UHC,
que nous désignerons pari et x: il est facile de voir que Ton a

donc

• • p-H V , . p'-R V

i^ p W p

si ni p — W p' .1 I
sinj? p—Wp I'

/ étant Tangle d'incidence, ûp est Tangle de réfraction; les rayons
réfractés par les bords de la surface viennent donc passer exacte-
ment au foyer des rayons centraux; l'aberration est, ainsi que nous
Tavions dit, rigoureusement nulle.

L'aberration latérale s'obtient en multipliant Taberration longitu*^
dinale par la tangente de l'angle de l'axe avec le rayon marginal
réfracté, ou, plus simplement et d'une manière approchée, en mul-
tipliant l'aberration longitudinale par -, •

Les deux cas où l'aberration longitudinale est nulle, la surface
réfringente étant sphérique, sont des c^as particuliers où se trouve
remplie la condition h laquelle une surface doit satisfaire pour Atre
aplanétique.

503. C^nditloiui aumquelle* doit satisfaire ime suriRee
réfirinceiite pour être aplanétique. — i" Cas où le point hi-
mxneua: et son foyer sont ïnn réel, Vautre virtuel, — Considérons, en
effet, une surface de révolution réfringente à foyer virtuel, le point
lumineux étant réel et situé en P (fig. 3o5); et cherchons quelle
doit être la courbe méridienne pour que cette surface soit aplané-
tique. Soit un rayon PI = p tombant du point P sur la surface, et
soit Pr un rayon infiniment voisin. Du point P comme centre, avec
PF pour rayon, décrivons l'arc de cercle Tk; en appelant f l'angle

/

876 LEÇONS SUK LOPTIQUE.

d'incidence du rayon PI, on a

Mais IK = — dp, e\, en désignant l'arc AI par s, II' ^ale <//; donc

. . dp

sin I = — r •

di

Gomme, par hypothèse, tes rayons réfractés rencontrent l'axe su

Fi(.Sdt.

même point ir, un aurait de même, en considérant le triangle II'K',

.'!£.

Donc, suivant la loi de Descartes,

d^ _ dp^,
ds dt '

d'oii, en inlégranl,

f, -}>(,' -r.

Ainsi, deux points étant donnés, dont l'un doit être un point lu-
mineux réel et l'autre un foyer virtuel. la surface sera aplanétiquefi
sa courbe méridienne est une des courbes en nombre infini repré-
sentées par l'équation précédente.

INSTHUMENTS OOPTlgUE. 877

La même condition subsiste si l'on prend un point lumineuï vir-
tuel et son foyer réel.

Dans le cas où il s'agirait d'un miroir réfléchissant, on arriverait
à l'équation

Des hyperboltâftes de i^luUeb eh nombre ttifitti ntiefont à cette
condition.

50Â. a' Gà»H h peéU tmùiMX «t tmfijf» «Mt (»uf deux réeh
ou virtueb. — PA))lMooâ3HMi «flinteAilBl db ncbeitber la condi-

tion à laquelle doit être assujettie une surface réfringente aplanétique
lorsque le point lumineux et son foyer sont tous deux réels ou tous
deui virtuels : c'est le cas représenté par la figure 3o6,

En considérant deux rayons infiniment voisins PI, PI', qui se
propagent dans le milieu réfringent suivant Iir, l'-a, on trouve, par
des calculs qui sont identiques aux précédents à un signe pràs,
l'équation

p + »lp' = C

Dans le cas des miroirs, on trouverait pour équation de la section
méridienne

P + p' = c,

équation d'une ellipse dont le cercle est un cas particulier.

505. 5° Surface aplanétique pour dea rayons incidenti parallilei. —
Enfm, lorsque les rayons incidents (fig. 807) sont parallèles à

«7« l.K(;(l\S SI It l.ltPTIOljK.

l'au' W, un (loil riniijilei' li's flisliiiici's p à partir il'uii plan BC |»ef^
|ii>ii(liriilalrc à leur (liro'-lioii. \|i|ii'loiis n h distnnce d'un |iDinl I
(le ta surfnro n^l'ringeiite ;i ce [tlaii (!l supposons h;^ t, c qui exl le

1%. «07.

Cils nrilinaire. Un rayon S'I', iiiliuiiiient voisin de SI, se^rërractpra tl<>
manière (|ue sa direclîon rencontn.^ l'nxe au même point « que \f
premier. On aura d'ailleurs, en désignant par rfti la varialion de u
i|ui correspond à un déplacement Ht du point d'incidence, l'équa-
tion

r-ridiennes des surfar<>s aplanétiqups pour un
riiifini. (ionmie l'origine des dislanres u esl
■ul Taire la constante r éj'ale à zéro et l'on a

Or. les courbes telles, ipie le rapport des distances d'un quelconque
de leurs poinis ù un foyer et à uni* droite soil constant, sont dft.
ellipses; une surface elliptique concave peut donc faire vonverger
vers un foyer unique cl virtuei les rayons parallèles à son a\e.

Il est facile de voir qu'à chaque valeur de u correspondent des
ellipses d'une excentricité détenu int^e. tilierclions en effet la condi-

l't on en

cnnc

lut

équation

des(

■OUI

■|)es

point lui!

iiinei

IX s

itiH*

INSTRUMK^TS DOPTIQUK. 879

tinn pour que l'ellipse dont Téquation pst

soit cnmpriNf pnrmi relies que représenle IVqualion u^np'. Oh a
ex

et en appelant d la dîstanre à l'axe Ov (lîg. 3oS) de la dmtle l)D'

F«.3i>e.
dont il a été question, et qui n'est autre que la directrice,

u = d—x.
Il faut donc que, pour tous les points de IVIlipse tels qup I, on ait

</ — .ï = (( f a — - r J -
Celte «équation ne peut avoir lieu dans ces conditions que si l'on a

d*oii

Par conséquent, » étant donné ainsi que le foyer F, il y a encore une
infinitif d'ellipses ayant toutes même excentricité et détenninanl au^-

Vdion, fV. — ConfêrenïM «le pbjraique. Ti6

«80 i.KÇO.SS SUI LOPTIQUK.

lanl de surfaces jvtViiifrL-rilcs aplaiir>li(|iie!> pour un point luniineui
>itUH à rinlini. Loisquc lu .siirracn loiinin '•a 4-oiira\ ili5 %«rs cp point.
ro <)iii est li- ras de In fijfuri' priVi-doiilr , coniim* riii(li(|ui> le sigw
de II. le fover virlin'l p>! cniiii i]v> foviTs di' IVIlipse (|iiî est le plus
l'Ioigné de la îiiirfai'e.

Si l'on vnulail n-revinr le> nixms luiiiiiieiix sur la convexité de
la surface, on aurait alors un foxer réel, et l'on voit raeilcuienl que
re point coïnciderait avec le foter de relii|)M> le pItiR éloigné de II
surface. Dans loni ceci on sii|)|io.se. romnie il a été dit plus haut,
l'indice de réfrartion h plus fjrand qu» Tanilé.

Ces olisenatioiiN fourniNiienl t|iMl(|ura iniliutîom miles pour b
I unï.lruclioii tleii leiitilles. Si pn effet on re(oil d« njoat tels que SI
I fig. 3 0 (| ) . parallèle! h l'axe . sur la face eoii*«ie f m «riKpsoïde de

révolution cunveiiablenieiit choisi, tous cch rauiits conv ei'geronl ver»
le lover K le plus éloigné: et si, pour deuxième surface delà lentille.
on prend une surlace ^pllél'il|lll■ \I\ iitaul pour centre ce foyer
môme, les rayons cornrr[;eroiil («us en ce point.

Ainsi, rn anjjuientanl riin\enal>leiiienl I» courliiire du rôté^cun-
vexe d'une lentille convexe-concaxe m surfaces spliérïques, et tour-
uiinl CL' coté rendu ellipli(|ue veis les ravons luinineu\, un n-alisen
un système parfaitement aj)lauéli(|ue: on pourra loujoiiiii arriver à
ce ré.sullat par la méthode des retouches locales. Dans ce cas oa
a, comme on le voit, nn fover réel. Mais si c'est ta surface concave

l\sriîrMK-MS DOI'TIOI K. »8l

ilo la Ifiililli- «in'oii n-iid <'llipli(|iii- cl i|ii'«ii lounic \ci-s la sotiri'i'
liiininpiiiti'. h tacr l'nntcv n'stniil spht'riqun. oit a un lojer i]iil(|u<',
mais uriilcl : les lauiris si>nilili'iiL à it'iir snrlii', t'mannr Ao rc |ioml
(-ommn (i'iiri n-iilrc,

(ies i-piiiai'i|iii's. si ou les iiii-l i>ii {)i'a(ii|U(* au'<- l'nidi» des retouches
Incalps, [xiurriinl runiliiin' un Jour à îles rt-sulliits iTunc ]rrau(l<^
im{>orIalU'l^

')i)(t. InHurner 4r l>pnlM«enr 4«-k lentilirs. — AI)(iriioiis
maiiilnnant la tht'orlp complôtft des lentilles. Et d'aluird clieiTlions
l'influence de l'ctpaisscur, en faisant usage des formules approcliée>,
(ju'on emploie d'ordinaire. Afin de n'avoir (pie des ipumlités posi-
tives, consjdt'rons un ménisque divergent (pii reçoit sur sa face con-

cave les ravons émanés d'un point P (tig. ^iiu) situé sur l'axe à
une dislance p du point A. (les ratons, réfraclé-^ par la preiuière
surface, concourent en un l'o)er virtuel H. dont la dislance or au
point A es| donnée par l'éipialion

l'I » ^ Tl'-

(iofisidérons nmiulenapil II cotuirie un puini luinineui; réel pour
la seconde surface; il en e>t situé à une distance ■a' = -a + li, en
désignant par h l'épaisseur de la lentille. Soit p' la distance !\ la
m^ine surface du fover virtuel P', où concourenl finalement les

«82 LEÇONS SUR L'OPTIQUE,

rayons, on h

I « n— I

/ tir' IV

Pour arriver à la relation (|ui lie /;, y/ et A, il faut éliminera
entre les deux équations précédentes, après avoir remplacé tr' par

n

tar tff-hh

13' + //. Mais comme // est petit, on |)eut substituer à — ^,
// // /* ni \\\ I* nh

On a ainsi

. . \ n II— i h/i

(^) P'~;S= ÎT — :5i"

£n additionnant membre à membre les équations (t) et (si), il
vient

Enfin, en remplaçant «r par sa valeur

n

1 n- \

on a

^-i = (" 0(î»-îr)-î(J+V)*-

Il faudrait y remplacer encore y/ par y/ — A pour (|uc les distance*
l'uKsent comptées foules \\ partir de A. Cette formule montre que
rinfluence de l'épaisseur n'est |)as la même, quelle que soit la fan*
tournée vers la source lumineuse, résultat que n'indiquait en aucune
façon la théoricî ordinaire, où l'on négli^je entièrement ré|)aisseur
des lentilles. Lorsque» les rayons incidents sont parallèles, cette
formule so sim[)lirie: car si ^;=-co. on a

,,'-^("-0U-ïr)-!7('"ir)'-

Enfin, si R est infini en même temps que f^ rinfluence de Té-

INSTRUMENTS D'OPTIQUE. 883

paisseur est nulle. Ce résultat est évident a priori , car, dans une len-
tille plan-concave qui reçoit le faisceau lumineux par la face plane,
les rayons incidents pénètrent normalement dans la lentille et ne
sont réfractés (|u'à la seconde surface.

507. Aherratlan d*<uie IntUlle. — Le calcul de l'influence
de l'épaisseur des lentilles sur la position des foyers est beaucoup
plus long lorsqu'on tient compte de l'aberration de sphéricité. Nous

avons déjà vu qu'en appelant p la distance du point lumineux P
(tig. 3i i) au sommet A d'une surface sphérique concave, et o la
distance au même point du foyer n où concourent les rayons ré-
fractés à une distance y de l'axe, on a la formule

Il i II— I ii—tfi ii+i\ /i i\*

Considérons te point it, situé à une distance V^iir-|-A de la

seconde surface, comme un point lumineux réel, et cherchons la

distance à celle même surface du foyer P' conjugué de w; désignons

cette distance par^ et posons P'K = p elirH = p'. Kn Imaginant que

la lumière vienne de l'extérieur, suivant KP', et se réfracte en K

suivant kC. les calculs deviennent tout à fait symétriques de ceux

qu'on a faits précédemment; ainsi on a

. ,.,j I,, . - R — p' . ,., . -.,, IV— tt' ,„

smC Kl' =sini = — r sin L , smL K7r=smr = — — sni C ;
P P

par suite, d'après la loi de Liescartes,

R'-p' R'-tt'
p "^'' p' ■

SH'j LKÇONS SI n I/OPTIOIK.

i,p\\p «équation, rcr\\p sous la loriin*

TT W I // l\

1)
" F

devionl foui à fail analofriic à la siii\an(r.

n-W tsr-h

' H :

qui uoiis a s(»rM do poini t\r (|r'|»aii dans uoIpp |)reiiiior ralcul; il
nous suflira dùiu\ |)onr aiTÎvrr à la ndalion qui iii* w' ei p\ de rem-
placer, dans «'tdlr qui nxisli» ♦*nln' y* el m. Iivs loltn^si /;, tff. fJ. «,

par tir', y/. \\\ ; on a ainsi

I I II , « Il M j / I \\'- r,

n

Dans ceftr rqualion, on |m'uI nirlln' if^ au Iî«mi do y-, caria dif-
férence de ces (|uaiililés rsl néjflijjeable dans le cas où nous nous
plaçons, puisqu'il s'a{{il de rayons niaq^inaux peu inclinés sur Taxe:
d'ailleurs rordorniée (vxtrenie des deux surfaces est la même dans les
lentilles de verre, et fj- — //- esl alors tout à fait insignifiant. Il faut
en outre, dans cette (équation, remplacer ty' pir tir-\'h: seulement,
dans le lerme en y-, nous ferons simplement tsr'^^tsr, car A est d*»
l'ordre de la dillérence dos sinus verses des anjdes que fait Paxeaver
les rayons marfj[inau\ ; // est dono de l'ordre do y-, et consi^quemnient
néglifjeable dans le multiplicatour do y-, Ainsi, après avoir chassé
les dénominateurs <*( mis l'éipiation sous la forme

i n // — I n- (n

l> xff' W

on ronq)lacorn, dans l<' preuiier moud)ro, . par la valeur trouvéf
plus haut

//

II

Il h

//

llf.

/( iVî

trr

CT

Tsr

Tff

Il p

' ' W }'

<•( n]\ i[\\\'i\

--._ " '' ,'' ' -i.

/' 1

•>

n —

1

Il II - 1 ,

1 /* » 1 \ ,

/> W n \/»

\\\

1

i;

•>

\\\ nw ! \^

w 15; ^

INSTHUMK.NTS DM)I»TIQUK.

885

Mciintenanl, il ne reste plus (|n7i éliminer cr entre rette équation
et ré(|uation analofjiie déjà établie pour la première surface. Ajou-
tons-les membre à membn» e( nous aurons

i I / / 1 I ,

;;(,;+T)+w'-

Le mullipliraleur de y- a pour valeur

n-h I

7'

V •»

Il \
iir

LVH

// 4- I \ / I

I y- n'[n- J, / i

ll-\- 1
//tar

j

1

Il 'r J\ / I

" 'n'

//tar

[

tSf

I

1

ÏV

I

Comnje on le voit, il rontienl «'uron^isr: mais on lirera de l'équafion
- — rp un»» valeur sultisannnent approrbée de tsr j)Our la subs-

n

Vf

pry^""'^

tituer dans l'expression précédente ; en ayant aussi égard à la relation

j^ — jwj^ dont le degré d'exactitude est le même,
les facteurs qui contiennent ts pourront s'écrire

I n-h \ j \ Il \\ 1 / II- n* - \ n-h i i i\

"h ^ \ij~^ir) l?\\v F;' 'T"'^R'""R'y

1

Il -+- I
imr

Ml I I ,

«)

W

HT

I / I // 4- l \

En consécjuenre, bi valeur de y devient

7

Il -■ I
•*.ii^

W

/» y V/>~iw [w p: ) [p: \v) \

t^i la relation délinitive qui li<* y/ et /> est

1

I

^^{ii- I)

1^

h f I

n \n

II

\V

t

ir)

Il I

Il ^ I ^ / 1

IS.

/» 1- 1

r.'

/>:

I

-r,

886 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

11 est bon de reiiinnjuer qu'elle n'est pas symétrique «n p dp; elle
ne Test pas non plus par rapport à R et R'; ainsi la position des
foyers dé|)end de la face tournée vers la lumière.

508. Cas où les rayons insidents sont iparmlléles. —

Considérons le cas particulier oiiy> = co. Posons alors p'=/, dis-
tance focale des rayons qui rencontrent la lentille à une distance y
de l'axe. Appelons^ la distance focale des rayons centraux. Il vient

7=(« - 0 (n-i9 -rt (^y+^y' fe-(r-^) (7:-ff')T

Cette expression n'est pas symétrique en R et R'; Taberration longi-
tudinale dépend donc de la surface de la lentille que l'on tourne
vers les rayons lumineux. On voit en outre que le premier terme da

second membre est égal à -f-^ que le second est un terme correctif

qui fait cstinier avec plus de rigueur la distance focale et le pouvoir
grossissant; et qu'enfin le troisième caractérise la perfection plus ou
moins grande avec laquelle la lentille réunit les rayons centraux et

marginaux. Ainsi, en désignant par A y les variations de -jr lorsque

l'on donne h li ou y un accroissement, on a

C'est du dernier terme (|ue nous déduirons la valeur de Taberration
longitudinale A^y^; quanta l'aberration latérale, nous savons qu'elle
offre peu d'intérêt, vu la distribution non homogène de la lumière
sur le cercle d'aberration. 11 est au reste facile d'en déduire la valeur
de celle de l'aberration longitudinale, en multipliant celle-ci par la
tangente de l'angle que font les rayons marginaux avec Taxe, tao-

gente qui est égale très-approximativement à 7^- Mais revenons à
l'aberration longitudinale principale.

(^omme on a d'une manière générale àj'==- f^A -j^t la valeur de
\f„ est évidemment

INSTRUMENTS D OPTIQUE. 887

Telle est l'expression de Taberration longitudinale principale.
Nous allons chercher si, dans les lentilles en verre, on peut la
rendre nulle, ou, sinon, quelle est sa valeur minimum. Pour cette
recherche, il est commode de poser

on a alors

Pour que cette expression «oit nulle il faut, lorsqu'on tient compte
dey, que le dernier facteur soit nul; on a donc, dans cette hypo-
thèse,

^3 _ [^' - („2 _ , ) (^_ S')] [(n - 1 ) (^- S') - ^7^= o,
ou, en développant les calculs,

^S'[{n-iY{S-SJ--'à{n-i){S^S')S']=^o,

La solution S = S' correspond à une lentille dont les deux sur-
faces ont des rayons égaux de même signe; mais une telle lentille
n'est autre chose qu'un verre de montre et ne peut être employée
dans les instruments d'optique; ainsi cette solution ne convient pas
h la question Supprimant le facteur S— S\ il vient

ou

S'[i+{H+i){n~-iY\~Sé'l2{n+i){n--iY+{n+

Les verres dont on fait les lentilles ont des indices de réfraction peu

3 . 3

différents de -; faisons donc /i = ~ dans l'équation précédente. En

|)osant j, =*»^j on a, toutes réductions faites,

•jJC^ - Gx + 37 = o,

888 LEÇONS SUH J/OPTIQUE.

oquation (|iii nu i\\\o di^s nicines iinagiiiciiros. Ainsi, on ne peut
donner à la leiilillp aucune iornie |MMir laqiiolle l'aberration ioilf^-
(udinale soit nulle.

Mais (Ml |)( ni la réduire ;i nn niininuiin. Cdierclions punni tuutts

les lentilles la distance loeale .> qui donne la plus |)e(i(e aberration.

Il sudil d éfjaler à zéro la dérixée di» Taherration prise par rapport

à la variahh' S [)ar e\eni[)le: l'éipiation F (n i){S S) définira

iS'
la dérivée -^ i . et pjir suile «Jsera la seule variable indépendante.

Kn eH'ectuant ce calcul on a

et, en met tan I pour K sa \ a leur.

• f .| \S' (/r ^){S S')\\(ii - :){S S'] -^'J-^o,

La solution S=S' correspond à un cas illusoire, et, en Atantle
facteur^— S\ on a une équation du premier degré qui donne sans
ambiguïté la relation qui doit lier <î et ^ pour que Tabenration soit
un minimum ,

3 (S + S') - ( !!« -r 3 ) { // - 1 )- ( ^ S') + •«( H 'h 3 ) (w - 1 } S' --= o.

équation (pii se réduit à

d'où

et par suile

IT + K ''^

W ^ GR.

\insi, pour obtenir la plus petite aberration, il faut donnei* à la
deuxième surface de la lentille un rayon de signe contraire au pr»^
mier et sextuple de celui-ci. Elle |)eut donc être biconvexe ou bi-
roncave: la face la plus rourbe est tournée vers les ra\ons incidents.

I^STRIMK.NTS D Ol'TIQUK. 889

n esl intérossiint de ronnaitrc la valeur fie ro initiimum d'afaerra-
lion: <ir, pn iiiIroHiiisaiil rii>|inlh<'.s<' R' - — 6R danï l'eiiprcssinn
<if j oii F. on il

r- '.\v.

La dUtiiiu'i- focale de la lutidllf est donc e^jal*' aux _ du plus grand
de» deux rayons; [iiiur ohlenir la valfiir de raln'rnttiopi, ou rPiiipla-
rera S el S' pur

''{ 1*011 aiini

■;'v[(7)V(^..-f)(^ri -k;-

Ainsi l'abi-rralion, dans li- ras oii dit' <'sl niinima, égale les —
du ra|)porl de y- à la distance l'orale; elle esl de signe contraire à
relui de f. el par ronsi^quont positive dans une lentille ronver-

Ijente AB (lijj, Si -j). 'M'sl-ii-dire i|tralurs le loyr diîs rayons luargi-
nauK est pliiN pr<>s di- In lentille «|ue celui des rayons centraux. C'est
le cas de la Hgure.

Les rornii's des lentilles le pins ordiiiiiirentenl PinpIoyiVs pro-
duiseni tine aberration pins [jrande : rlierchons-en I» valeur dans le

«90 LEÇONS SLR L'OPTIQUE.

cas de la Icnliilc plan-convexe et de la lentille à courbures égales on
lentille équiconvcxe.

Si la première tourne sa face plane vers la lumière, on a

R :^ oo , S=^o, S' =^ - aF,

et Taberration est

Elle est presque une fois et demie supérieure à raberration minima.
Si au contraire on tourne la face convexe vers la lumière, on a '

^= aF, <î'= (), et l'aberration égale — * Y (^ + -) = — \j qui

surpasse l'aberration minima, mais de moins de — • De là l'usage

fréquent des lentilles plan-convexes, qui, présentant la face courbe
vers la lumière, équivalent presque dans la pratique à des lentilles
où l'aberration serait réduite à sa plus petite valeur.

La lentille équiconvexe est celle que l'on considère le plus fré-
quemment dans les traités d'optique, et c'est d'après l'aberratiôb
qu'elle produit que nous jugerons de l'importance dç celte imper-
fection dans les lentilles, au point de vue de la pratique. On a ici

S=^i' et ^=.-F.
La valeur de l'aberration longitudinale principale est

9 fV^-iV 9 /

i5 v^

Comparons celle valeur à l'aberration minima, qui est — y; nous

voyons que dans la lentille équiconvexe elle est une fois et demie
plus grande.

509. Importenee relatlire de raberration de
et de raberration de réfran^lblllté. — Pour traiter complète-
ment le problème de l'aberration de sphéricité dans les lentilles, il
serait nécessaire de considérer les rayons inclinés sur l'axe d'une
manière quelconque; mais, à cause de Textri^me longueur des calculs.

INSTRUMENTS D'OPTIQUE. 891

il est bon de chercher quelle est Timporlance de rabcrration de ces
rayons obliques, et de voir si Ton ne peut se contenter de ce qui a
été dit sur les rayons parallèles à l'axe.

Il existe, en effet, dans les lentilles une aberration de réfrangi-
bilité que l'on corrige avec beaucoup de peine, et si, après qu'on l'a
rendue aussi petite que possible, elle conserve encore une valeur
comparable à l'aberration de sphéricité des rayons parallèles, il n'y
aura pas grand intérêt à étudier celle-ci pour les rayons obliques. Or
l'aberration de réfrangibilité est égale à la variation produite dans
la distance focale/, lorsque l'indice de réfraction w varie; elle est
donc égale à

La valeur de j se compose de (w — i) (^ — J'), plus des termes
qui sont fonctions de n et proportionnels à l'épaisseur h de la len-

v' 1

tille, ou à y; on aura donc, pour A^ -y» le terme An (J— ^), puis

des termes oii An est multiplié par h ou par j et qui sont très-petits

par rapport au précédent. Ainsi, pour première approximation,

l'on a

/Ail

AJ==--/An(^-^) = -/^An(-;;^

n — I

— - s'appelle le pouvoir dispersif; en le représentant par rf, Taberr

ration de réfrangibilité est représentée par --/rf, produit de la dis-
tance focale par le pouvoir dispersif.

Les rapports des aberrations de sphéricité, dans la lentille d'aber-
ration minima et dans la lentille équiconvexe, h cette aberration de
réfrangibilité, sonl

Or il est assez ordinaire que l'on ait 7 = 5;:* ^'est la valeur que

Frauenbofer adoptait pour ses objectifs. D'autre part, le pouvoir
dispersif du crown est o,o3; celui du flint o,o5. En substituant ces
nombres dans les rapports |)récédenls, ils deviennent:

892 LK(:()\S SIR LOPTlOlIK.

Dnns In lerilillf* dnlierralioii iniiiiina en lliiil. r-

Dans la lenlillo (rnlMM'nilioii inininia on crowii. . ^ f i rak^rrafiQ,.

Dans ia lentille w|uiconve\o on flinl ^ [ ^p réfi-nngibililé.

Dans In Ipiilill*» p<nii<*oii\»»\o «mi rmwii

16

On IIP [leul (lune songer h rorriijrr rahcrralion do sphériritc^ san>
civoir prénhibloinonl arlironiritisr la IimiIIIIp aussi oxartemont que
possible.

Comme dernior exemple, nous citerons un |{raii<l objectif de

Frauenhofer, de •> nn^lres de distann* l'orale, el dans lequel 7 = ôr*

L'aberration de spbéririté n'était (pie de o"',0()3'7, (r'ost-à-dire de
moins de k millimètres, quand la lentille d'aberration minima en
aurait produit une de o'",oo5îf? , c'est-à-dire plus grande que 9 milli-
mètres. Ces quantit(?s sont très-petites, comparées à l'aberration de
réfrangibilité qui, dans une lentille en flinl, était égale h o",io.
et, dans une autre lentille en crown, à o",o6.

Ainsi notre étude de l'aberration de sphéricité ne peut s'appliquer
à la pratique qu'après une étude complète de l'acbromatisme.

On substitue généralement les axes secondaires aux directions
des rayons sans déviation: on commet ainsi une erreur qu'il importe
de connaître et d'éviter: c'est également à tort que l'on suppose les
images comprises entre les cônes ayant pour sommet le centre
optique. Nous avons donc à reprendre» à nouveau toute la théorie
des lentilles, en cherchant le (l(*gré d'approximation de nos caicttb
pour la recherche des fojers.

510. Réifles emplrlqueii sulYÉei» daii» lu
des objectif» — Avant d'exposer la théorie complète ih*s lentilles,
nous donnerons, comnïe roncinsion de ce qui |)n»cè(h». au sujet des
aberrations de sphéricité t»t de rélVangibilité, une règh» suixie daas
les ateliers de Cauchois, et (pie suivent encore beaucoup d*opticiens
sans trop en connaître les raisons. Klle est relative à la construction
d'une lentille achromatique. Une lentille achromatique se compose
d'une partie en croxvn et d'une partie en flint, substances dont les

I N ST H U M K ^ T S DO PT l () U E. 8{);{

indices moyens cliffèroiit peu (le ; elle prodiiil donc sur les rayons

moyens du spectre l'effet d'inie lentille unique limitée par les sur-
faces non communes des deux |)récédentes. On (aille ces surfaces de
manière à rendre l'aberration de sphéricité minima; ainsi le rayon
de la surface en flint sera six fois plus grand que celui de la surface
en crown; quant à ce dernier, il est donné par la formule élémentaire
en fonction de la distance focale. Ainsi on a

ir fiR.

Cela fait, on cherche, par les règles élémenlaires de l'achromatisme,
quel doit être le rayon commun des surfaces de crown et de flint en
contact; on monte les deux lentilles ens jnble et on reconnaît : i"que
le système est imparfaitement achromatique; a** que la distance focale
diffère un peu de la distance calcul/e; 3"" que l'aberration de sphéri-
cité n'est pas minima : mais les trois conditions qu'on s'était imposées
ne sont cependant pas loin d'être réalisées. On monte la lentille sur
une lunette et on vise une mire très-éloignée : des barres noires,
comme des caractères d'imprimerie, font une mire convenable à une
distance sullisante ; on peut aussi viser le ciel : par la coloration des
images, on juge du degré d'achromatisme oblenu. et on rend cet
achromatisme aussi parfait que possible en travaillant les surfaces
de contact des deux verres; puis il faul resti(u«T a la distance focale
la valeur qui convient en retouchant une des surfaces extérieures, et
comme ce travail a détruit l'achromatisme, on le rétablit en revenant
encore aux surfaces de contact, (ihaque opération détruit partielle-
ment Teff^Pl de la précédente, mais, en continuant à corriger la dis-
lance focale et l'achromatisme, (»n parvient à réunir les deux condition^
à la fois. Il reste une troisième surface à la(|ue||e on n'a [)as touché :
c'est elle qui servira à corriger ral)(»rration de sphéricité: pour cela,
on examine un objet éloigné en couvrant successivement le centre
puis les bords de la lentille, à l'aide de diaphragmes convenables:
et dans les deux cas il faut que les images aient la même netteté
sans qu'on soit obligé d'enfoncer plus ou moins l'oculaire: jusqu'à

H94 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

cp qu'on y soit arrivi's on modifie la courbure de la troisième sur-
face en se guidant par la formule d'aberration minima. Ce dernier
fravaii détruit on partie l'effet des précédents, mais il suffit de les
reprendre dans le même ordre, et, en n'enlevant que des quantités
de matière extrêmement petites, on modifie asseï les courbures pour
réaliser toutes les conditions qu'on s'était imposées. Cest d'après ces
règles que sont faits la plupart des objectifs des bonnes lunettes; ils
sont excellents, mais ce ne sont pas les plus parfaits que la théorie
nous permette d'imaginer.

«3^ THEORIE DE GAL'SS.

511. IiitperfeetiOBS de la tliéorie préméëmtUm* — Nous
avons signalé l'inexactitude des résultats auxquels conduit la théorie
élémentaire de l'aberration de réfrangibilité, appliquée aux lentilles:
cette inexactitude provient de plusieurs causes : on a substitué des
axes secondaires aux rayons sans déviation; on a négligé l'épaisseur
de la lentille; enfin on a déterminé les foyers par des constructions
planes, sans s'inquiéter des aberrations des rayons non situés dans
les plans considérés. On voit donc que pour mettre quelque rigueur
dans les calculs il faut renoncer aux constructions géométriques
simples, et considérer à l'aide de la géométrie à trois dimensions
les rayons réfractés dans des plans divers; c'est à ce point de vue
que nous allons traiter de la réfraction. On doit à Gauss d'avoir in-
troduit dans cette question la géométrie à trois dimensions, d*une
façon très-élégante, et nous le suivrons dans ses calculs.

Ajoutons que l'aberration de sphéricité a été étudiée par Euler,
non sans de longs calculs, et que la théorie élémentaire de l'achro-
matisme est due à Dollond et à quelques autres opticiens anglais.

5 1 2. WiéÊrmmtk^n p^r une nurb^me spliérivie. — En pre-
mier lieu, considérons la réfraction, par une surface sphérique, d'un
rayon situé d'une manière quelconque par rapport à l'axe, mais très-
peu incliné sur lui.

Soit l'axe Ox (fig. 3i3) parallèle à l'axe de la surface, c'est-i-
dire à la ligne qui joint le centre de la calotte sphérique considérée

I.VSTlUJMEiSTS IVdPTIQlIK. «9r>

à son pôlp ou sommol: nppnlons A H C les absnRses du commet A
et du cflntrr C, Nous rom|ilerons les abscisses positiveuinnl dans le
spns an la pro|iagi<tioii de la lumière : cette convention, coniraire à

cfflle {|iie nous avons faite <|uel<]uefois, a pour but de l'aire croître les
ahsrissRs à mesure que le rayon s'avance vers les diverses surfares
dont il sera <|uestion par Jn suite. Un rayon qHelronr)ue SP, qui ren-
contre la surface considérée, a pour équations

1/ - mx +11.
:^-m'.r+i>.

Il esl coniniorle de les écrire sous une autre forme, en reniptarant
X par j; - A el mettant en dénominateur dans son roeUicient l'in-
dire de réfrarfinn ii du milieu quî précède la surface; on aura ainsi
pour équations du rayon încideni

,-f|.r -\| + /,.

h et e sont les coordonnées du point où ce rayon rencontre le plan
lan^jenl mené par le sommet A. Nous supposons, comme il a élé
dit, le rayon SP Irès-peu incliné sur t'axe des t, el par conséquent
j3 et ^ sont des quantités très-petites, de l'ordre des angles d'inci-
dence et de réfraction : dans nos calculs, l'approximation sera poussée
aux valeurs de Tordre du cube de ces quantités.

Kn désignant par n' l'imllce de réfraction du milieu qui suit lu

Vekdet, IV. — Cflnri'wnres dp pliyN(|i>f , 67

896 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

surface, les équations du rayon r<?fraclë peuvent se mettre sous la
forme

.y==f(.r-A) + //,

lans lesquell^ gt^ y\ l^^ ^ wk^ t^i«i9tm J>6^WftV!l<tâ «ver j6 , 7, i.

. Pour trouy^ c^. ç^MKSi^ K^mdimm W {MWM f^ où le rayon
incident se r^et^'^joÀ^^oV^i^ W cetttç^ C ^ «Ml # |**ngle de K
avec Taxe. V.V]^V|fiC <fo F est

cette valeur, substituée dans les équations des deux rayons, déter-
mine des valeurs identiques pour y ainsi que pour z. On a donc

^ R (1 - cos ô) + A-^l' R (1 - cosô) 4- h\

^R(i-cosô) + c = j'R(i--cose) + r'.

1 — COS0 est un sinus verse, quantité infiniment petite du second
ordre : les premiers termes sont donc du troisième ordre et on les
néglige: ainsi

Il reste à déterminer ]S' et y'.

Considérons les points Q, Q', où le rayon incident et le rayon
réfracté rencontrent le plan perpendiculaire à l'axe mené par le
centre C; les points C, Q', Q sont sur une droite intersection de ce
plan avec le plan normal d'incidence : nous désignerons par X, )!
les angles de cette droite avec PQ et PQ', et par 1, r les angles d'in-
cidence et de réfraction. En considérant les triangles PQC et PQ'C,

on a

siiW_CQ sinr^CQ;

sinX~ W ' sinX'~ R '

donc

CQ' sin r sin X n sin X

(ÎQ sin / sin A' n sin X'

CQ'
Mais le rap|)ort ttq est celui des projections de CQ' ^t CQ sur les

INSTRUMENTS D'OPTIQUE. 897

axos (les y et des z, projections qui sont les y et les z des points 0^
et Oi dont l'abscisse est x = Çé, Les équations du rayon incident et
du rayon réfracté deviennent donc

Il \ii I n sinX

Il \ii ' / « sinA

On peut simplifier ces relations en remarquant que le rapport
-T— T;de sinus d'angles infiniment voisins de 90 degrés ne diffère

de l'unité que de quantités infiniment petites du second ordre, et
comme b' et c' sont égaux h h et c y aux quantités infmiment petites
du troisième ordre près, on a avec la même approximation

n' — n

/S'^iS + T— pft.

A - C

II' - H

Ces quantités doivent demeurer infiniment petites du premier ordre;

h r .
il faut donc que _ /-^ ^ ..soient du premier ordre.

513. Réfraction p«r un ii«mlire qfuelaanque de «iir-
immem «pliéri^ue*. — Passons au cas oii le rayon lumineux, tou-
jours peu incliné sur l'axe, rencontre une série de m surfaces sphé-
riques ayant toutes le même axe. Soient A,,, A^, A2, ..., A^ les
abscisses des sommets; C^, Ci, Cj, ..., C^ celles des centres de
courbure; w^, m, , w^, ..., n^ les indices de réfraction des milieux
qui précèdent les surfaces caractérisées par les indices 0, 1, i^, ...,
m; et soit enfin n^^, l'indice de réfraction du milieu qui suit la
jw''^ surface.

Le rayon incident a pour équation

y = |(x-A.) + t„

î = J^ (x - A.) 4- c„.

57.

H98 LKÇO.NS SI H LOPTIQUK.

Pour rararlérisor l<* rayon réfract<^ une fois, on a cr.ipres ce qui
|)r«^mle

Ti a V . '*! — "•

• =,7(>--.A..)+f.,. y, =y„ + -;__: f,.
et. |)our siinplilier les notations, nous poserons

♦Ml augniontant tous les indices d'un nombre égal d\inilés pour avoir
«, . Wo. . . . , //„: les valeurs de jS, , y^ prennent ainsi la forme

/Si -- ,5„ + //„ A, . > , =- ; „ -h 1/^ h^.

Pour passiM* du rayon réfracté une fois au rayon réfraclé deux
lois, il faut donner aux dernières écpiatlons la forme cpravaient celles
du ra\on incident. aHn que les calculs soient symétriques: le rayon
réfracté une fois contiendra donc dans ses équations la coordonnée A|
du deuxième sonunel. et par e\enq)le Tune d'elles sera

//=v(-r A, )+/',.

A, est un(* nouvelle quantité qu'cui détermine en idenlitianl cett^
nouvelle forme d'équalicm avec la première.

'>.,-?' V.- /»,-?- A,,

/', ' ' n

d'où

/',

en |)osîint, |»oin' simplifier Técriture.

A, - A.

".

'- /..

Les Fonctions /.j,/.t, ... s'obtiennent en augmentant convenable-
ment les indices. En résumé, le rayon réfracté une fois a ses équa-
tions de la forme de celles du rayon incident, et, de mi^nie que l'une

INSTRUMENTS D'OPTIQUE. 899

pst déteriuinée en fonction de

9

de niènic nous déterminerons l'équation correspondante du rayon
réfracté deux fois, en fonction de

Le troisième rayon réfracté dépend pareillement de 6.^ et /S3; le
quatrième de b^ et jS^; enfin le m + i''*"', (|ui est le rayon émergenL
dépend de h^ et jS^^» dont les valeurs sont

Nous ne considérons qu'une des équations de chaque rayon, on
passerait à l'autre en changeant y fh^ j8 en z, c, y\

Toutes les relations précédentes sont linéaires; ainsi les constantes
qui entrent dans les équations des divers rayons sont des fonctions
linéaires do ft„ et j8„; elles ont de plus avec les constantes initiales
Kifio des relations remarquables qui permettent de considérer les^
coefficients de b^^^^ comme les numérateurs et les dénominateurs
des réduites d'une fraction continue. (Considérons, en effet, la suite
des termes :

Premier rayon.

Deuxième rayon,

'', = k + /, (/3„ + nX) = A„ (1+ «.<, ) + /3„<, ,
/3, = ^„ + uX +«,(' + «.'. ) K + «1 '. iS,

Troisième rayon ,

Ih -*„!•+ M„<i -<- 'j l«„ 4- «, (1 4- «.«, )ji 4- /S„ [t, + U(i + «, /,)],
A>-

Les coellicients de b^ et de /3„ suivent la loi qui lie les numérateurs

900 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

et les dénominateurs des termes des réduites d'une fraction continue :
chacun d'eux est égal à Tantéprécédent, augmenté du produit du
précédent par une quantité nouvelle; par exemple,. dans b^^ on voit
que le coefficient de b^ est égal à celui de />« dans l'expression de i]
plus le produit d'une quantité nouvelle (3 par le coefficient de b^
dans l'expression de jS^; la même relation existe entre les coefIicient^
de ]S„. Si donc l'on calcule les réduites de la fraction continue

■

'.+ — ^

i

leurs numérateurs sont les coefficients de b^ dans les expressions des
constantes 6,, jS.^, i.^i 1^^^ ^^c. ; leurs dénominateurs sont les coefficients
de j8o dans les mêmes expressions. On remarquera que pour déter-
miner le m + 1""" rayon réfracta, c'est-à-dire le rayon émergent, il
faudra calculer la *jm— 1""' et la am'*"' réduites; en conséquence, si

a k
nous les désignons par ? et t» la différence gl — hk sera égale à -|- i,

et cela d'après cette propriété qu'ont deux réduites consécutives

A'^*^ A-""*"'''

g?^) ' gl^rm de donner une expression A^"^ B^*"^*^ — B^"^ A^*"*"*^ qui

égale + 1 si /« + 1 est pair, et ~ t si /« + 1 est impair. Ainsi le
rayon émergent est déterminé par les équations

dont les coefficients sont donnés par

/3.^, = À-6„ + /^o.

et

6* ^=

avec la relation

gl — hk^i.

INSTRUMENTS D'OPTIQUE. 901

Pour abréger l'écriture, nous marquerons d'un seul accent les
coefficients qui entrent dans les équations du rayon émergent; ainsi
posons

il vient alors

d'où l'on déduit, en multipliant la première par /puis par ^, l'autre
par h puis par g, et retranchant,

h^ = //,' _ 1,^'.
^„ = g^'~ W.

Nous avons ainsi déterminé complètement le rayon émergent.
Avant de le comparer au rayon incident, nous ferons encore cette
remarque sur toutes les réduites, et en particulier sur y, A, A, /, c'est
que ces quantités sont des fonctions de u^, /j, t/^, (^^^^ '39 •••« qui
ne changent pas si l'on renverse l'ordre de celles-ci, si par exemple
on change u^ en i^^ti en ti^, U| en (^^ ^t réciproquement.

51 A. Tliterie générale des fmjmrm et des tauiS^** —

Revenons maintenant au rayon incident. Prenons sur lui ou sur son
prolongement au delà de la première surface un point arbitraire
dont les coordonnées sont Ç, ly, Ç : ces valeurs satisfont, par consé-
quent, aux équations du rayon incident, et l'on a

, = f-"(Ç-A,) + ft., Ç = J-(e-A.)+c..

 cause de leur symétrie , considérons seulement la première de
ces équations et remplaçons-y /S^ et h^ par leurs valeurs en fonction
de b\ /3' : il viendra

ou

902 LEÇONS SUR LOPTIQLE.

ce qui (lonnr une nouvelle expression de b\

(Jette expression, substituée dans les équations du rayon émergeot,
y introduit ainsi les coordonnées d'un point du rayon incident: on
pourra donc cliercher si à ce point ne correspond pas quelque autre
point reniarcpiable. Effectuons cette substitution : Tune des équations
du ravon émer^jent prendra la forme suivante.

=^^^ _ \' _ '-j-i'^^zJi} fri^J ' _i 'h.^

On a de même pour la seconde équation

De là cette conséfjuence : ces équations sont satisfaites si on annule
la parenthèse pour déterminer x^ et qu'on égale y et r aux termes
qui restent; le point dont les coordonnées s'obtiennent de cette
manière est situé sur le rayon émergent, et, en appelant Ç\ ti\ Ç se>
coordonnées, on a

fi,. »7

nX

r

nJ-k[Z- V.

(ionmie on le voit, ces trois coordonnées sont fonctions de g^ /i, il, /.
c'est-à-dire des positions et de la nature des milieux réfringenls:
puis de ^, 17. Ç. qui déterminent un point du rayon incident. Mais
elles son! enlièremenf iiidépendaiites de 4o» ^o» 4"' déterminent le
point d'incidence sur la première surface. Donc tout ravon passant
rin point (^. >;,Ç), d renconlranl les surfaces réfringentes dans If

INSTRUMENTS D'OPTIQUE. 903

vuisiiiage de Taxe, vient passer au point (f '. >?', Ç'). Pour arriver à
ce résultat, on néglige les (|uantités de l'ordre du sin' de l'angle du
rayon incident avec Taxe. 11 est donc démontré d'une manière très-
générale, au degré d'approximation qu'on vient d'indiquer, que les
rayons passant en un point situé ou non sur l'axe, et qu'on [leul
appeler loyer, vont passer à un deuxième foyer, après réfraction sur
un sjslème de surfaces sphériques ayant mémo axe. Le premier foyer
est réel si l'on a Ç - A^ <C o, et virtuel dans le cas de Z — A„> o :
le deuxième est réel pour ?'— A|^>o et virtuel pourÇ' A^<;o.
Considérons les situations relatives de ces deux foyers : la compa-
raison de leurs abscisses n'offre rien de remarquable, mais on a |)our
les antres coordonnées

relations qui indiquent que les projections du point lumineux et de
son foyer sur le plan yz sont situées sur une ligne droite passant
par l'origine, que |)ar conséquent le point lumineux et son foyer
sont dans un même plan avec l'axe des x. Comme, d'autre part^ ^' ne
dépend (|ue de la valeur de ^, les points lumineux situés dans un
plan perpendiculaire à l'axe ont leurs images dans un même plan
aussi perpendiculaire à l'axe. Et de toutes ces remarques il résulte
avec évidence que l'image d'un objet plan est plane et semblable à
cet objet.

Le rapport des dimensions linéaires de l'image et de l'objet
s'appelle grossissement; comme on le voit, sa valeur est ici

Si cette expression est positive, Ç', î;', Ç' ont les mêmes .signes
c|ue 5, »;, Ç, et par suite l'image est droite; si l'expression est néga-
tive, l'image est renversée.

On peut donner a cette ex|)ression du grossissement une autre
forme, en ayant égard à l'identité g^/ - M= i, car on a

., ,'*„/«- (y (?-A„)

^ A - // — j j-T^ p:,

/iJ-/.-(Ç-A,.)

904 LEÇONS SUR LOPTIQUE.

d'où

- g'-A _ ■ "o (/(g- A.)

«■ '"nJ-k{^-Krn.l-k(Ç-A,)'

et en ajoutant g de part et d'autre , après avoir tout multiplie par k,

_ {gl-kli)n^ ««

Le grossissement peut donc s'exprimer par

/; + /•• v~-

Les formules précédentes sont parfaitement exactes « aux termes
près de l'ordre de l'aberration de sphéricité. Mais les constantes g,
hy k, ly qui y entrent, les rendent peu propres h la discussion des
circonstances intéressantes au point de vue pratique; il importe donc
de les transformer, et ceci nous conduira à une théorie de la forma-
tion des images incomparablement plus exacte que la théorie ordi-
naire, sans cesser pour cela d'être aussi simple.

515. Ptoiis et pointa prlnHpaax. — D'abord, pour le cas
d'une surface réfringente uniqut;, nous avons vu que si Tune des
projections du rayon incident est représentée par

la projection correspondante du rayon réfracté a pour équation

y = |\x A) + 6,

/i — n

où j8' est déterminé par l'équation jS' = j8 + k_r i; A — C est ^1

et de signe contraire au rayon de courbure de la surface, si elle
tourne sa convexité vers les rayons lumineux; il est de même signe
(|ue ce rayon , si la surface tourne sa concavité vers les rayons lumi-
neux. Or, en examinant ces équations, on peut dire qu'à ce degré
d'ap[>roximation le rayon incident et le rayon réfracté coupent en

INSTRUMENTS D'OPTIQUE. 905

un même point le plan mené perpendiculairement à l'axe par le
sommet de la surface réfringente : ceci nous donne un point du
rayon réfracté, et il suffira d'en chercher un second pour le déter-
miner complètement.

Si Ton possédait un plan doué de la Même propriété, lorsque le
rayon traverse un grand nombre de surfaces réfringentes , on conçoit
qu'il serait d'une grande utilité pour la construction du rayon ré-
fracté; cherchons donc s'il n'existerait pas un pareil plan.

L'une des équations du rayon incident sur la première surface est,
comme on l'a vu,

l'équation correspondante du rayon émergent est, d'autre part.

Si, au lieu d'égaler les valeurs de j^ correspondant a une même
abscisse x, il nous est plus commode de le faire pour des abscisses
distinctes, il est clair que le résultat sera le même, car nous aurons
deux plans rencontrés h la même distance de l'axe, l'un par le rayon
incident, l'autre par le rayon émergent; de l'un des points connu,
on passera à l'autre en menant une parallèle à l'axe. Soient donc E.
E' deux valeurs spéciales de x, telles qu'on ait

Pour que les plans correspondant aux abscisses E, Ë' jouent le rôle
du plan dont on a parlé dans le cas d'une surface unique, il faut
que l'équation précédente ait lieu pour tous les rayons incidents:
elle doit donc être satisfaite quels que soient b^ et jS^, ce qui exige
que les coefficients de ces quantités soient nuls : en les égalant à
zéro, nous aurons deux équations du premier degré qui détermine-
ront Eet E'. On ne peut, comme dans le cas d'une seule surface,
avoir un plan unique, car les équations qui en donneraient l'abscisse
sont en général incompatibles. On a donc

006 LEÇONS SUR LOPTIQUE.

(I OU

et sciublablement

''-'•^,;,(Fr-A'| + A=(i-é')i + /'.

"o

d'où

K^A„-(.-/)|'

Les deux plans uinsi déterminés ont été appelés par Gauss les
pinnif principaux. Les plans principaux sont donc des plans perpen-
diculaires à l'axe du système réfringent, et renconlrés à la m^me
distance de l'axe, le premier par le rayon incident, le second jiar
le rayon émergent.

Les points où ils coupent Taxe onl été appelés les points yWw-
cipaux.

Les plans principaux étant au nombre de deux, on convient que
le pretnier soit celui qui est détermiué par A^, w^, /, ky c'est-à-dire
celui dont on considère l'intersection par le rayon incident; l'autre
est appelé le second, quelle que soit d'ailleurs sa situation par rap-
port au premier et à la source lumineuse. Le point de rencontre du
premier plan par le rayon incident est défini par les données
mêmes; par ce point, on mène une parallèle à l'axe jusqu'à la ren-
contre du second plan, et l'on connaît ainsi un point du rayon
émergent.

516. PUrns foMMix. — Connaissant un point du raxon émer-
gent, il suffira d'un deuxième point pour le déterminer entièrement.
Pour cela, nous considérerons le rayon incident comme appartenant
à un faisceau de rayons parallèles, et nous en déterminerons le
foyer de convergence. Or, en verlu des propriétés du plan mené per-
pendiculairement à l'axe par le foyer des rayons parallèles à l'axe,
il suffit de trouver ce foyer: incidemment, nous chercherons aussi
le point d'où les rayons incidents doivent émaner pour émerger
parallèlement h l'axe; ces deux points, que nous désignerons par F
et F, détermineront les plans focaux du systènn».

INSTRUMENTS D'OPTIQUE. 907

Appelons F l'absrissR du point F où se croisent les rayons inci-
denls donnant à l'émergence des rayons parallèles. Pour déter-
miner F, il faut exprimer que les rayons émergent parallèlement à
Taxe; par conséquent, dans l'équation

qui est une de celles du rayon émergent, il faut que l'on ait

n
d'on

o,

et on a une condition analogue au moyen de la seconde équation
du rayon émergent; mais, à cause de la symétrie, il est inutile de
l'écrire. La valeur de /3o, substituée dans l'équation de la projection
du rayon incident sur le plan xy, lui donne la forme

Nous pouvons dès lors trouver aisément le point F, qui est le
point où ce rayon incident coupe l'axe: faisons y = o dans celte
équation, elle devient

d'oi

0- - l,[V-\,)+i,

K = A,+f •

On remarquera la simplicité de la relation qui exi